Механика композитных материалов 1 1979

АКАДЕМИЯ НАУК ЛАТВИЙСКОЙ ССР

механика

композитных

материалов

Январь—февраль

Журнал основан в 1965 г. Выходит 6 раз в год

РИГА «ЗИНАТНЕ»

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

B.А. Белый

Г.Бодор (Будапешт)

Б.В. Болотин

Г.Й. Бранков (София)

Ф.Винклер (Берлин)

И.Я. Дзене

A.Дуда (Берлин)

К.Душек (Прага)

C. Н. Журков

С.Загорский (Варшава) B. К. Калнберз

И. В. Кнетс

М. А. Колтунов

A.Ф. Крегер

B.А. Латишенко

A.К. Малмейстер П. М. Огибалов

К.В. Опреа (Яссы) B. Р. Регель

Г.Л. Слонимский В. П. Тамуж

Ю.М. Тарнопольский

Г.А. Тетере

Ю.С. Уржумцев

Л. А. Файтельсон

Главный редактор А. К. МАЛМЕЙСТЕР Заместители главного редактора

В. А. ЛАТИШЕНКО, В. П. ТАМУЖ, Ю. С. УРЖУМЦЕВ

Ответственный секретарь И. Я. ДЗЕНЕ

Адрес редакции:

226006 Рига, ул. Айзкрауклес, 23, тел. 551694 Институт механики полимеров АН Латвийской ССР

Издательство «Зинатне»:

226018 Рига, ул. Тургенева, 19, тел. 225164 Р е д а к ц и я в с е с о ю з н ы х ж у р н а л о в

Заведующий редакцией А. В. Венгранович

Редактор С. Г. Бажанова Технический редактор Е. К. Пиладзе

Корректоры В. Н. Арне, О. И. Гронда, Л. А. Дмитриева

Сдано в набор 17.10.78. Подписано в печать 05.02.79. ЯТ 09056. Формат бумаги 70X108/16. Высокая печать. 16,8 уел. печ. л., 17,46 уч.-нзд. л. Тираж 2240 экз. Заказ 2448-Д. Отпечатано в типографии «Циня» Государственного комитета Латвийской ССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 226424 ГСП Рига, ул. Блаумана, 38/40.

© Издательство «Зннатне», «Механика композитных материалов», 1979 г.

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, М 1, 3—9

УДК 539.2:678.5.06

Л. П. Хорошун, Б. П. Маслов

ЭФФЕКТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ, ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ КОРОТКИМИ ВОЛОКНАМИ

Пространственное армирование позволяет получать композиции с улучшенными свойствами по сравнению со слоистыми и однонаправлен­ ными волокнистыми материалами. Например, композиты, армирован­ ные волокнами в трех взаимно ортогональных направлениях, обладают повышенными жесткостными и прочностными характеристиками в попе­ речных направлениях1. Однако полную оценку преимуществ конкретного типа армирования можно получить лишь в результате всестороннего количественного и качественного анализа механических свойств ком­ позита.

В настоящей работе предлагается метод прогнозирования эффектив­ ных упругих постоянных композиционных материалов, упрочненных ориентированными в пространстве короткими волокнами. В частности рассмотрены армирование в трех взаимно ортогональных направлениях, равномерная разориентация волокон в пространстве, равномерная разориентация волокон в плоскости, перпендикулярной главной оси арми­ рования.

1. Композиционный материал, как правило, представляет собой среду, упругие свойства которой случайным образом зависят от про­ странственных координат. Эта зависимость может быть описана случай­ ным статистически однородным полем тензора упругих модулей Хцтп- Будем предполагать, что действующие на материал силовые поля изме­ няются на расстояниях, значительно превосходящих характерные раз­ меры включений. Тогда упругие поля напряжений и деформаций также можно считать статистически однородными и эргодическими.

Пусть материал представляет собой матрицу, армированную произ­ вольно ориентированными короткими волокнами в форме эллипсоидов вращения. Закон связи напряжений и деформаций в произвольной точке

лее принята безындексная форма записи тензорных соотношений, под произведением тензоров понимается их свертка по внутренним индексам.

Применяя к (1) операцию статистического усреднения, что для эрго-

Здесь А,(1>— тензор упругих постоянных волокон; Я(2) — тензор упругих постоянных матрицы; с\п — концентрация волокон, ориентированных в //-направлении; С2 — концентрация матрицы. Символами е(1п), е(2) обозна­ чены тензоры деформаций, усредненные соответственно по объему воло­ кон /г-направления и по объему матрицы и2-

3

Тензор макроскопических постоянных композита А,* определяется со­ отношением <о>=А,*(е>, тогда из (2) следует: Л*= А/1) —c2№F№; е(2) = = Г<2)<в). Тем самым задача сводится к нахождению тензора Я2), связы­ вающего средние деформации матрицы е(2) и средние деформации ком­ позита <е>.

2.Подставив (1) в уравнения равновесия без учета массовых сил,

где и — перемещения композита; д — оператор дифференцирования. Уравнение (3) можно представить в следующем виде:

= /бгj6тп"Г W (6i77i6jn“Н6j7n6in) •

Используя условие малости флуктуаций перемещений на бесконеч­

где G — функция Грина уравнений (4); символом * обозначена опера­ ция интегральной свертки; ядро интегрального оператора К выражается через производные функции Грина.

Усредним уравнение (5) при условии, что текущая координата х на­ ходится в v\n объеме, т. е. в волокне ^-направления. В результате по­

условии, что x^.viп, причем х' — координата интегрирования в правой

e(2.1n)= <e|x') \x'^V2\ JCGWin).

При расчете упругих полей в рамках статистического подхода суще­ ственным является вычисление результата действия интегрального опе­ ратора К в правой части уравнения (6). Обычно здесь вводят некоторые упрощающие предположения относительно структуры рассматриваемых случайных полей. Так, в работах2-3 интегрирование выполнено в пре­ небрежении угловыми составляющими моментных функций, содержа­ щих деформации. Другой возможностью интегрирования является учет только сингулярной составляющей производных от функций Грина4. Следует отметить эквивалентность указанных приближений в том смысле, что расчетные поля тензора деформаций оказываются одно­ родными в пределах каждой фазы композита.

Можно поступить несколько иначе. Будем заранее считать флуктуа­ ции деформаций матрицы и волокон каждого из направлений прене­ брежимо малыми, т. е. поле деформаций композита принимаем в виде:

Здесь hu (x), h2{x) — индикаторные функции объемов v и, v2.

Используя приближение (7), из (6) получим следующее алгебраи­ ческое уравнение относительно средних деформаций матрицы и волокон я-направлений:

4

Дальнейшее решение уравнения (8) связано с заданием явного вида условных вероятностей рп,\и рп,2- Проведем в объеме, занимаемом ком­ позитом, произвольную прямую И функции Рп.Н, Рп,2 на этой прямой бу­ дем рассматривать как условные плотности перехода некоторого мар­ ковского процесса. Тогда, используя свойство независимости марков­ ского процесса от предшествующих состояний, получим формулы

1 —Cm

При этом уравнение (8) упрощается и может быть представлено в виде:

(/-AT/WJeUn)^ (/_Af/(i>)<e>+c2Aia,(3)e<2>;

•М—— ' K*Pn,lni

1 С\п

где I — единичный тензор четвертого ранга. Из уравнений (9) следует:

Таким образом, формулами (10) средние деформации волокон «-на­ правления выражены через средние деформации композита и средние деформации матрицы.

Для вычисления в явном виде тензора М перейдем к новой системе координат у (рис. 1), в которой ось уз совпадает с «-направлением воло­ кон. Очевидно, что все возможные направления могут быть заданы век­ торами п верхней полусферы, тогда

( 12)

Г2 = У12+ У22\ Пг= 8[л2( \ - С щ ) ^ ] - \

где k\, /г2 — размеры полуосей эллипсоидальных волокон соответственно в поперечном и продоль­ ном направлениях.

Следует отметить, что представление (12)

В этом случае «2->-0, и корреляционная функция имеет вид: ф(#) =ехр ( —«ir), что соответствует материалу, упрочненному непрерывными волок­ нами, параллельными оси х3 (см.6).

Используя выражения (12), выполним интегри­ рование, тогда в системе координат у получим

5

следующие компоненты трансверсально изотропного тензора М' в мат­ ричной форме записи7:

Здесь I, т — компоненты тензора лс; штрих над буквой означает, что соответствующая величина вычислена в системе координат у.

Учитывая (13), равенство (10) запишем в виде:

где a — тензор преобразования координат (11). Тензор z', как это сле­ дует из (10), (13), обладает трансверсально изотропной симметрией. Его компоненты в матричной форме можно записать следующим образом:

4"Р-1(6fm6jn 4” 6jmfiin) •

Пусть ориентация волокон задана плотностью распределения f((р, 0). Усредняя с ее помощью уравнение (14), найдем:

где угловые скобки с индексом о означают операцию усреднения по ориентациям волокон (см. рис. 1).

Из равенств (15) средние деформации матрицы е(2) выразим через

6

Тогда из (2) и (16) получим следующее выражение для эффективного тензора модулей упругости:

r = A,(1) - c 2^ 3)(/ + Ciz^3)) - 1=<^>+c1C2^ 3)(/ + CiZ^3)) - Iz^3).

Если волокна ориентированы в одном направлении, например, по оси Хз, то усреднение по ориентациям дает:

и из (17) получим известные формулы для материалов, армированных однонаправленными короткими волокнами5:

большинства полимерных композиционных материалов применимо пред­ ставление (20). Формулы (19) могут быть использованы для расчета пористых композитов и т. д.

3. Приведем формулы, по которым проводится усреднение трансвер­ сально изотропного тензора г' для различных случаев ориентации воло­ кон. Пусть волокна равномерно разориентированы в пространстве. Плот­

2ii + 2zi2————[10 (z'i 1+ z'i2) +36z/i3 + 5z/33]; lo

( 22)

2бб=_^7г[(2/ц + z'i2) + (Z'SQ—z'\з~z'u) + 2г'зз].

Пусть материал армирован короткими волокнами, равномерно разориентированными в плоскости Х\Х2, а также волокнами, параллельными оси *3. Плотность распределения в этом случае имеет вид:

оси хъ\ 6(0) — дельта-функция Дирака. После усреднения трансверсально

7

изотропного тензора z’ при помощи плотности (23) получим трансвер­ сально изотропный тензор z с компонентами

Если материал армирован системой коротких волокон, ориентиро­ ванных в трех взаимно ортогональных направлениях (например, вдоль

Таким образом, формулы (17) дают возможность рассчитывать тен­ зор макроскопических упругих постоянных для композиционных мате­ риалов, упрочненных различным образом ориентированными короткими волокнами. Усредняя тензор z' по формулам (22), (24), (25) и подстав­ ляя его значение в (17), получим тензор упругих модулей для материала с разориентированными в пространстве волокнами, для материала с рав­ номерной разориентацией волокон в плоскости Х\Х2 и подкреплением вдоль оси х3, для материала, армированного в трех ортогональных на­ правлениях.

Формулы (17) получены без каких-либо ограничений на параметры, характеризующие композит, например, флуктуации упругих модулей, объемные концентрации и т. д. Было использовано предположение о ма­ лости флуктуаций деформаций в пределах матрицы и волокон каждого из направлений. Как указывалось ранее, это предположение эквива­ лентно гипотезам работ2-4, т. е. предлагаемый метод обеспечивает до­ статочно высокую точность расчета упругих постоянных. Об этом гово­ рит и сравнение с экспериментом, проведенное для случая плоской за­ дачи в8. Преимуществом предлагаемой методики является возможность определения эффективных постоянных для материалов довольно слож­ ных видов пространственного армирования.

8

На рис. 2 приведены кривые, характеризующие зависимость отноше­ ний Е*зз/Е&\ E*u/E№ от относительного объемного содержания воло­ кон с\. Кривые 1, 2 дают зависимость £*33/£ (2) при £3 = Ci и £3 = Ci/10 со­ ответственно. Кривые 3, 4 иллюстрируют изменение отношения Е*ц/Е№ соответственно при | 3 = Ci и £3 = Ci/10.

На рис. 3 кривыми 1, 2 представлена зависимость отношения ,и*13/рЯ, кривые 3, 4 построены для ц*12/ц(2)- При этом кривые 1, 3 соответствуют однонаправленному композиту ( |3 = ci), а кривые 2, 4 — композиту с плоской разориентацией волокон (£3 = Ci/10).

На рис. 4 приведены графики изменения эффективных коэффициен­

Анализ графиков позволяет оценить влияние трехмерности армиро­ вания и найти такое сочетание направлений армирования, которое обес­ печило бы оптимальные характеристики композита как в продольном, так и в поперечном направлениях.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Тарнопольский Ю. М., Поляков В. А., Жигун И. Г Композитные материалы, ар­ мированные системой трех взаимно ортогональных волокон. 1. Расчет упругих харак­ теристик. — Механика полимеров, 1973, № 5, с. 853—860.

2.Болотин В. В., Москаленко В. Н. К расчету макроскопических постоянных сильно изотропных композитных материалов. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1969,

№3, с. 106—111.

3.Хорошун Л. П. К теории изотропного деформирования упругих тел со случай­ ными неоднородностями. — Прикл. механика, 1967, № 9, с. 12—19.

4.Фокин А. Г., Шермергор Т. Д. Вычисление эффективных упругих модулей с уче­ том многочастичных взаимодействий. — Журн. прикл. механики и техн. физики, 1969,

№1, с. 51—57.

5.Хорошун Л. П. Прогнозирование термоупругих свойств материалов, упрочнен­

ных однонаправленными волокнами. — Прикл. механика, 1974, № 12, с. 23—30.

6. Савин Г. Н., Хорошун Л. П. К вопросу об упругих постоянных стохастически ар­ мированных материалов. — В кн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М., 1972, с. 437—444.

7.Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах. М., 1965. 386 с.

8.Хорошун Л. П., Маслов Б. П., Шишкин П. Г. Приведенные термоупругие харак­ теристики пластины с включениями. — Прикл. механика, 1976, № 6, с. 34—40.

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 1, 10—14

УДК 539.2:539.4:678

А. X. Курземниекс

ДЕФОРМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА СТРУКТУРЫ ОРГАНИЧЕСКИХ ВОЛОКОН НА ОСНОВЕ ПАРАПОЛИАМИДОВ

Данные о сверхпрочном синтетическом волокне жесткоцепного строе­ ния впервые опубликованы в1. Материал принадлежит к классу пара­ полиамидов и находит широкое применение в качестве армирующего эле­ мента композитных материалов. Целью данной работы являлось исследо­ вание структуры этого материала и получение данных о механизме деформации и разрушения при растяжении при использовании метода дифракции рентгеновских лучей под большими и малыми углами. Как показано ниже, материал обладает так называемой жидкокристалличе­ ской (ЖК) структурой. Изучению ЖК состояния полимеров уделяется все большее внимание, так как считают, что тут открываются возможно­ сти получения новых материалов (волокон, пленок) с ценными физико­ механическими показателями2-3. Кроме того, все большую актуальность приобретает проблема связи макроскопических свойств полимеров (в частности, механических) с их молекулярной структурой, связи эле­ ментарных актов на молекулярном уровне и микрохарактеристик с их макроскопическим поведением. Ввиду изложенного рассматриваемое параполиамидное волокно вызывает особый интерес и как представитель ЖК полимеров, и как представитель класса жесткоцепных полимеров.

Рентгенографические исследования проводили на установках КРМ-1 (при малых углах) и ДРОН-2 (при больших углах) при использовании СиКа излучения (Я=1,54 А). Рефлексы снимали на одной-двух нитях (около 200 моноволокон) в шаговом режиме. Растяжение образцов осуществляли в кольцевом устройстве, одновременно выполняю­ щем функции динамометра. Деформацию регистрировали по изменению расстояния между метками на образце с помощью микроскопа.

Большеугловая дифракция. Дифрактограмма волокон изображена на рис. 1. Меридиональная часть состоит из трех кратных хорошо выра­ женных рефлексов, свидетельствующих о высокой упорядоченности в на­ правлении вдоль оси волокна. Экваториальная часть дифрактограммы содержит лишь так называемое аморфное гало. Это означает, что мы имеем дело с мезаморфной структурой. По сходству с ЖК состоянием

Рис. 1. Дифрактограмма органических волокон на основе параполиамидов: а — меридио­ нальная часть; соотношение интенсивностей рефлексов 6 100 : 64; б — экваториальная часть.

10