Механика композитных материалов 1 1979

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 1, 79—85

УДК 624.074.4:678.5.06

А. Ф. Крегер, Г А. Тетере

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ

В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ

Дальнейшее повышение устойчивости конструктивных элементов из композитов связано с разработкой и оптимизацией пространственных схем армирования, которые могут устранить ряд существенных недостат­ ков традиционных двухмерно-армированных композитов, в частности слабое сопротивление слоистых пластиков межслойному сдвигу и попе­ речному деформированию. Наряду с решением технологических задач важное место в этом направлении занимает развитие методов расчета и оптимизации пластин и оболочек из композитов с пространственной схе­ мой армирования. Решение поставленной задачи принципиально невоз­ можно на базе классической теории Кирхгофа—Лява, так как гипотезы этой теории приводят к плоскому, двухмерному напряженному состоя­ нию, что вызывает потерю информации о пространственной работе ма­ териала. Только уточненные теории, учитывающие поперечные сдвиги1-4 и деформирование в поперечном направлении4, могут служить основой для оценки эффективности пространственного армирования.

В настоящее время точныё методы определения деформативных характеристик пространственно армированного композита по известным характеристикам его компонентов отсутствуют. Однако в работе5 пред­ ложен соответствующий приближенный метод; сопоставление теоретиче­ ских расчетов, проведенных по этому методу, с результатами экспери­ ментов6 позволяет сделать вывод о применимости его для определения деформативных характеристик композита с произвольным пространст­ венным армированием прямыми или кусочно-прямыми волокнами.

В данной работе на основе теории устойчивости трехмерных деформи­ руемых тел4, уточненной теории устойчивости оболочек из композитов1-3 и метода определения деформируемости пространственно армированных композитов усреднением жесткостей5 решены некоторые задачи оптими­ зации структуры материала в пластинах, оболочках и трехмерных телах, причем считается, что потеря устойчивости наступает раньше, чем разру­ шение материала.

1. Деформативные характеристики композита произвольного про­ странственного армирования прямыми волокнами определяем при по­ мощи математической модели, в которой каждое отдельное направление армирования представлено стержнем соответствующей ориентации5. Объем такого однонаправленно армированного стержня определяется как сумма объема арматуры данного направления и расчетного объема связующего. Принято, что общее количество связующего распределяется по отдельным направлениям пропорционально объему арматуры соот­ ветствующего направления. Жесткость композита AapV6 определяется пу­ тем усреднения жесткостей отдельных стержней, приведенных к выбран­ ным осям композита х, у, z :

N

А (1)а руб' l-Hi

где |Х2= 2 \L i\ \ц=Ув.м/У\ A a № {i)=AkimTi(i)lhJifilmvln6\ k,l,m,n 1,2,3 — t'= 1

79

ски1 или экспериментально) из соответствующих свойств матрицы и арматуры (*'-го направления) как для однонаправленно армированного композита при коэффициенте армирования, равном р^.

Задачу оптимизации свойств материала сформулируем следующим образом: для заданных усилий и геометрии изделия следует определить необходимое количество направлений армирования N, их ориентации (0 фг) в пространстве л;, у, z (рис. 1) и объемные коэффициенты армиро­ вания pi таким образом, чтобы данная конструкция в определенном смысле была бы оптимальной. В данной работе оптимальной будем счи­ тать такую структуру, которой соответствует максимальное значение кри­ тической нагрузки.

Рассмотрим 11 различных структур композита, показанных на рис. 2, и их сочетания. Первые три структуры — Sb S2, 53 — представляют

Рис. 2. Схемы армирования.

80

собой однонаправленное армирование вдоль соответствующих осей. Сле­ дующие три схемы — S4,S5,5б— предполагают перекрестное армирова­ ние под углом ± а в каждой из трех плоскостей. Схемам S7 и 58 соответ­ ствует материал с плоскостью изотропии 1,2 и 2,3. Последние три схемы являются пространственными: S9 — пространственно хаотическое арми­ рование; Sio — армирование вдоль пространственных диагоналей куба; 5 ц — армирование по направлениям образующих конуса с продольной осью х. Материал, армированный по схеме 5ц, является монотропным с плоскостью изотропии, перпендикулярной оси х. В рассмотренных ниже задачах пространственные схемы армирования создаются путем сложе­ ния отдельных схем, приведенных на рис. 2. Приняты следующие свойства исходных материалов: £ а= 4 000 000 кгс/см2; va= 0,2; £ с = 30 000 кгс/см2; vc = 0,4.

2. Рассмотрим устойчивость бесконечно длинной в направлении Oz пластинки толщиной h и шириной / (рис. 3) при сжатии ее вдоль оси Ох усилиями интенсивности <71. Критическое усилие данной пластинки с уче­ том пространственного напряженного состояния дается зависимостью4

осях х, у, z. Найдем схему армирования, при JULS= 0,60, которой соответ­ ствует максимальное значение <71 Кр. Результаты расчета приведены в табл. 1. Лучшие результаты оптимизации дало применение схемы S4; при ф = 0,05 было получено, что максимальному значению q\ кр соответст­

Примечания. цг = 0,60. Данные, помеченные одной звездочкой, получены путем опти­ мизации. Величины, помеченные двумя звездочками, не варьировались. ф = /г/2 /.

трансверсально-изотропного тела, плоскость изотропии которого совпа­ дает с плоскостью х = const, имеющего цилиндрическую полость с круго­ вым поперечным сечением радиуса R, ось которой совпадает с осью Ох. При сжатии тела вдоль оси Ох критическое напряжение при образовании большого числа выпучин вдоль образующих и в случае полости большого радиуса дается выражениями4

Рис. 3. Схема бесконечно длинной сжатой пластинки.

Put. 4. Схема оболочки, нагруженной сжатием вдоль оси 0.v(r/,) или наружным давле­ нием (<7 з).

82

ское усилие в случае осесимметричной деформации и при образовании большого числа выпучин вдоль образующей дается выражением4

Схема оболочки и направления осей показаны на рис. 4 (73 = 0). Ре­ зультаты максимизации <71 кр в зависимости от схемы армирования даны в табл. 3. Рассмотрены схемы армирования, удовлетворяющие условиям монотропии — четыре плоские схемы (S[,S8) и десять пространственных (сочетания схем Si, S8, S9, Sn). Данные табл. 3 показывают, что про­ странственное армирование (S i+S8) приводит к значению 71 ир более чем в полтора раза большему, чем плоская схема Sb при том же ps = 0,5. Практически одинаковые величины q\ кр для упомянутых схем можем по­

Табл.

Критические внешние давления <7ЗКр для ортотропной цилиндрической оболочки

Примечания. Углы а и р не варьировались. Звездочкой помечены данные, получ ные путем оптимизации.

Расчеты были проведены при следующих значениях параметре pi = 2; р2 = 0,05.

Результаты выбора структуры армирования и оптимизации при! дены в табл. 4. Ввиду отсутствия расчетного максимального процен армирования для пространственно армированных материалов при ср< нении различных схем армирования было принято pis= 0,4. Результа табл. 4 показывают, что наибольшие значения критических нагруз дают схемы, приспособленные к восприятию сдвиговых напряжений, i пример, из плоских структур — схема 54(± а = 45°), а из пространств» ных — сочетание S4 и 5ю; последняя схема дает значение <73 кр пример в 1,2 раза большее, чем схема S4. Учитывая, что оптимальная величи pis для плоских схем больше 0,4, мы подсчитали ^ЗКр для этих схем г pis= 0,6. Согласно6 максимальное значение pis для схемы 5 !0 равно 0, и следовательно схемы S4 и Sio равноценны. Было бы желательно уста] вить максимальные значения pis и для других пространственных схем, 1 позволило бы создать более перспективные структуры армирования. С дует, однако, отметить, что увеличение pis, хотя и повышает ^3Kp, но в же время делает оболочку более тяжелой.

Таким образом, проведенный анализ показывает, что при задана геометрии и массе конструкции (pis = const) применение пространств ных структур армирования по сравнению с плоскими приводит к суще венному увеличению критической нагрузки.

84

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № /, 86—95

УДК 627.074.4:678.5.06

А. Н. Андреев, Ю. В. Немировский

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СЛОИСТЫХ АРМИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕК

Вработе1получены нелинейные дифференциальные уравнения изгиба

иколебаний упругих многослойных анизотропных оболочек, слабо со­ противляющихся деформациям поперечного сдвига. В предлагаемой ра­ боте на основе этих уравнений построены линейные уравнения динамиче­ ской упругой устойчивости слоистых оболочек. Полученные уравнения использованы для решения задачи потерн устойчивости шарнирно-опер­ той слоистой армированной цилиндрической оболочки, нагруженной внешним равномерным давлением. Учтена неоднородность начального напряженного состояния слоистой оболочки. Оценено влияние попереч­ ного сдвига на величину критической нагрузки.

1.Нелинейные уравнения движения упругой многослойной оболочки имеют вид1:

вует равновесная форма, характеристики напряженно-деформированного состояния которой имеют выражения

Подставляя (1.3) в (1.1), (1.2), учитывая, что Г“Р, МаР,. удовлетво­ ряют ( 1.1), (1.2), а также пренебрегая нелинейными слагаемыми, содер­ жащими произведения возмущений, приходим к системе линейных диф­ ференциальных уравнений динамической упругой устойчивости:

86

(5Vv—5w°)6n:t:v + S:':vv6jT = 0.

2. В качестве примера рассмотрим шарнирно-опертую цилиндриче­ скую армированную оболочку длины I и радиуса R, нагруженную внеш­ ним равномерным давлением интенсивности Р. Пусть х = х 1 расстояние, отсчитываемое вдоль образующей от края оболочки, ц>= х2 — полярный угол. Для этого случая в переменных х, ср система уравнений устойчи­ вости (1.4) принимает вид:

Здесь T*xx, T*x,r, . — физические составляющие соответствующих тен­ зоров, выражаемые через напряжения по формулам из1.

Предположим, что оболочка собрана по толщине из пг слоев, каждый из которых армирован таким образом, что оси ортотропии совпадают с главными осями поверхности оболочки. Соотношения между средними напряжениями и средними деформациями &-го слоя имеют вид:

Отметим, что величины аДЧ с,i[,l] при использовании моделей армирован­ ного слоя, предложенных, например, в2’3, определяются расчетным путем, являясь при этом функциями механических характеристик материалов, составляющих композит, а также структурных параметров армирования.

87

Физические составляющие тензора деформаций связаны с составляю­ щими вектора перемещений формулами

В соотношениях (2.3) отброшены слагаемые порядка h/R по сравнению с единицей.

К уравнениям (2.1)—(2.3) должны быть присоединены граничные условия, которые в случае шарнирного опирания запишем в виде:

В силу замкнутости цилиндрической оболочки потребуем периодичности всех функций по координате с периодом 2л. Задача состоит в определе­ нии минимального значения давления Р, при котором однородные урав­ нения (2.1) — (2.3) допускают нетривиальное решение, удовлетворяющее однородным граничным условиям (2.4) и условию периодичности по ко­ ординате ф.

Для определения усилий и прогиба, входящих в уравнения (2.1) и от­ носящихся к основному состоянию, рассмотрим вначале задачу осесим­ метричного изгиба. Уравнения изгиба и граничные условия запишутся в виде1:

Введем безразмерные параметры и переменные у = -^-;-у=б; i r c =Sh'

нения (2.5) вместо усилий и моментов их выражения через Уь У2, У5 и, кроме того, отбрасывая во всех соотношениях члены порядка h/R по сравнению с единицей, приходим к системе дифференциальных уравне­ ний изгиба, которую запишем в матричной форме:

Граничные условия (2.6) в переменных Уг- ( t = l , . . . , 6) имеют вид:

88