Механика композитных материалов 2 1982

2. Теория прямой линии нё учитывает неоднородности^ деформации поперечного сдвига, обусловленной различием упругих свойств материа­ лов слоев. Поэтому рассматривается модель, основанная на предполо­ жении о наличии в слоях оболочки локальных углов поворота, вызван­ ных поперечными сдвигами каждого слоя, и удовлетворении на поверх­ ности контакта смежных слоев условиям непрерывности перемещений и напряжений [2]. Это дает возможность выразить перемещения и углы по­ ворота всех слоев через соответствующие величины одного из них и та­ ким образом получить уравнения, порядок которых не зависит от числа слоев. В этом случае получаем следующее распределение перемещений по толщине пакета:

где Y<X<0), Yp(0) — углы поворота, вызванные поперечным сдвигом в слое, внутри которого проходит координатная поверхность; величины аг-, 6*, си di зависят от упругих свойств и толщин слоев и определяются из условий непрерывности перемещений и касательных напряжений на поверхностях

контакта смежных слоев.

Соотношения упругости для рассматриваемого варианта теории обо­ лочек имеют вид

Р = Св+DK + Ец + t\ Qa= Kiуа(0); Qp= Я2ур(0)>

Здесь C, Z), E — матрицы соответствующих размеров, элементы которых являются функциями геометрических и механических параметров обо­ лочки. Компоненты вектора t определяются температурными воздейст­ виями.

3. Принятие гипотезы прямой линии приводит к линейному измене­ нию перемещений и напряжений по толщине, что не всегда согласуется с известными решениями трехмерных задач. В связи с этим предлагается модель рассматриваемого класса оболочек, основанная на предположе­ ниях, аналогичных допущениям уточненной теории однослойных оболо­ чек постоянной толщины [3], а именно:

а) касательные напряжения rav и tpv изменяются по толщине /-го слоя по заданным законам, удовлетворяющим условиям контакта смеж­ ных слоев, —

ются такими, чтобы выражения (1) удовлетворяли условиям контакта слоев. Из этих предположений следует нелинейный закон распределения перемещений по толщине каждого слоя:

Uai = U + y'f)'a + #iZ)1i + tf1UTi; и у' = Ц) + Х!)т*\

Hi=A{\+k2'y\ (a«-*p, \*-*2, А++В),

где Di\ D2i зависят от значений напряжений оа, ар, тар на поверхности контакта смежных слоев и функций <р, ф, а и тi, v T{ являются функциями

температурных и поверхностных нагрузок.

Соотношения упругости в рассмотренном варианте теории оболочек запишутся

размеров, а компоненты вектора t зависят от интегральных характерис­ тик температурного поля.

Из исходных соотношений, предложенных теорией, после ряда преоб­ разований получаем системы дифференциальных уравнений десятого по­ рядка [1,2].

На основе указанных моделей разработаны эффективные методы ре­ шения задач статики анизотропных слоистых оболочек вращения произ­ вольного очертания и некруговых цилиндрических оболочек. Методы ре­ шения этих классов задач основаны на сведении двухмерных краевых задач к одномерным и интегрировании последних устойчивым численным методом дискретной ортогонализации [4].

Для оценки применимости допущений рассмотренных моделей прово­ дилось сопоставление результатов решения задач в приближенной и трехмерной постановках.

Сравнительный анализ был проведен для свободно опертой по торцам трехслойной цилиндрической оболочки симметричного строения под

действием внешнего давления qn = qo |sin * (q0= const). Материал

каждого слоя изотропный, модуль упругости наружных слоев равен £, а среднего — dE. Толщины слоев соответственно равны ft и Я. При вычис-

Лениях принималось /=50; # = 2 ; h = 0,2; р=21; d= 1; 10"1; 10-®. Рас­ сматривали два варианта распределения напряжений Tsv по толщине: а) квадратная парабола; б) TSV в среднем слое не зависит от у, а в на­ ружных меняется по линейному закону.

В первой и второй строках табл. 1 находятся значения Xsy/щ на по­ верхности контакта среднего слоя с внутренним и внешним, полученные на основе предположений а) и б), а в третьей и четвертой — из решения трехмерной задачи [5].

В первых двух строках табл. 2 даны значения uv/W3 q0E~l, получен­ ные при задании законов распределения TSV в форме а) и б), в третьей — максимальные значения радиального перемещения в точном решении, в четвертой — значения, вычисленные по классической теории недеформируемых нормалей.

Для рассматриваемой оболочки несимметричность распределения т8у по толщине с уменьшением d увеличивается. Задание закона распреде­ ления TsVв форме а) приводит к более близким к точным значениям на поверхности контакта в случае однородных (d=l) или существенно не­ однородных (б?=0,001) оболочек, а в форме б) — в случае оболочек, мо­ дули упругости слоев которых отличаются на порядок (d = 0,l). Исполь­ зуемая теория дает неплохое приближение к точному для максимального значения иъ в то время как классическая теория дает значительно за­ ниженные значения прогиба.

На основе разработанных подходов выполнен расчет конструктивного элемента в виде трехслойной конической оболочки, жестко закрепленной на правом контуре, а на левом — соединенной с недеформируемым жест­ ким центром, передающим на оболочку антисимметричную нагрузку, рав­ нодействующая которой равна силе R*. Оболочка находится также и под

2

— I cos0; 0< s < / , где

I — длина оболочки. Здесь s — длина дуги меридиана; 0 — центральный угол в параллельном круге.

Толщина наружных слоев равна h, а среднего — Н, их упругие харак­

теристики равны соответственно £i = l,88£o; v=0,25 и £,i=0,025£0; v= = 0,25. Решение задачи выполнено по теории прямой линии для всего пакета оболочки в целом при следующих значениях параметров: г(0) = = 48,3; cos ф = 0,926; а = 52,168; 6= 137,872; Н= 1,293; Л = 0,242; /= 187,872. Здесь все линейные размеры отнесены к единице длины.

Результаты решения задачи приведены на рис. 1, 2 для амплитудных значений (при 0= 0) радиальных их и осевых иг перемещений для поверх-

0.8

постной qy и контурной R* нагрузок отдельно. При действии нормального давления перемещения вдоль меридиана изменяются немонотонно, до­ стигая максимума вблизи заделанного контура. При действии силы перемещения монотонно убывают от своих наибольших значений, дости­ гаемых на левом контуре. Полные углы поворота на левом контуре

сюда следует, что полные углы поворота определяются в основном попе­ речными сдвигами. Это указывает, что при расчете напряженно-дефор­ мированного состояния оболочечных элементов конструкций данного класса следует учитывать поперечные сдвиги.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Василенко А. Т., Голуб Г. П., Григоренко Я. М. Определение напряженного со­ стояния многослойных ортотропных оболочек переменной жесткости в уточненной по­ становке. — Прикл. механика, 1976, т. 12, № 2, с. 40—47.

2.Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Об учете неоднородности поперечного сдвига

по толщине в слоистых оболочках. — Прикл. механика, 1977, т. 13, № 10, с. 36—42.

3.Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 446 с.

4.Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обык­

новенных дифференциальных уравнений. — Успехи мат. наук, 1961, т. '16, № 3,

с.171— 174.

5.Григоренко Я. М., Василенко А. Т., Панкратова Н. Д. К расчету напряженного

состояния толстостенных неоднородных анизотропных оболочек. — Прикл. механика, 1974, т. 10, № 5, с. 86—93.

Альтернативные граничные условия будут

Особенно простой вид уравнения (1.1)—(1.3) применяют для диск­ ретного закрепления слоистой цилиндрической оболочки, т. е. когда на ее лицевых поверхностях заданы перемещения. Тогда N0= l —r2/h2y- N{ =

= r - r 3/A2; S = 1—r2jh2\ NT=CQ= C\ = LQ= L\=Q.

Некоторые числовые результаты для случая дискретного закрепления приведены на рис. 1. Здесь все параметры выбраны такими же, как в [4].

В случае чистого кручения можно заметить, что условие отсутствия напряжений на лицевых поверхностях цилиндрической оболочки можно удовлетворить и при принятии более простой, чем в [3], кинематической гипотезы: u(p= Ru(p0(z). Так же, как в [3], получаем уравнение динамиче­ ского равновесия

В дальнейшем нам понадобится пере­ ходная матрица оболочки. Она опреде­ ляет связь между силовыми факторами и

И'ереЫещ'ейиями, зад&йнЫМ'й йа Краях йекоторой механической системы. В данном случае она будет иметь вид

--

(1.4)

п

p,

- £ (М - R i -

<-1

2. Механическая схема. Рассмотрим цилиндрическую оболочку, на­ ходящуюся под воздействием стационарной случайной нагрузки. Реше­ ние будем искать методом спектральных преобразований [5]. Можно оп­ тимизировать виброзащитные свойства оболочки, используя (1.4) или какую-нибудь другую переходную матрицу. Но часто приходится учиты­ вать совместную работу оболочки с некоторыми другими системами. В частности, если оболочка работает как несущий элемент в раме бензи­ номоторной пилы, то механическую схему можно представить в виде, данном на рис. 2. На рис. 2 обозначено: / — цилиндрическая стойка; II — руль совместно с рессорным креплением к стойке; III — механиче­ ский аналог рук человека-оператора.

Рассмотрим только простейший линейный одномерный случай. Обоз­ начим переходные матрицы для I, II, III соответственно (А), (В), а вход­

ной импеданс для III — Fh. Получим систему линейных алгебраических уравнений

Таким образом, задача свелась к классической задаче оптимальной виброзащиты в линейной постановке. Для ее решения необходимо за­ дать спектральную плотность входного воздействия иг, критерий вибро­ защиты и критерий управляемости. Традиционным является следующий

выбор этих критериев: величина дисперсии виброускорений на входе системы

Р= J |Ф ((Vo) |25((<й)rfco;

точность воспроизведения линейного закона движения, заданного на входе,

Но так как в данном случае наиболее опасным является диапазон вибра­ ций с частотой около 100 Гц и вследствие расходимости интеграла (2.2) в данном случае были приняты следующие критерии:

S(/G)) — спектральная плотность входного сигнала, т. е. U\~\ <p0 — до­ пустимый уровень вибраций.

Величина S(iсо) выбиралась по экспериментальным данным. Хорошей аппроксимацией для S является так называемый синусоидальный шум:

4аа(а + а)Рп

CL= coo + ie.

(со2 + а2) (о)2 + а2)

Дальнейшие числовые подсчеты сделаны для входного импеданса Fiu равного

р__ (C2S + k 2) (lTlpS2 + C\S + k \ )

hmps2+ (ci + c2)s+ki + k2

3.Метод решения. Для решения задачи был применен алгоритм скользящего допуска. При применении этого метода удовлетворяется произвольное число ограничений любого вида, например, масса, геомет­ рические размеры, механические характеристики, прочность и т. д. Для безусловной минимизации был применен алгоритм из класса методов по­ иска — метод деформируемого многогранника. Этот метод оказывается особенно эффективным в подобных задачах, поскольку целевая функция имеет сложный вид и применение других методов безусловной минимиза­ ции, например, градиентных, не представляется целесообразным. Сле­

дует отметить еще два преимущества алгоритма скользящего допуска: по мере приближения к искомому решению задачи постоянно уменьша­ ется область нарушения ограничений задаче, что ведет к уменьшению времени нахождения минимума; другим преимуществом является то, что оказывается удобным использовать в качестве критерия окончания по­ иска суммарное среднее квадратичное отклонение центра тяжести от вер­ шин многогранника.

За целевую функцию было выбрано выражение (2.3). За ограничения были выбраны статическая жесткость, масса, геометрические размеры. Была рассмотрена трехслойная оболочка со следующими параметрами: / (длина) =0,25 м; R\ (внутренний радиус) =0,015 м; # 4 (внешний ра­ диус) =0,02 м; р (плотность) =2000 кг/м3. Ограничения на внешний и внутренний радиус при постоянной плотности давали ограничения на массу. На статическую жесткость ограничения накладывались путем на­ ложения ограничений на модуль сдвига, который в комплексной форме имеет вид

Здесь G!°, G3° — модули сдвига оболочек; G2° — модуль сдвига среднего слоя. Малая нижняя граница в (3.1) для G*0 объясняется тем, что в ка­ честве связующего для среднего слоя допускалось применение битума. На мнимую часть G* налагались следующие ограничения: