Вариант 27

1. Даны

три

вектора:

а = 2/ - j + Зк;

В = / - 3j +2к;

с - 3/ + 2] - 4к

Найти вектор d , удовлетворяющий условиям:

(d a)=-5;(d-b)=-\\-,

[d с)= 20.

2.

Вычислить внешние углы треугольника с вершинами

А (1; 2;

1), В (3; -1; 7), С (7; 4; -2); убедиться, что этот треуголь­

ник равнобедренный.

3. Найти вектор х , зная, что он перпендикулярен к векто­

рам 5 = { 2 ;-3 ;l}

и

Ь = {\\-2\Ъ]

и удовлетворяет условию

Jt(/ + 2 у - 7 £ ) = 1 0 .

4.

Показать,

что

векторы

a = 2i + 5_/ + lk\

b = i + j - i c ;

с = i + 2j + 2k

компланарны. Вычислить площадь треугольни­

ка, построенного на векторах В

и

с Разложить

вектор с

по

векторам а и В

5.

Объем

тетраэдра V = 5 ,

три

его

вершины

находятся

в

точках А (2; 1; -1),

В (3; 0; 1), С (2; -1;

3). Найти

координаты

четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси OY.

Вариант 28

1.

Вычислить

sin (л £ ЛС£>),

если А (2; 3; 4),

В (-1; 0;

1),

С (1; 2; 3), D (0; -1; 2).

В = {1;0;5},

2.

Даны

векторы:

а = {2; 1;0},

c = { 0 ;3 ;-l} ,

d = {5; 16; 10}. Найти разложение вектора d по базису а, В, с

3.

Вектор

х ± 5

= { 4 ; - 2 ; - 3 } и

3c_L6 = {0;1;3} образует с

осью OY тупой угол, |х| = 26. Найти координаты вектора х

5. Даны

векторы

а = { 2;l;l}, 6= {l;3;l},

c = {l;l;5},

d = { 2 ;3 ;-3 } .

Найти вектор х , удовлетворяющий условиям:

{а ■х) = 2; (б • х) = 5; (с • х) = -7; (с/ • jc)= 14.

Вариант 29

1. Даны

вершины

AMKN М (-1; -2; 4),

N (3; -2; 1),

2.

Пусть

а =

; 1; - j,

b ={ - 3; - 2; 5}. Существует

ли

вектор х , удовлетворяющий условиям (а ■х) = 2, (б • ic)= 3 ?

3.

Пусть

даны

векторы:

5г = {3;2;5}, 52 = {2;4;7},

53 = { 5; 6; 0}. Найти

прйз (а, + а2) .

4.

Найти

вектор

х ,

зная,

что х 1 а = {2; 3; -

1},

(О - точка пересечения медиан треугольника АВС).

Вариант 30

1. Вектор

т , перпендикулярный к оси OZ и к вектору

5 = {8; —15; з},

образует с

осью ОХ острый угол. Зная, что

|т | = 51, найти координаты вектора т .

2. Даны

вершины

треугольника АВС:

А (3; 2;-3),

В (-4; -2 ; 0), С (1; -2; 1). Найти длину медианы СК.

3. Найти

вектор

х ,

удовлетворяющий

условию

(а-£ -Зс)= а, где а -ч и с л о ,

5 = {1; 2; 1 >, £ = {3;-1;1}.

N (5; 4; 4) не лежат в одной плоскости.

5. Разложить

вектор

= {5; 9; О}

по

базису

0\ = {4;4;3},52 = {7 ;2 ;l},5 3 = {4; 1;б}.

Индивидуальные задания

для домашней самостоятельной работы № 2

Задание 1. Коллинеарны ли векторы с1 и с2 , разложенные

по векторам а и 6

1.1. а = {1;-2;3},

6 = { 3 ;0 ;- 1}, с1=2а + 46,

с2 = З а - Ь ;

1.2.

5

= { 1;0; 1}, 6 = { -2 ;3 ;5 } , с, = 5 + 26,

с2 =За -Ь ;

1.3.

5

= { - 2 ;4 ;l},

6 = {1 ;- 2 ;7}, с, =55 + 36,

с2 = 2 5 - 6 ;

1.4.

5

= {1; 2; —3},

6 = {2; -1; -1}, 5| = 45 + 36, с2 = 85 - 6 ;

1.5.

5 = {3; 5; 4}, 6 = {5;9; 7}, с1=-25 + 6,

с2 = 3 5 -2 6 ;

1.6.

5

= {1; 4; - 2},

6 = {1; 1; - 1}, с} = 5 + 6,

с2 = 45 + 26 ;

1.7.

5

= {1;- 2; 5},

6 = {3; —1; б},

ct = 4 5 - 2 6 ,

с2 = 6 - 25 ;

1.8.

5

= {3;4; —l}, 6 = { 2 ;-l;l} ,

с, = 6 5 - 3 6 ,

с2 = 6 - 2 5 ;

1.9.

5 = {—2; —3; —2}, 6 = {l;0;5},c, =35 + 9 6 ,с2 = - 5 - 3 6 ;

1.10.

5 = {—1;4;2},

6 = {3 ;-2 ;б } , с, = 2 5 - 6 ,

с2 = 3 6 - 6 5 ;

1.11.

5 = {5;0;-1},

6 = {7;2;3},

с, = 2 5 - 6 , с2 = 3 6 + 6 5 ;

1.12.

5 = { 0 ;3 ;-2 } ,

6 = { l;- 2 ;l} ,c , = 5 5 - 2 6 ,

с2 =35 + 26;

1.15.

5

= { -1 ;2 ;-1 },6 = {2;-7;1},

с, = 6 5 - 2 6

,

с2 = 6 - 3 5 ;

1.16.

5

= { 7

;9 ;-2 } ,6 = {5;4;3},

5 ,= 4 5 - 6 ,

52 = 4

6

-

5

;

1.17.

5

= {5; 0; —2}, 6 = {6; 4; 3},

сх= 5 5 - 3 6 ,

с2 = 66

-

1

0

5 ;

1.18.

5

= {8 ;3;-1},6= {4;1;3},

с ,= 2 5 - 6 ,

с2 = 2 6

- 4 5 ;

1.19.

5

= { 3

;-1 ;б}, 6 = {5;7;10},

с, = 4 5 - 2 6 ,

с2 = 2

6 + 4 5 ;

1.20.

5

= { l;-2 ;4 } ,6 = { 7 ;3 ;5 } ,

c ,= 6 5 - 36,

c2 = 6 - 2 5 ;

1.21.

5

= {3;7;0},6 = { 4 ;6 ;-l} ,

с, = За + 26,

с2 = 5а-7Ь;

1.22.

5

= { 2 ;-1 ;4 } ,6 = { 3 ;-7 ;-б } ,5 , = 25 - 36,с2 = 3 5 - 2 6 ;

1.23.

5

= { 5 ;-1 ;-2 } ,6 = {6;0;7}, с, = 3 5 -2 6 ,

с2 = 4 6 - 6 5 ;

1.24.

5

= {- 9; 5; 3},

6 = {7; 1; - 2}, с, = 2 5 - 6 ,

с2 =35 + 56;

1.25.

5

= { 4

;2 ;9 } ,6 = { 0 ;-1 ;3 } ,

с1 = 4 6 - 3 5 ,

с2 = 4 5 - 3 6 ;

1.26.

5

= { 2

;-1 ;б },6 = {-1;3;8},

с, = 5 5 -2 6

,

с2 = 2 5 - 5 6 ;

1.27.

5 = {5;0;8},

6= {-3;1;7},

с ,= 3 5 - 4 6 ,

с2 = 1 2 6 -9 5 ;

1.28.

5 = {-1;3;4},

6 = { 2 ;-1 ;0 } ,

с ,= 6 5 - 2

6

, с2 = 6 - 3 5 ;

2.1.

5 = {1;3;-1},

6 = { 3 ;-2 ;-3 } ;

2.2.

5

= {2; 1;4},

6={4;1;3};

2.3.

5

= {0;1;2},

6 = { l;3 ;- 2 } ;

2.4.

5

= {l;2;l},

6={3;1;2};

2.5.

5

= {2;1;7},

6 = { 2 ;4 ;-3 } ;

2.6.

5

= {-4; 1;5},

6 = { l;3 ;l} ;

2.7.

5

= {3;-1;2},

6 = { 2 ;3 ;- l} ;

2.8.

5 = { -4;-1;5}, 6 = { l;- 3 ;l} ;

2.9.

5 = {9;1;2},

6={-1;1;4};

2.10.

5

= {8;2;З},

6= { -2;8;0};

2.11.

5

= {7;3;4},

6 = { -l;l;l} ;

2.12.

5

= { б ;-4 ;2 } ,

6 = { l;2 ;7 } ;

2.13.

5

= {1;-2;3},

6 = {3;2;l};

2.14.

3 = { -2 ;4 ;l},

6 = {2; 1;О};

2.15.

3 = { 3 ;4 ;-l} ,

6 = {l;l;7};

2.16.

5 = {-I;4;2},

b = { 2;2;3};

2.17.

3 = {-5;l;3},

6= {2;1;3};

2.18.

5 = {4;3;7}, 6 = {-4;l;3};

2.19.

a - {—4; 2; 1},

b={ 1; - 2; 2>;

2.20.

a = {-6; 7 ;lj,

ft = {3; 2; 4};

2.21.

3 = { 6 ; - 7 ; - l} ,

ft = {2; 1;5};

2.22.

a = { 3; -3 ; 4},

ft = { 2 ;l;- l} ;

2.23.

5

= { - 4 ;- 5 ; l},

ft = {2; 3; 7};

2.24.

5 = {-5; 4; 2},

ft = {2; 1; l ) ;

2.25.

5

= { 5 ;-4 ;2 } ,

ft = {3;5;2};

2.26.

5

= {5;4; -2 } ,

ft = {4; 4;3};

2.27.

5

= { 7 ;-3 ;l} ,

ft = {l;l;- 4 } ;

2.28.

5

= {8;-2 ;3 },

ft = {1;3;2};

2.29.

5 = { -8 ;2 ;-3 } ,

ft = {2;2;3};

2.30.

5

= {3 ;6 ;-7 } ,

ft = {l;2;l};

2.31.

2 = {-7;3;7},

ft = {1;0;l}

3.1.

3 = { 2 ;3 ;-l} ,

ft = { l;-l;3 } ,

c = { l;9 ;-l} ;

3.2.

5

= {3;- 2 ;l} ,

ft = { 2 ;l;l},

c = { 3 ;- l;- 2 } ;

3.3.

5

= { 2 ;-l;2 } ,

ft = { l;2 ;-3 } ,

c = { 3 ;-4 ;7 } ;

3.4.

2

= {l;2;4},

ft = { 2 ;l;- 5 } ,

c = { l ; - l ; - l } ;

3.5.

5

= { 2 ;- l;l} ,

ft = {l;2;3},

c = { l;- 3 ;- 2 } ;

3.6.

5

= { 3 ;-l;2 } ,

ft = { 2 ; - l ; - l} . c = { 4 ;- 2 ;- 2 }

3.7.

2

= {1;I;- l} ,

ft = { 7 ;3 ;-б },

c = { l;l;- l} ;

3.8. г г = { 2 ; - 4 ; 9 },

£> = { 2 ; 0 ; - 3 } ,

c = { 7 ; 9 ; - 9 } ;

з.9. г f =

Ь = { l ; l ; - l } ,

с = { 6 ; 0 ; 5 } ;

з л о .

5 = { 7 ; 2; 3 },

В

—{5 ; —3; 2},

C = { 1 0 ; - 1 1 ; 5 } ;

3.11.

а

=

{ 1;2;1},

Ъ

= {3 ; —5; З},

с: = { 2 ; 7 ; l } ;

3.12. fl = { 2 ; l ; - l } ,

,b = { l ; 2 ; l } ,

с = { 2 ; - l ; 3 } ;

3.13.

5

=

{ l ; - l ; - l } ,

6

= { 1 ; 4 ; 2 } ,

c = {3; 7; 3};

3.14.

о

=

{— 7; 2; — 3},

6 = { - 5 ; 3 ; 2 } , ,

c = {—10; 11; —

3.15. 3 = { 1 ; - 2 ; 1 } ,

.& = { - 5 ; 3 ; 1 } ,

c = { - 7 ; 2 ; l } ;

3.16. 5 = { - 2 ; 4 ; - 9 } ,

Ь = { - 7 ;3 ;6 } , c

3.17.

5

=

{ 3 ; 4 ; 5 } ,

Ъ

=

{ 2 ; 1 ; 3 } ,

с = {—1; 4; 3};

3.18.

о

=

{—5; 6; —2 },

6 = { - 2 ; - 3 ; l } ,

c = { 2 ; l ; - l }

3.19. 5 = { 5 ; 6 ; 1 } ,

Ъ = {4 ;1 ; 1 },

с - -= { 2 ; - l ; 2 } ;

3.20. 3 = { 2 ; - 1 ; 4 } ,

6 = { 4 ; - 1 ; 1 } ,

c = { 3 ; 4 ; l } ;

3.21.

5

= {—2; — 1; 4 },

Ь = {—4; 1; —l]i,

c = { l ; l ; 2 } ;

3.22. 5 = { 2 ; 1 ; 3 } ,

Ъ = {3 ; —2 ; l } , i- = { 2 ; 1; l } ;

3.23. 5 = { - 3 ; 1 ; - 4 } ,

6 = { 4 ; 3 ; l } ,

c = { l ; 2 ; 2 } ;

3.24.

Й =

{ 4 ; 3 ; - 2 } ,

b

= {—1; 2; 2},

c = { 2 ; 2 ; l } ;

3.25.

5

=

{ 3 ; 1 ; 4 } ,

Ъ

=

{ 2 ; 1;l} ,

c : = {3; 4; l } ;

3.26.

5

=

{—1; 2; l } ,

1> = { 3 ; 2 ; - l } ,

c = { - 5 ; 6 ; l } ;

3.27.

5 = { - 1 ; 2; - 2},

6 = { 4 ; 5; 4},

c = { 6 ; 5 ; l } ;

3.28. 5 = { 2 ; - 1 ; 2 } ,

£ = { 3 ; 3 ; 3 } ,

c = { 4 ; 3 ; l } ;

3.29. 5 = { - 2 ; 1 ; - 3 } ,

6 = { 2 ; 2 ; l } ,

c = { l ; l ; 2 } ;

3.30.

а =

{ 2 ; - 1 ; 4 } ,

6

= { l ; l ; 2 } ,

i? = {1; 2; —3 };

3.31.

5

=

{ 7 ; 6 ; 5 } ,

£- = { 3 ; 4 ; l } ,

c

=

{3; 4; 5}.

12)

орт вектора АВ .

5.1.

Л(1;2;1), В (-1;3;4), С(0;1;2);

5.2

Л(0;1;2),

В (3;-1;2),

С (-1;2;5);

5.3.

А(0; 2; 3),

в(3;1;2),

C (l;4;l);

5.4.

Л(1;0;3),

fi(l;4 ;l),

С(0;2;3);

5.5.

>4(1; 1; 0),

В(4;1;2),

С (l; 2;3>;

5.6.

Л (-1 ;4 ;2 ),

В(5;2;3), С(0;1;2);

5.7.

А (З; - 2 ; l),

B (l;3;2),

C (2;4;l);

5.8.

А (—1; 3; l),

В (-3 ;2 ;3 ),

С (3;-3;3);

5.9.

>4 (l; —1; б),

В (4; 5; - 2 ) ,

С (-1;3;0);

5.10.

Л (7;1;2),

В ( - 5 ;3 ;- 2 ),

С (3;2;5);

5.11.

А ( - 2 ;3 ;- 2 ),

в (2 ;-3 ;2 ), С(1;5;б)

5.12.

А(4 ;2 ;- l) ,

В(3;0;4),

C (l;2;l);

5.13.

A (l; 2; 3),

В (-1 ;2 ;-3 ),

C (-2 ;3 ;l);

5.14.

Л (4 ;-5 ;2 ),

B (l;-3 ;4 ),

С (5 ;2 ;-4 )

5.15.

A(4;4;9),

S (7;10;2),

С (2;8;4);

5.16.

Л(4 ;6 ;5>,

в(б;9;4),

с(7;5;9);

5.17.

А{3;5;4),

Я (8;7;4),

С (4 ;7 ;8 );

5.18.

/4(10;6;5),

Я(-2;8;4),

с(7;10;3);

5.19.

Л (б;3;5),

я(8 ;7 ;3 ),

С (5; 10; 4);

5.20.

Л(1;8;2),

Я (5;2;б),

С (б ;9;3);

5.21.

Л(7;2;2),

й (5;7;б ),

С (2;3;7);

5.22.

А (—5; 6; —l), Я (2;4;3),

С (5; 2 ; - 4 ) ;

5.23.

А (3; 2; 4),

Я ( - 6 ;- 1 ;2 ) ,

С (5 ;-2 ;3 );

5.24.

Л (5 ;-2 ;1 ),

В (4;2;5),

С (-1 ;2 ;4 );

5.25.

Л (7;5;3),

5 ( - 2 ; - 5 ; 2),

С (-2 ;1 ;0 );

5.26.

Л(-2;1;2),

*(l;-2;2),

С(3;-1;2);

5.27.

А(1;3;2),

я ( - 2 ;3 ;2 ) ,

С (-5 ; 6;8);

5.28.

л (3 ;1 ;-2 ),

Я (3 ;-2 ;7 ),

С (-2 ;1 ;2 );

5.29.

yf (l;-2;l),

S(-2;3;2),

C(l;3;-2);

5.30.

А(2;2;5),

я (3 ;2 ;7 ),

с (3 ;5 ;8 );

5.31.

л(б;1;5),

Я (4; 5 ;- 2 ),

С (8; 10; 7).

6.1.

Л(1;1;1), Я(-1;2;4),

С(2;0;б),

Z>(-2;5;-l);

6.2.

л ( 0 ; 5; О),

Я (2 ;3 ;-4 ),

С (0 ;0 ;- б ),

D ( - 3 ; l ; - l ) ;

6.3.

А (О; 0; б),

Я (4 ;0 ;- 4 ),

C ( l;3 ; - l) ,

Я ( 4 ; - 1 ; - 3 ) ;

6.4.

A ( - 5 ; 6 ; - l ) , В (б ;-5 ;2 ),

C (6 ;5 ;l),

D(0; 0; 2);

6.5.

А (2; —5;3),

Я (3 ;2 ;-5 ),

С ( 5 ; - 3 ; - 2 ) , D ( - 5 ;3 ;- 2 );

6.6.

А{6; 0; 4),

я (0 ;6 ;4 ),

С (4;6;0),

£ > (0 ;-6

;4 );

6.7.

А (3;2; 4),

Я (2;4;3),

С (4 ;3 ;- 2 ),

£ > ( - 2

; - 4 ; - 3 ) ;

6.8.

А(6;3;5), Д (5 ;-6 ;3 ),

С(3;5;б),

D (- 6 ;-1 ;2 );

6.9.

Л (5 ;- 2 ;- 1 ),

5 (4 ;0 ;0 ),

C (2;5;l),

Z)(l;2;5);

6.10.

Л (4; 2; 5),

Я (3;0;4),

С(0;0;3),

D (5 ;- 2 ;- 4 );

6.11.

Л (4 ;2 ;- 5 ),

Я (-3 ;0 ;4 ),

С(0;2;3), £>(5;2;-4)

6.12.

А{4;4; 10),

Я(7;10;2),

С (2;8;4),

£>(9;6;9);

6.13.

Л(4; 6; 5),

Я (б;9;4),

С(2;10;10),

/>(7; 5;9>;

6.14.

Л (3;5;4),

В (8;7;4),

С(5;10;4),

Z>(4;7;8);

6.15.

Л (10;6;5),

в ( - 2;8;4), С (б;8:9),

£>(7;10;3);

6.16.

Л(1;8;2),

Я (5;2;6),

С (5;7;4),

£>(4;10;9);

6.17.

А(6;6;5),

5(4 ;9 ;5 ),

C (4 ;6 ;ll),

£>(5;9;3);

6.18.

Л (7; 2; 2),

5 (5; 7; 7),

C (5;3;l),

Z>(2;3;7);

6.19.

л ( 8;6;4>,

fi(l0;5;5>,

С (5;6;8),

£>(8;10;-7);

6.20.

A il;!,!),

В{6,5;8),

С(3;5;8),

£>(8;4;l);

6.21.

Л (4;0;0),

Я (-2 ;1 ;2 ),

C (l;3;2),

£>(3;2;7);

6.22.

А ( - 2;1;2),

Я (4;0;0),

С (3;2;7),

Z>(l;3;2);

6.23.

Л(1;3;2),

л (3 ;2 ;7 ),

С (4;0;0),

В ( - 2;1;2>;

6.24.

л (3 ;2 ;7 ),

* (l;3 ;2 ),

С <-2;1;2),

D (4;0;0):

6.25.

Л (З; 1; —2),

5 ( l; - 2 ;l) ,

C (-2 ;l;0 ),

Z>(2;2;5);

6.26.

л (1 ;-2 ;1 ),

Я (3;1;-2),

С (2; 2;5),

D (-2 ;l;0 );

6.27.

А ( - 3;2;l),

Я (-2;1;0),

C (l;- 2 ;l),

D (3;l;2);

6.28.

Л (1;-2;1),

Я (3;1;-2),

С (2:2; 5),

D (-2 ;l;0 );

6.29.

Л (-3 ;1 ;2 ),

Я (-2;1;0),

C (l;- 2 ;l),

D (3;2;l);

6.30.

А(2;-1;1),

В (2;2;5),

C (3;2;l),

D (l;- 2 ;l);

6.31.

А(2; 5; 5),

В(2;1;0),

С(4;1;2),

£>(-1;3;2).

7.2. ((а -[Ь ж с]) 5);

7.7.

(a b) - c;

7.3.

[[5x(fe + c )]x rf];

7.8.( (а - 6 ) - с )с ;

7.4. [[(5 - 6 ) ж с] ж d] ;

7.9.

[(а + 6 )х с ] х а ;

7.5. [[5 ж 5J] ж [Вж с]];

7.10. пр^ ( а -6);

7.11. п р ^ [ 5 х * ] ;

7.21 ,[ax[bx(cd)]];

7.12. пр[5х?](а + 36);

7.22.

[(b-(a + 2b))xc];

7.13. пр(-_^)[[а х 6] х с ];

7.23. (([5 x 5 ] -5 )-6 );

7.24.

[[(5 + В ) х с ] х d ] ;

7.14. пр^4г_7^)С5 -[6 х с ]);

7-25. (пр{ a i ) [ a x B ] - d ) \

7-15- пР(г.^)[(Зй? -В )хс];

7-26. [пр(i_2a)ia-B)xc]\

7.16. прзг[ 6 х ( 5 с ) ] ;

7-27-пР(bc)(B-d)\

7-,7 -nP((25-c).J)(5 + ^ ;

7-28. пр[5х5](Ь х с ) ;

7.18.npls_E)(O b - d ) -b );

7.29. ( [( 5 - 6 ) х с] [5 хс]);

7.19. пр5^([4с х ф а ) ;

7.30. [ а х ((25 + 6 ) 5 ) ] .

7.20 . [( dc) x( a +B)];

другой осью, тупой или острый), |3с| = А .

Найти: х = {д:,, дг2, JC3 }.

8.2. Дано: xlla = {ax,ay,az} , ха = А.

Найти: x = {xl,x2,xi }.

8.3. Дано:

х L а = {ах,ау,аг} ,

х l B ={bx,by,bz), (хл оу)

-

тупой (острый или любой другой осью), |3с| = А .

Найти: Зс = {х],д:2,л:3}.

8.4. Дано:

х l o z

(любой

другой оси)

( х - а ) -

А,

а {йд-,ау ,az},

(дс *Ь) 7?,

b {Ьд,by,bz}.

Найти: х = {хи х2,хг}.

В = {bx,by,bz},

8 .5 . Дано:

a = {ax,ay,az},

с = {cx,cy,czj ,

(х-а) = А,

(х - В ) - В , ( х ■с) =С .

Найти:

Зс = {х |,х 2,х3}.