Механика композитных материалов 1 1979

+ Г15); абб = 2(Гз + Г8 + Г15). Из уравнений (1.11) определяем два возмож­ ных решения, характеризующих величину а, соответствующую условию потери устойчивости системы:

O55 (я11Язз—я1з2) + 2а1За 15035 —а 11а352 —а35а 1s2 27^20 (^i 1^33 —^i32)

Взависимости от соотношений между числом подкрепляющих ребер

ипараметрами волнообразования возможны /( = 15 случаев потери устой­ чивости многослойной подкрепленной композитной оболочки. Подробно

они рассмотрены в3. Здесь же отметим, что так как величины a(j) зависят и от величин входящих в (1.12) параметров т 0, п, то критическое напря­ жение aiKp, соответствующее всем рассмотренным выше случаям потери устойчивости, находим как минимальное значение о по параметрам вол­ нообразования mo, я и /1:

где a(j’) определяем из (1.12). При определении критических напряжений осевого сжатия для подкрепленных композитных оболочек, усиленных ребрами достаточно большой жесткости, кроме случаев деформации, описываемых формулами (1.12), (1.13), необходимо рассмотреть и мест­ ную потерю устойчивости полимерной панели, когда последняя защем­ лена либо на «сильных» ребрах — случай t= 1, либо на «слабых» — / = 2. Для нахождения величин критических нагрузок, соответствующих этим двум случаям деформирования, воспользуемся изложенной ранее методикой, принимая для компонент перемещений следующие выра­ жения3:

гичные ранее рассмотренным, получим выражения для определения вели­ чины критического напряжения «панельной» потери устойчивости под­ крепленной композитной оболочки:

100

101

LC O S 2 d m t O L i .

Таким образом, параметр критического напряжения потери устойчи­ вости подкрепленной многослойной композитной цилиндрической обо­ лочки находим как минимальное значение Огкр:

функции цели при нахождении оптимального проекта выбираем минимум массы конструкции — М. К параметрам оптимизации отнесем толщину оболочки б и ее s композитных слоев б,-, а также геометрические харак­ теристики подкреплений. Естественно, что при этом найденный оптималь­ ный проект будет иметь смысл лишь тогда, когда полученное решение не противоречит возможности его реализации. С этой точки зрения при на­ личии перекрестной полирегулярной системы ребер нельзя в качестве параметров оптимизации подкреплений задавать их высоту и толщину. Это объясняется тем, что при численной реализации такие характерис­ тики ребер большей жесткости, как Fсй, /„З.сб, /кр.сб, Ешб, /из.шб, /кр.ш6 включают соответствующие величины как «сильных», так и «слабых» стрингеров и шпангоутов, т. е.:

/У5= /V + f 2с; Fшб = /Vй + /74ш; /иэ.с6= /из.с(1)+ /из.с(2);

( 2. 1)

1 1 1 3 . = I из.ш^* Ч- I и з . ц Ч ^ / к р . с 6 = - Л ф .с ^ Ч- Л ф . с ^ > ^кр.ш ° = /к р .ш ^3^ 4 “ /к р .Ш ^ -

Поэтому необходимо в этих сечениях применять подкрепления, характе­ ризующиеся, как минимум, тремя параметрами (например, уголкового сечения). Таким образом, оптимизация предлагаемой модели осуществ­ ляется в два этапа. На первом этапе, полагая, например, что ребра имеют прямоугольную форму, находим величину функции цели с учетом всех ограничений. Затем, считая размеры, число, а следовательно, и пара­ метры F2‘, Е4Ш, . . . , /,ф .с(2), /кр.ш(4) подкреплений найденными, переходим к определению геометрических характеристик ребер большей жесткости, для чего задаем их форму в виде уголкового профиля, удовлетворяющего уравнениям (2.1). Разрешая эти уравнения относительно неизвестных, обеспечивающих изготовление данного профиля (размеры полок, тол­ щина), затем полностью определяем искомый проект.

Таким образом, задаваясь величинами Я* = /io76of (h0— высота, а 6о толщина соответствующего модельного ребра) в качестве параметров оптимизации ребер достаточно выбирать площади их сечений — Fic, /V,

102

Ft"1, F4Ш. Пренебрегая величинами более высоких порядков малости, по­ лучаем выражение для целевой функции G(x):

где G(x)=M/pi; p,- — удельные плотности полимеров, из которых изго­

pi

3. На оптимизируемую функцию G(x) накладываются ограничения трех типов — устойчивости, прочностные и геометрические (к последним будем относить и ограничения технологического порядка). В общем виде эти ограничения запишутся следующим образом:

Ограничение по потере устойчивости рассматриваемой конструкции, с учетом соотношений (1.16), запишется в виде:

____________ N_______ _____

где N — величина сжимающего осевого усилия. Оптимизацию будем про­ водить для оболочки, «сильные» ребра которой имеют уголковый про­ филь, а сечения слабых являются прямоугольными. Так как ограничение местной потери устойчивости многослойной композитной панели вклю­ чено в соотношение (3.1), то перейдем к выводу ограничений по местной устойчивости аксиальных ребер. Для этого достаточно вывести ограни­ чение, характеризующее местную потерю устойчивости «слабого» стрин­ гера.

«Слабый» стрингер будем рассматривать как сжатую в одном направ­ лении длинную пластинку, три стороны которой закреплены шарнирно, а четвертая свободна. Подробно эта задача рассмотрена в6. Здесь же приведем вытекающее из ее решения ограничение по местной потере устойчивости аксиального подкрепления:

В постановке задачи уже отмечалось, что оптимальный проект будем отыскивать для композитной оболочки, материалы слоев и подкреплений которой работают в упругой области. В связи с этим естественно при оптимизации ввести в рассмотрение и ограничение по прочности на тор­ цах системы. Однако в случае, когда оболочка изготовлена из композит­ ных материалов, вывод общих соотношений, характеризующих границы их упругого поведения, сопряжен со значительными, а порой с нераз­ решимыми трудностями, так как в настоящее время не существует при­ емлемой общей теории, описывающей предельное состояние композита2. Поэтому, решая оптимизационную задачу на устойчивость многослойной подкрепленной композитной оболочки, ограничимся случаем, когда

103

УДК 624.074.4:678.5.06

М. А. Колтунов, Б. И. Моргунов, Л. Ф. Петров

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОРОТКОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

Рассмотрим короткую цилиндрическую оболочку, выполненную из ортотропного материала, наследственные свойства которого описываются линейной теорией вязкоупругости1. Торцы оболочки считаются жестко защемленными и закрытыми заглушками. Эта конструкция подвергается действию всестороннего внешнего давления, зависящего от времени по гармоническому закону. Для описания движения рассматриваемой обо­ лочки воспользуемся нелинейными уравнениями типа Кармана2. Приме­ нение метода Бубнова—Галеркина и замена упругих модулей времен­ ными операторами наследственной теории вязкоупругости позволяет свести рассматриваемую задачу к исследованию периодических решений следующего интегродифференциального уравнения:

Здесь со, Q — частота и амплитуда внешнего возмущения; б — коэффи­ циент, учитывающий потери энергии при колебаниях оболочки; со02, щ, п3 — постоянные, которые определяются при применении процедуры Бубнова—Галеркина к исходной системе уравнений; R — ядро релакса­

ции вида3:

Наше рассмотрение относится к случаю, когда в (1) слагаемые в пра­ вой части малы по сравнению с левой частью, т. е. принимаются малыми амплитуда возмущения Q, коэффициент б, а также вязкость материала оболочки.

Как известно4, в системах типа (1) резонансные колебательные ре­ жимы, соответствующие минимальной амплитуде внешнего возмущения Q, возникают при выполнении резонансного соотношения

Поэтому периодическое решение (1), соответствующее условию (3), бу­ дем искать в виде:

*/= /cos ( - |^ + ф)

где / и ф — амплитуда и фазовая расстройка резонансных колебаний. Ограничиваясь расчетом резонансных режимов в первом приближении, преобразуем интегральные члены в (1), используя процедуру заморажи­ вания5:

t

106

j R{t-s)y*(s)ds = y3Rc( ^ ) + ^ г » /3Я*( ^ - ) + —00

( 5 )

Здесь

Г — гамма-функция-

Переходя в (1) от у и у к новым переменным f и ср и используя выра­ жения (4), (5), получим систему двух дифференциальных уравнений от­ носительно / и ф:

Отметим, что правые части (6) являются малыми величинами, т. е. система (6) имеет стандартную форму4. Поэтому заменим ее правые части их средними значениями по быстрой фазе ф и получим усредненные уравнения первого приближения, соответствующие (6):

107

Стационарные резонансные значения /о, Фо амплитуды колебаний f и фазовой расстройки ф приближенно определяются как точки покоя усред­ ненной системы (7):

С помощью соотношения (9) строятся амплитудно-частотные харак­ теристики (графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия) и исследуются зависимости резонансных колебаний от характеристик внешнего воздействия и от наследственных свойств материала оболочки. Результаты численных расчетов приведены на графиках.

На рис. 1 представлены амплитудно-частотные характеристики для различных параметров а трехпараметрического ядра (2). Кривые а, Ъ соответствуют значениям а = 0,2 и а = 0,4, кривая с изображает ампли­ тудно-частотную характеристику соответствующей (1) упругой задачи. При расчетах принималось 6= 0,01, Q=l,lQo (0,05; 0,2), где Q0(-^,a) — минимальная амплитуда внешнего возмущения, при которой уравнение

(1) имеет нетривиальное стационарное решение для заданных парамет­ ров А и а ядра (2). Исследование устойчивости найденных стационарных резонансных режимов показывает, что колебания, соответствующие верх­ ней ветви амплитудно-частотной характеристики, являются устойчивыми, а колебания, соответствующие нижней ветви, — неустойчивыми.

На рис. 2 приводятся амплитудно-частотные характеристики для различных значений параметра А ядра релаксации (2). Кривые а, b, с

108