Механика композитных материалов 1 1979

тельно поворота вокруг п. Они названы сферическими инвариантами18. В изотропном теле, очевидно, таких сферических инвариантов всего пять — нормальное и касательное напряжения и три инварианта тензора напряжений. В статье19 полиномиальные базисы сферических инвариан­ тов построены для всех наиболее распространенных анизотропных сред. Используя предположение, что разрушение наступает при достижении квадратичной формой сферических инвариантов предельного значения, а направление разрушения определяется максимумом этой формы, в ра­ боте20 построены поверхности прочности для изотропного и ортотропного материалов. При этом кривые прочности состоят из нескольких эллипти­ ческих дуг соответственно видам разрушения, а коэффициенты уравнений зависят от направлений разрушения материала при простых напряжен­ ных состояниях. Если композитный материал является сильно анизотроп­ ной средой (как например, одноосно армированный материал), то на­ правления разрушения в таком материале заранее определены его струк­ турой и построение поверхностей прочности облегчается. Так, в работе21 для построения поверхности разрушения однонаправленного композита использованы разные аналитические выражения, соответствующие от­ рыву и сдвигу. При этом принималось, что допустимы только два направ­ ления разрушения — перпендикулярно и параллельно волокнам.

Для многослойного композита с продольно-поперечной или косой ук­ ладкой его прочность в зависимости от структуры может быть оценена методом анализа прочности отдельных слоев. Композит рассматривается как многослойная конструкция, составленная из однонаправленных, раз­ ным образом ориентированных армированных слоев, причем критерий прочности отдельных слоев предполагается известным.

Напряженно-деформированное состояние отдельного слоя определя­ ется зависимостями многослойных пластин или оболочек, причем слои в пакете могут быть ориентированы произвольно. Таким образом, извест­ ными считаются критерий прочности слоя и алгоритм определения на­ пряжений в слое:

Рис. 5. Значения компонент тензоров поверхности прочности в зависимости от структуры.

Рис. 6. Разбивка сечения композита на треугольные конечные элементы для определения его напряженно-деформированного состояния.

39

где о№ — напряжения в /'-м слое; Nj — усилие, приложенное к много­ слойному пластику. По заданному Nj согласно (2) определяем Oi(j) и да­ лее по (1) проверяем прочность /-го слоя. Проверяя прочность слоев при возрастании Nj, можем определить наступление разрушения первого и последующих слоев и таким образом построить поверхность разрушения слоистого композита.

Более точно поверхность прочности для однонаправленного компо­ зита можно строить, определяя напряжения в матрице и волокнах мето­ дом конечных элементов. Такой подход использован в статье22. Для оценки прочности матрицы, находящейся в объемном напряженном со­ стоянии, принято условие прочности в виде полинома от трех инвариан­ тов напряжений. Для армирующих волокон применен критерий Мизеса. Разбивка сечения композита на треугольные конечные элементы, кото­ рые были использованы для определения напряженно-деформированного состояния композита при плоском напряженном состоянии, показана на рис. 622. Следует отметить, что после появления первых дефектов — мик­ ротрещин — распределение напряжений в окрестности волокон сущест­ венно меняется, и необходимы дальнейшие исследования взаимодействия микротрещины в матрице с армирующими волокнами.

Перспективными композитными материалами в настоящее время являются металлы, армированные высокопрочными и высокомодульными волокнами. Экспериментальным и теоретическим исследованиям этих анизотропных материалов посвящены работы23-25 *1др-. В расчетах таких материалов следует определить величину пластической деформации матрицы. Имеется ряд работ, где такие расчетные модели предложены, причем микронапряжения определяются методом конечных элементов.

Исследования действительной работы и разработка методов расчета конструкций из композитных материалов основываются прежде всего на учете анизотропии механических характеристик материалов, а также рео­ логических и пластических свойств композита. При создании с помощью армирования наибольшей прочности и жесткости композита в некоторых преимущественных направлениях снижается прочность и жесткость мате­ риала в других направлениях. Вопросы расчета балок, пластин и обо­ лочек на прочность, жесткость и устойчивость с учетом указанных осо­ бенностей в свойствах композитных материалов широко рассмотрены и исследованы в работах и монографиях многих авторов, библиографию которых можно найти в1.

Установлено, что учет поперечного сдвига и трансверсальной сжимае­ мости дает более точные значения критических нагрузок. Неучет этих факторов завышает значения критических сил. При этом уточнение полу­ чается главным образом за счет малой сдвиговой жесткости. Подробно были исследованы формы потери устойчивости оболочек из армирован­ ных пластиков; установлено, что формы выпучивания при длительном на­ гружении могут преобразовываться за счет ползучести материала. Форма при длительной потере устойчивости отличается от кратковременной, при этом в критический момент времени интенсивно развивается неосесим­ метричная форма. При определенных относительных толщинах оболочки выпучивание, проходящее в течение определенного времени, сопровожда­ ется разрушением материала; в частности в закритической стадии де­ формирования оболочек наблюдалось расслоение материала от касатель­ ных напряжений межслойного сдвига26-28.

Подробно исследованы вопросы параметрических колебаний цилинд­ рических оболочек из композитных материалов с учетом влияния упру­ гого или вязкоупругого заполнителя. Установлено влияние малой сдви­ говой жесткости оболочки на смещение спектров областей динамической неустойчивости. Получено, что из-за влияния мягкого упругого заполни­ теля в оболочке каждая область динамической неустойчивости для пус­

40

той оболочки расщепляется на бесконечный спектр узких областей, кото­ рые уменьшаются или исчезают при учете вязких свойств материала29-31.

Результаты механики композитных материалов с учетом его струк­ туры вместе с теорией многослойных оболочек, а также возможности не­ линейного программирования позволили разработать методы оптимиза­ ции структуры армированных пластиков в конструктивных элементах. В первых работах по оптимизации оболочек из композитов рассмотрены задачи о рациональном армировании методом непрерывной намотки ци­ линдрических оболочек. Получен угол армирования, при котором конст­ рукция наиболее жесткая или критическая нагрузка максимальная и т. п.

В более общей постановке задач оптимального проектирования обо­ лочек из композитных материалов следует одновременно учитывать возможность исчерпания несущей способности конструкции по прочности, устойчивости и жесткости; в качестве критерия оптимальности во многих задачах целесообразно принимать минимум массы оболочки. В такой по­ становке задача оптимизации решалась в работах32-34, в качестве пара­ метров оптимизации принимались направления армирующих волокон, от­ носительное количество слоев с различным способом армирования, объ­ емный коэффициент и геометрические параметры оболочек. Задача в данной постановке математически формулируется как задача нелиней­ ного программирования вида:

найти min G(x) при ср(х) ^ 0; 4х (т, п, х) ^ 0,

где х= {h, R, |х, 0т , рт , .} — вектор параметров оптимизации; /г, R — толщина и радиус оболочки; р — объемный коэффициент армирования; 0т — относительное количество слоев данного типа; |Зт — угол армиро­ вания слоя; ф(х) ^ 0 — семейство структурных и геометрических ограни­ чений; W { m ,n ,x )^ 0 — семейство ограничений по несущей способности конструкции (устойчивость, прочность, жесткость, частота собственных колебаний и др.); т, п — параметры волнообразования, которые опреде­ ляются свойствами материала, т. е. его структурой и свойствами исход­ ных материалов, а также геометрией конструкции.

Оптимизация в упомянутых работах проводилась методами нелиней­ ного программирования. Были рассмотрены различные модели материала и структуры: в упругой постановке с равномерным и дискретным распо­ ложением слоев, с учетом вязкоупругих свойств материала, с учетом ста­ тистических факторов и др. В частности, было получено, что неоднород­ ная структура пакета по сравнению с однородной для частных случаев дает выигрыш в массе более чем на 20%.

Предложена модель оптимизации оболочек вращения с неоднород­ ными по длине свойствами. Задачи решались путем построения дискрет­ ной модели непрерывной задачи оптимизации с помощью метода конеч­ ных элементов. Характеристики конструкции и материала в пределах каждого элемента постоянны, но меняются от элемента к элементу. Вели­ чины, характеризующие свойства конструкции в пределах конечного эле­ мента, выбираются в качестве параметра оптимизации и, таким образом, непрерывная задача оптимального уравнения преобразуется в задачу не­ линейного математического программирования, ограничения для кото­ рой, определяемые предельными состояниями, рассчитываются методом конечных элементов. На рис. 735 показана оптимальная форма оболочки вращения, работающей на внешнее давление с заданными значениями радиуса на концах. Выигрыш в массе по сравнению с однородной обо­ лочкой в виде усеченного конуса составляет 14%35.

Были разработаны также модели оптимизации оболочек с учетом ста­ тистических факторов, позволяющих учитывать случайный разброс свойств матрицы и арматуры и случайные отклонения форм оболочек от идеальной. Соответствующие задачи были сформулированы в виде за­ дачи стохастического программирования: требуется определить минимум

41

математического ожидания массы оболочки при вероятностных ограниче­ ниях на надежность относительно устойчивости и надежность относи­ тельно прочности36.

Особую актуальность представляет оптимизация конструктивных элементов с применением перспективных видов пространственного арми­ рования, которое обеспечивает большую жесткость поперечного сдвига и трансверсального деформирования37. В этих задачах следует использо­ вать уточненные зависимости определения устойчивости и других пре­ дельных состояний38.

Существующие технологические установки позволяют осуществить послойное армирование или армирование по трем взаимно перпендику­ лярным направлениям. Принципиально новые оптимально армированные материалы можно получить, если осуществить пространственное армиро­ вание материала непрерывными волокнами под разными углами. При этом возможно создать материалы с высокой прочностью и вязкостью, надежно сопротивляющиеся деформированию и разрушению при дейст­ вии сложного напряженного состояния. Разработка теоретических основ и технологической оснастки таких схем армирования позволит создать новые оптимальные конструкции из композитных материалов. Перспек­ тивными в этом направлении могут оказаться углубленные исследования структуры природных композитов.

Большое значение для правильной оценки работы конструкций из композитных материалов при длительной их эксплуатации имеют многопараметровые методы прогнозирования длительного деформирования этих материалов по результатам ускоренных лабораторных испытаний. Основы этих методов изложены в работе39. В качестве факторов, законо­ мерно ускоряющих релаксационные процессы, рассмотрены температура, интенсивность напряжений, малые вибрационные догрузки и изменение влажностного состояния материала.

В расчетах деформаций и прочности композитных материалов до сих пор уделялось мало внимания вопросам адгезии и учету межкомпонент­ ного слоя40. Толщина этого слоя, в котором могут существенно меняться свойства материала, может достигать нескольких сотен ангстрем. Общий возможный объем этого слоя может быть вполне сравним с объемом на­ полнителя (рис. 8). Эффект граничного слоя существен, особенно для мягких матриц и мелкодисперсного наполнителя. Для углепластиков об­ щая поверхность волокон может достигать нескольких квадратных мет­ ров на один грамм, что заставляет в расчетах учитывать граничный слой.

На рис. 9 показаны результаты изменения модуля упругости пласти­ фицированной эпоксидной смолы при сильном наполнении ее дисперс-

Рис. 7. Оптимальная форма оболочки вращения из композитного материала, работающей при внешнем давлении. Радиусы па концах оболочки заданы.

Рис. 8. Отношение объема граничного слоя Vc к объему наполнителя Vn в зависимости от величины удельной поверхности наполнителя. Толщина граничного слоя принята рав­ ной 400 Л.

42

ным наполнителем41. Все использованные наполнители имеют прибли­ зительно одинаковый модуль упругости, но сильно различаются по вели­ чине свободной поверхности. Как видно, результирующий модуль упру­ гости композита при этом существенно меняется.

Целенаправленное изменение свойств поверхностного слоя армирую­ щих элементов является действенным средством улучшения механиче­ ских характеристик композита.

В качестве примера рассмотрим ионообменное модифицирование стеклонаполнителя, позволяющее при получении стеклопластика одновре­ менно увеличивать прочность стекловолокон, изменять структуру связую­ щего и условия взаимодействия компонентов на границе раздела фаз42.

При введении в стекловолокно ионов меди в количестве до 0,12% улучшается смачивание стекложгута полиэфирным связующим (высота капиллярного поднятия) и увеличивается скорость отверждения, причем в процессе отверждения снижается температура саморазогрева, т. е. от­ верждение становится более равномерным и однородным. При содержа­ нии ионов меди в стекловолокне 0,12% достигается насыщение поверх­ ностного слоя, и эти свойства, связанные с поверхностью стекловолокон, при дальнейшем увеличении содержания ионов меди практически не меняются, в то время как прочность стекловолокон линейно увеличива­ ется с увеличением содержания ионов меди (рис. 10).

Практически модифицирование поверхностей стеклонитей осуществ­ ляется путем выдержки волокон в расплавах солей, и удовлетворитель­ ные результаты получаются уже за время обработки, равное десяткам секунд. Повышение адгезии наполнителя и плотности готового продукта вдвое снижает водопоглощение стеклопластика.

Поскольку композитные материалы имеют определенный разброс свойств, то для развития производства конструкций из композитных ма­ териалов особенно важны диагностика и неразрушающие методы испы­ тания — как для обнаружения повреждений, возникающих в процессе нагружения, так и для предсказания срока службы и определения ка­ чества конструкции сразу после его изготовления. Основы этих методов изложены в книгах5-43.

В серийных изделиях причиной изменчивости механических свойств материала и несущей способности изделий являются отклонения тех или

Рис. 9. Зависимость модуля упругости эпоксидных композитов от объемной концентра­ ции наполнителей ф. Наполнители с удельной поверхностью м2/г: 1 — аэросил, 175; 2 — метасиликат кальция, 119; 3 — мел химический, 14; 4 — сажа Тег-10, 10.

Рис. 10. Изменение прочности ст стекловолокна, адгезии (измеряемой высотой капилляр­ ного подъема связующего h вдоль волокна за 4 ч) и времени отверждения композита т при модифицировании поверхности стеклонитей нонами меди.

43

иных структурно-технологических параметров, которые не всегда возможно контролировать и регулировать непосредственно в процессе производства, например, распределение связующего в объеме изделия, углы укладки арматуры, пористость, относительная концентрация микронепроклеев на поверхностях раздела компонентов и слоев пластика и т. д. Изменение этих параметров влечет за собой изменения ряда физиче­ ских свойств (акустических, вибрационных, диэлектрических, теплофизи­ ческих и др.)> которые можно изучать, не прибегая к разрушению кон­ тролируемых изделий. Отсюда следует принципиальная возможность ди­ агностики изменения показателей жесткости и прочности композитных материалов и изделий из них путем сравнения характеристик контроли­ руемых изделий, измеренных неразрушающими методами, со значе­ ниями аналогичных характеристик «эталонного» или «жертвенного» изделия. Для реализации этих возможностей необходимы следующие условия:

1) создание комплекса приборов и разработка методик измерения с высокой точностью физических характеристик материала в реальных из­ делиях и конструкциях, как правило, при доступе к ним только с одной стороны;

2)изучение механизмов деформирования и предельных состояний материалов и конструкций с учетом влияния их конструктивных особен­ ностей для выявления тех структурных и иных параметров, неразрушаю­ щий контроль которых обеспечит возможность диагностики показателей жесткости и прочности материалов и конструкций с заданной точностью;

3)установление взаимосвязей физических характеристик с парамет­ рами структуры, показателями механических свойств композитного мате­ риала, его компонентов и адгезионного взаимодействия между ними.

Успешное развитие и углубление исследований по всем рассмотрен­ ным проблемам является залогом дальнейшего прогресса механики композитных материалов.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Малмейстер А. К-, Тамуж В. П., Тетере Г А. Сопротивление жестких полимер­ ных материалов. Изд. 2-е. Рига, 1972. 498 с. (пер.: Mechanik der Polymerwerkstoffe. Berlin, 1977. 597 S.).

2.Крегерс А. Ф., Мелбардис Ю. Г Определение деформируемости пространственно армированных композитов методом усреднения жесткостей. — Механика полимеров, 1978, № 1, с. 3—8.

3.Тутанс М. Я., Уржумцев Ю. С. Прогностика процессов разрушения стеклоплас­

1968. 320 с.

6.Розен Б. Механика упрочнений композиций. — В кн.: Волокнистые композици­ онные материалы. М., 1967, с. 54—96.

7.Гуняев Г М. Поликомпонентные высокомодульные композиты. — Механика по­ лимеров, 1977, № 5, с. 819—826.

8.Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. М., 1970. 443 с.

9.Болотин В. В. Некоторые математические и экспериментальные модели процессов разрушения. — Проблемы прочности, 1971, № 2, с. 13—20.

10.Болотин В. В. Статистическая теория накопления повреждений в композицион­ ных материалах. — Механика полимеров, 1976, № 2, с. 247—255.

11. Zweben С. Tensile failure of composites. — AIAA Journal, 1968, N 12,

p.2325—2331.

12.Тамуж В. П., Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных материа­ лов. Рига, 1978. 294 с.

13.Малмейстер А. К. Геометрия теорий прочности. — Механика полимеров, 1966,

№4, с. 519—534.

14.Упитис 3. Т., Брауне Я. А., Рикарде Р. Б. Определение компонент тензоров по­ верхности прочности по методу наименьших квадратов. — Механика полимеров, 1974,

№3, с. 552—555.

15.Рикарде Р. Б., Брауне Я. А. Аппроксимация поверхностей прочности при пло­ ском напряженном состоянии. — Механика полимеров, 1974, № 9, с. 406—414.

44

16.Chdmis С. C. Failure criteria for filamentary composites. Composite Materials Testing and Design, ASTM STP 460, 1969. 336 p.

17.Упитие 3. T., Рикарде Р. Б. Исследование зависимости прочности композита от

структуры армирования при плоском напряженном состоянии. — Механика полимеров, 1976, № 4, с. 672.

18.Тамуж В. П., Лагздиньш А. Ж. Вариант построения феноменологической теории разрушения. — Механика полимеров, 1968, № 4, с. 638.

19.Лагздиньш А. Ж., Тамуж В. П. К построению феноменологической теории раз­ рушения анизотропной среды. — Механика полимеров, 1971, № 4, с. 634—644.

20.Тамуж В. П. Вариант феноменологической теории усталости и разрушения по­ лимерных материалов. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук. Рига,

1973. 20 с.

21. Hshin Z., Rotem A. A fatigue failure criterion for fiber reinforced materials. —

J.Composite Materials, 1973, vol. 7, p. 448—458.

22.Рикарде P. Б., Чате А. К. Начальная поверхность однонаправленного армиро­ ванного композита при плоском напряженном состоянии. — Механика полимеров, 1976,

№4, с. 633—639.

23.Composite Materials. Vol. 4. Metallic matrix composites. N. Y. — Lond., 1974.

24.Милейко С. T., Сорокин И. M., Циприн А. М. Прочность бороалюминия — композита с хрупким волокном. — Механика полимеров, 1973, № 5, с. 840—846.

25.Крегерс А. Ф., Тетере Г. А. Поверхность текучести композитной среды. — Меха­ ника полимеров, 1976, № 1, с. 35—40.

26.Рикарде Р. Б., Тетере Г А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. Рига, 1974. 310 с.

27.Тетере Г. А., Рикарде Р. Б. Начальные несовершенства и формы выпучивания цилиндрических оболочек из полимерных материалов при длительном нагружении. — Механика полимеров, 1975, № 1, с. 145—152.

28.Rikards R. В., Teters G. A. Nonsymetric creep buckling of cylindrical shells under axial compression and external pressure. — IVTAM Symposium. Buckling of Struc­ tures. Cambridge, USA, 1974, p. 78—85.

29.Богданович A. E., Тамуж В. П. Влияние упругого заполнителя на динамическую устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки. — Механика полимеров, 1974, № 2,

с.299—308.

30.Богданович А. Е. Динамическая устойчивость упругой ортотропной цилиндриче­ ской оболочки с учетом поперечных сдвигов. — Механика полимеров, 1973, № 2,

с.312—320.

31.Богданович А. Е., Тамуж В. П. Параметрические колебания ортотропной цилинд­ рической оболочки с вязкоупругим заполнителем. — В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций. М., 1975, с. 71—76.

32.Рикарде Р. Б., Тетере Г А . О выборе оптимальных параметров цилиндрической

стеклопластиковой оболочки при осевом сжатии. — Механика полимеров, 1970, № 6,

с.1132—1134.

33.Рикарде Р. Б., Тетере Г А., Цыпинас И. К. Синтез оптимальных цилиндрических оболочек из армированных пластиков при внешнем давлении и осевом сжатии. — Меха­ ника полимеров, 1972, № 2, с. 301—309.

34.Оптимальное проектирование конструкций. Библиографический указатель. Ново­ сибирск, 1975. 472 с.

35.Адамович И. С., Рикарде Р. Б. Оптимизация по массе оболочек вращения с пере­

менной геометрией и структурой армирования. — Механика полимеров, 1977, № 3,

с.494—502.

36.Лукошевичюс Р. С., Рикарде Р. Б., Тетере Г А. Минимизация массы цилиндри­ ческих оболочек с упругим заполнителем при осевом сжатии и внешнем давлении с уче­ том случайных характеристик прочностей композитного материала. — Механика поли­ меров, 1977, № 1, с. 1039—1043.

37.Жигун И. Г., Поляков В. А. Свойства пространственно-армированных пластиков. Рига, 1978. 216 с.

38.Крегер А. Ф., Тетере Г А. Оптимизация структуры пространственно армирован­ ных композитов в задачах устойчивости. — Механика композитных материалов, 1979,

№1, с. 79—85.

39.Уржумцев Ю. С., Максимов Р. Д. Прогностика деформативности полимерных материалов. Рига, 1975. 416 с.

40.Composite materials. Vol. 6. Interfaces in polymer matrix composites, N. Y. — Lond., 1974.

41.Кузнецов Г К-, Ирген Л. А. Применение принципа приведенных концентраций к наполненным полимерам. — Механика полимеров, 1974, № 2, с. 252—255.

42.Ирген Л. А., Кузнецов Г. К., Сальцевич А. Г Способ модификации поверхности

стеклонаполнителя для полиэфирных стеклопластиков. Авт. свидетельство СССР

№556160. — Открытия. Изобретения. Пром. образцы. Товарные знаки, 1977, № 16, с. 70.

43.Матис И. Г Электроемкостные преобразователи для неразрушающего контроля. Рига, 1977. 255 с.

Ме х а н и к а к о м п о з и т н ы х м а т е р и а л о в , 1979, м 1, 46— 50

УДК 539.3:678.5.06

В. В. Парцевский

МОМЕНТНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПЕРЕКРЕСТНО АРМИРОВАННОГО СЛОИСТОГО КОМПОЗИТА

При постановке плоской задачи деформирования и разрушения слоис­ тых композитов матрицу жесткости пакета из однонаправленных раз­ лично ориентированных слоев обычно определяют суммированием жест­ костей слоев1-4- В данной работе исследуется влияние моментных на­ пряжений между слоями, вызванных взаимными поворотами волокон соседних слоев, на матрицу жесткости слоя и механизм разрушения пакета в условиях плоского напряженного состояния.

1. Рассмотрим модель слоистого композита, состоящую из одинако­ вых слоев толщины с, армированных волокнами (стержнями) диаметра

h. Расстояние между центрами волокон в слое — с\, угол между осью Х\ и направлением армирования х' \ слоя с номером а — сра (рис. 1—а).

Вычислим взаимный поворот волокон слоев а и а+ 1 . Волокно слоя

нат при переходе от системы Xj к х'у Uh — вектор перемещений; по «не­ мым» индексам производит­ ся суммирование. Выразим взаимный поворот волокон слоев а и а +1 через компо­ ненты тензора деформаций, одинаковых для всех слоев:

А а = Афа+1 — Д ф а = {& 2 2 ~ 8 ц ) Х

cos 2фа sin 20а—2ei2X

X sin 2фа sin 20а;

( 1 )

Фа = ~2 "(фа-И + ф а) I

0 а = _2 _ (ф а + 1 — ф а) ■

46

нии GD^>GM (индексы «в» и «м» означают волокно и матрицу). Тогда в системе координат x'j имеем:

fa= c—у (/г/2)2 —x'r — V(/i/2)2—(x'i sin 20a —x'2cos 20a)2.

Здесь fa — расстояние по x3 между точками волокон соседних слоев. Для \x'2\>hJ2 или [x'j, sin 20a —x' 2 cos 20a | >h/2 полагаем/a-^oo и a'j3 = 0.

Потенциальная энергия упругой деформации, накапливаемая в про­ слойке связующего за счет поворота волокон слоев а и а +1 в окрест­

где Ja — интеграл в (3).

Применяя формулу Лагранжа а^ = дФ/де^ к (4), с учетом (1) полу­ чим добавки c*jk в компоненты Cj/t матрицы жесткости слоя а, вызванные моментными межслоевыми напряжениями:

2. При теоретическом изучении механизма начала разрушения пере­ крестно армированного слоистого композита и истолковании эксперимен­ тальных данных5-6 обычно ограничиваются рассмотрением двух возмож­ ностей — разрушение волокон или внутрислоевое разрушение по матрице. Введенная выше модель позволяет рассмотреть еще один механизм — разрушение прослойки сдвигом между различно ориентированными слоями.

Вычислим максимальные значения напряжений межслойного сдвига. Переходя в новую систему координат Xj (см. рис. 1—б) поворотом на угол ф1+ 0 относительно Xj и составляя условия экстремума аф3) получим, что максимума эти напряжения достигают при

47

3. В качестве примера вычислим матрицу жесткости и деформацию е*ц, соответствующую началу разрушения матрицы при одноосном рас­ тяжении замкнутой цилиндрической оболочки, намотанной однонаправ­ ленной стеклолентой на эпоксидном связующем под углами ±ф к обра­ зующей. Тогда ф1= —ф2 = —0; ф= 0, все функции и величины в формулах

(1) — (6) не зависят от а. Некоторые результаты, полученные на ЭВМ «Минск-32», приведены на рисунках 2, 3. При вычислениях принято: Ев= 7 • 1010 Н/м2; GB= 2,9 • 1010 Н/м2; v„ = 0,21; £ м = 0,35-1010 Н/м2; GM= 0,13*1010 Н/м2; vM= 0,35. Упругие константы слоя в главных осях анизотропии вычислялись по формулам

Формулы для E'n и v'2i получены по правилу смеси, для £ '22 и G'I2 — по правилу параллельно-последовательного соединения элементарных слоев волокна и матрицы («тонких слоев»7-8).

На рис. 2 показана зависимость от угла укладки ленты ф относитель­ ных добавок в жесткости слоя, вызванных межслоевыми моментными на-

48