стовом виде, при этом используется множество понятных для специалистов, но неопределенных по сути высказываний ти­ па «высокая склонность к образованию трещин», «тонкий (или толстый) металл», «сварка на малой погонной энергии», «затрудненная отделимость шлаковой корки», «жесткие тре­ бования по МКК» и т.п. В настоящее время издано много ли­ тературы по теории нечетких множеств [27, 28, 49, 59, 62 и др.], вопросы же приложения ТНМ к конкретным областям мало изучаются. Работы по применению ТНМ в сварочном производстве практически отсутствует. По данной тематике в журнале «Сварочное производство» было найдено только две статьи.

Ознакомление с базовыми положениями ТНМ позволи­ ло выделить области приложения ТНМ, актуальные для со­ вершенствования методики решения неформализованных задач, а именно [37]:

-формализация знаний;

-моделирование проектных задач и процессов сварки;

-разработка алгоритмов принятия решений;

-совершенствование автоматизированных систем.

4.2.1.Формализация нечетких понятий с помощью функций принадлежности

ВТНМ одно из центральных мест занимает методика графического представления лингвистических понятий с по­

мощью функций принадлежности. Исходные положения в кратком изложении можно свести к следующему [27].

Рассматривается отношение между двумя множествами. Одно из них U= {£/}, называемое универсальным или базо­ вым, является числовым параметром - оно задано на непре­ рывном носителе (интервале действительных чисел). В сва­

рочном производстве к таким параметрам можно отнести все

характеристики, задаваемые численно. Например, сварочный

ток в амперах, толщина металла, длина шва и другие размеры

вмиллиметрах, вес аппаратуры в килограммах, температура

вградусах и т.д. Другим множеством А, называемым нечет­ ким, является некоторое словесное понятие, которое можно охарактеризовать двумя или несколькими также словесными характеристиками. Такое понятие рассматривается как лин­ гвистическая переменная, а ее значения - как множество лингвистических значений (термов), образующих терм-мно­ жество. Лингвистическими переменными могут быть те же вышеупомянутые параметры, если их характеризуют не чис­

лами, а словами. Например, значения параметров режима и толщин свариваемого металла иногда определяют как ма­ лые, средние или большие; значения длины сварных швов - короткие, средние, длинные; значения температур - низкие, нормальные, повышенные, высокие и т.п. Многие перемен­ ные могут принимать только качественные значения. Напри­ мер, положение шва при сварке может быть нижним, верти­ кальным, горизонтальным, потолочным и в лодочку.

В теории нечетких множеств лингвистическое значение некоторой переменной как количественно неопределенное (нечеткое) предлагается представлять в виде совокупности (множества) числовых значений базовой переменной, каждо­ му из которых приписана степень принадлежности, прини­ мающая значения в пределах от 0 до 1 и характеризующая соответствие между двумя рассматриваемыми понятиями (переменными).

На языке математики изложенные положения формули­ руются следующим образом [15, 59].

где \ла: С/—►[0,1] - отображение множества U в единичный отрезок, называемое функцией принадлежности; Цл(н) - зна­ чение функции принадлежности для конкретного элемента, называемое его степенью принадлежности.

Физический смысл степени принадлежности трактуется как субъективная мера того, насколько элемент и е U соот­ ветствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством А. В данном случае слово «субъективная» озна­ чает, что конкретное числовое значение степени принадлеж­ ности назначает человек - компетентный в предметной об­ ласти знаний специалист.

Для практических расчетов и наглядности функции при­ надлежности представляют аналитически и графически. В литературе по ТНМ большинство примеров иллюстрирует­ ся графиками функций принадлежности отдельных значений лингвистических переменных. Как правило, функции имеют вид несложных прямых, ломаных или криволинейных графи­ ков (рис. 24).

Как видно, лингвистическому значению переменной А соответствует не одно, а множество значений базовой пере­ менной U, имеющих в целом разные степени принадлежно­ сти рл(и). На каждом из приведенных на рис. 24 графиков имеются участки, на которых виден переход от полной при­ надлежности элементов и (р = 1) к полной непринадлежности (р = 0) или наоборот. Эти участки могут быть представлены прямыми или кривыми линиями. Если функция принадлеж-

ности определена на значительном интервале аргумента, то ее график может иметь несколько участков, в пределах кото­ рых элементы базового множества имеют постоянные или переменные значения степени принадлежности ц^н).

и

Рис. 24. Некоторые типичные виды графиков функций принадлежности лингвистических значений переменных

Опыт моделирования различных задач позволил выра­ ботать рациональную методику построения функций принад­ лежности, формализующих отношения между подлежащими учету параметрами. При этом Цл(и) выполняет роль универ­ сальной количественной характеристики влияния различных факторов на выбор наилучшей альтернативы.

В каждом конкретном случае работа по построению функции принадлежности заключается в разделении области определения функции на характерные участки и в выборе вида функции для каждого участка. Указание границ упомя­ нутых участков затруднено неопределенностью (нечетко­ стью) многих профессиональных терминов и понятий, о чем говорилось выше, и на практике определяется субъективным мнением разработчика модели. Также субъективно назнача­ ется вид функций. В помощь разработчикам в литературе [56, 59, 62] рекомендуется некоторый набор известных функций, из которых можно производить выбор прежде всего для уча­ стков с переменными значениями степеней принадлежности (на рис. 25 показан вид графиков этих функций):

Простейший вид аппроксимирующих графиков для пе­ реходных участков - прямые (yi и у 2). Такое представление является наиболее простым для расчетов, но, как всякое упрощение, проигрывает в точности описания. В этом слу­ чае границы нечеткого множества приходится назначать точно (значения а и b на графиках рис. 25), хотя оснований для такого назначения обычно недостаточно. По указанной причине большинство исследователей отдает предпочтение аппроксимации с помощью кривых, что обеспечивает плав­ ный переход к экстремальным значениям функции принад­ лежности.

В общем случае выбор наиболее подходящего вида функции принадлежности производится специалистом на основе его профессиональных знаний.

К базовым положениям теории нечетких множеств, по­ лучившим отражение в ее названии, относится возможность представления функции принадлежности в виде нечеткого множества, понятие о котором было дано выше и представ­ лено формулой (11). Элементами нечеткого множества яв­ ляются пары чисел, условно разделенные дробной чертой. Второе число - это одно из значений некоторого универсаль­ ного множества (носителя нечеткого множества), а первое число - соответствующее значение функции принадлежности (степень принадлежности ц).

Можно пояснить приведенные теоретические высказы­ вания на примере из работы автора [36], в которой был пока­ зан процесс построения функции принадлежности, отра­ жающий целесообразность применения ручной дуговой сварки (РДС) для соединений деталей разной толщины. Из­ вестно, что нельзя точно указать интервал толщин металла, свариваемых тем или иным способом. Вместе с тем у специа­

листов-сварщиков существуют интуитивные представления 0 том, когда и какой способ сварки целесообразнее приме­ нить. Они основаны на имеющемся опыте сварки.

В указанной частной задаче в качестве исходных данных приняли, что вся область применения ручной дуговой сварки находится в пределах от 2 до 50 мм. При толщине металла менее 2 мм существует опасность прожога и поэтому ручная сварка не применяется. Толщины в пределах 2-10 мм по справочным данным относятся к области преимущественного применения РДС. Можно сваривать и более толстый металл, но толщины приблизительно свыше 25-30 мм уже стремятся

В связи с этим область определения функции принадлежно­ сти разделили на четыре участка с границами: х\ = 2, х2 = 10, jc3=50 мм. Для участков толщин металла менее 2 и более 50 мм степень принадлежности р = 1.

Проблемным является участок в границах 10-50 мм, так как на нем степень принадлежности изменяется в пределах от 1до 0 и этот переход можно представить по-разному.

На рис. 26 показаны два варианта графика функции принадлежности, отличающиеся аппроксимацией функции р на переходном участке.

Р

1,0

0,5

Рис. 26. Варианты графика функции принадлежности для переменной «толщина металла, выполняемая РДС»

На рис. 26, а этот участок аппроксимируется прямой ли­ нией. Для всей области определения функция принадлежно­ сти будет иметь вид

0 при х<х, и х>х3;

Црдс (■*•*i > >*3) — 1 при х, <х<х2;

X —X

—---- при JC2 <JC<JC3. X, -х,

Вариант представления переходного участка функции принадлежности с помощью криволинейного графика показан на рис. 2 6 , б. Что касается аналитического описания формы кри­ вой, то для нее можно использовать различные выражения. До­ вольно распространенным является представление функции принадлежности в виде стандартной я-функции, для которой

Варианты рассмотренной функции принадлежности можно представить в виде нечетких множеств (НМ):

^2о.={0/1;1/2;1/10;0,75/20;0,50/30;0,25/40;0/50};

^2Об={0/1;1/2;1/10;0,88/20;0,50/30;0,13/40;0/50).

Смысл представления нечетких множеств не только в графическом и аналитическом виде, но и в виде нечетких множеств заключается в том, что с нечеткими множествами можно оперировать как с некоторыми математическими объ­ ектами, в частности, как с обычными множествами. При ре­

шении сложных неформализованных задач такие операции можно использовать для придания количественных характе­ ристик лингвистическим переменным и их значениям и для сравнительных оценок вариантов решений, принятие кото­ рых зависит от нескольких факторов.

В первом случае имеется в виду, что лингвистические переменные могут быть сложными по структуре, то есть со­ стоять из элементарных частей - терминов. Последние мож­ но разделить на четыре основные категории [15]:

-первичные термины, которые являются символами специальных подмножеств, например, большой, слабый, вы­ сокий, короткий и т.д.;

-отрицание НЕ и союзы И, ИЛИ;

-неопределенности типа очень, слабо, более или менее и т.д.;

-маркеры; чаще всего это вводные слова.

Отрицание НЕ, союзы И, ИЛИ, неопределенности и другие термины, которые входят в определение значений лингвистиче­ ских переменных, могут рассматриваться как символы различ­ ных операций, определенных на нечетких подмножествах U [15]. Доя практических целей наиболее часто применяют опе­ рации объединения, пересечения и дополнения.

Пусть А и В - нечеткие множества. Объединением не­ четких множеств А и В в U называется нечеткое множество

Объединение соответствует союзу ИЛИ.

Пересечением нечетких множеств А и В в U называется

нечеткое множество А с\В с, функцией принадлежности вида

Пересечение соответствует союзу И.

Дополнением нечеткого множества А называется нечет­

Операция дополнения соответствует отрицанию НЕ. Степенью нечеткого множества А называется нечеткое

Варьируя величиной степени а, можно менять конфигу­ рацию переходных участков на графиках функций принад­ лежности и тем самым изменять степень нечеткости исход­ ных нечетких множеств.

При значении степени а = 2 происходит операция кон­

В результате применения этой операции к множеству А снижается степень нечеткости описания, причем для элемен­ тов с высокой степенью принадлежности это отношение от­ носительно мало, а для элементов с малой степенью принад­ лежности - относительно велико.

Использование степени а = 0,5 соответствует операции

Эта операция увеличивает степень нечеткости исходно­ го нечеткого множества.

Операция контрастной интенсификации (INT) опреде­ ляется с помощью функции принадлежности следующим об­ разом:

Эта операция отличается от концентрирования тем, что

она увеличивает значения рл(н), которые больше 0,5,

иуменьшает те, которые меньше 0,5. Но, по существу, как

иоперация концентрирования, она уменьшает нечеткость А. Кроме обычных операций над множествами, в ТНМ

предложены методы вычисления значений составных терми­ нов, имеющих вид

где h - неопределенность; х - термин с фиксированным зна­ чением. Неопределенность h можно рассматривать как опе­ ратор, который переводит нечеткое множество М(х) в другое нечеткое множество M(hx). Тогда неопределенности генери­ руют множество значений лингвистической переменной из небольшого набора первичных элементов, к которым можно отнести отрицание НЕ и такие часто используемые в естест­ венном языке неопределенности, как очень, больше, меньше,

много, слабо, вполне и др.

Для пояснения приведенных методических положений можно рассмотреть следующий пример, относящийся к об­ ласти сварки.

К числу основных параметров режима сварки относится сварочный ток. Его конкретная величина обычно указывается числовым значением в амперах, но иногда сварщики упот­ ребляют и количественно неопределенные характеристики, например, большой, малый или средний сварочный ток. Ве­ личину тока в амперах можно рассматривать как базовую переменную для лингвистических понятий. Термины «боль-

шой», «малый», «средний» являются значениями (термами) лингвистической переменной «сварочный ток» и характери­ зуют нечеткие подмножества базовой переменной (рис. 27).

Рис. 27. Иерархическая структура лингвистической переменной «сварочный ток»

Задача формализации заключается в представлении не­ четких понятий с помощью функций принадлежности в виде аналитических выражений, графиков и нечетких множеств.

В соответствии с ранее изложенной методикой работу по формализации следует начинать с установления вида со­ ответствующей функции принадлежности и назначения гра­ ниц переходных участков на графиках функций. Эти вопросы может решить специалист-сварщик. Его рассуждения и дей­ ствия могут быть следующими.

1. В рассматриваемой задаче основными значениям лингвистической переменной «сварочный ток» являются ее термы «малый» и «большой». «Средний» можно считать производным от них - как «не большой и не малый».

2. Исходя из понимания, что все сварочные токи выше некоторой величины можно считать большими, а ниже неко­ торой (другой) величины - малыми, для описания нечеткого

понятия большой ток можно использовать функцию принад­ лежности вида уъ(х), а для понятия малый ток - функцию видау4(х) (см. рис. 25).

3. При назначении границ переходных участков (значе­ ний а и b на графиках функций у3 и у4) следует иметь в виду, что значения сварочного тока, которым приписывают те или иные лингвистические понятия, зависят от нескольких фак­ торов и в первую очередь от способа сварки. Так, по экс­ пертным оценкам при ручной сварке покрытыми электрода­ ми большими можно считать токи свыше 300-350 А, а при сварке под флюсом - токи свыше 700-800 А (ориентировоч­ но). Следовательно, надо определиться, применительно к ка­ кому способу относятся указанные выше'лингвистические характеристики величины сварочного тока.

4. Предположим, что имеется в виду сварка в углеки­ слом газе стыковых соединений углеродистых сталей в ниж­ нем положении. Исходя из профессиональных представлений о диапазоне сварочных токов при сварке в С02 и литератур­ ных данных о параметрах режима сварки, можно признать соответствующими понятию «большой сварочный ток» все значения тока свыше 500 А, а понятию «малый сварочный ток» - все значения тока ниже 60 А и принять следующие характеристики нечеткости понятий:

а) для больших сварочных токов:

-вид функции принадлежности - у 3(по рис. 25);

-границы переходного участка - а - 300 А,Ь = 500 А; б) для малых сварочных токов:

-вид функции принадлежности - у 4(по рис. 25);

-границы переходного участка - а = 60 А, Ь = 120 А. Подсчитанные по выражениям для функций у3 и у4соот­

ветствующие нечеткие множества могут быть представлены в виде

о больших и малых сварочных токах, можно формализовать

производные от них более сложные по структуре понятия с помощью перечисленных выше операций над нечеткими множествами и вычислений по формуле (19).

В рассматриваемом примере с помощью операции до­ полнения можно получить характеристики понятий «не большой» и «не малый» сварочные токи.

Для этого согласно формуле (14) следует в выражениях (20) и (21) степени принадлежности элементов множеств цб и

цм заменить на 1 - цБ и 1- Цм соответственно.

Применение неопределенности очень Л. Заде предложил рассматривать как операцию концентрирования (CON) [27]. Тогда для характеристики нечетких понятий «очень боль­ шой» и «очень малый» применительно к значениям свароч­ ного тока следует согласно формуле (16) возводить в квадрат степени принадлежности цб и цм в выражениях (20) и (21). Аналогичными приемами можно формализовать и другие составные термины и понятия.

6.В результате действий над базовыми множествами

(20)и (21) могут быть получены нечеткие множества как ха­ рактеристики лингвистических понятий:

в) не большой ток

Affs= {1/300; 0,98/320; 0,92/340; 0,82/360; 0,68/380;

0,50/400; 0,40/420; 0,22/440; 0,10/460; 0,03/480; 0/500}; г) не малый ток