Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Векторная алгебра..pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
2.06 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

1.Даны три последовательные вершины параллелограмма:

А(-3; -2 ; 0), В (3; -3 ; 1), С (5; 0; 2). Найти его четвертую верши­

ну D и

угол между векторами: АС и BD.

2.

Найти объем пирамиды с вершинами О (0; 0; 0),

А (2; 3; 0), В (3; 0; 4), С (0; 4; 5) и длину высоты, опущенной из вершины В.

3. Проекции перемещения движущейся точки на оси коор­ динат равны: Sj = 2 м, Sy = 1 м, S2 = -2 м. Проекции действую­

щей силы F на оси координат равны: Fx = 5 кН, Fy = 4 кН, Fz =3

кН. Вычислить работу А силы

F и угол между силой F и пе­

ремещением S

векторами а = { - 2; 3; 5}

 

4. Найти угол между

и

Ъ = {1; 0; - 5}. Найти векторное произведение этих векторов.

 

5. Показать, что векторы

а = - / + 3j + 2 к , b =2/ - 3j - 4к ,

с = -3 / + 1 2 / + 6к компланарны, и разложить вектор С по век­

торам а и В

Вариант 9

1. Даны три вектора 5 = {3; —2; 4}, 6 = {5; 1; б},

с = { - 3; 0; 2}. Найти вектор d , удовлетворяющий одновремен­

но трем уравнениям {a d)~ 4, (b-d) =35, (c

d) =0.

2. Даны четыре точки А (2; 3; 6), В (4; 4;

4), С (3; 5; 5),

D (2; 7; 4). Найти объем тетраэдра ABCD и длину высоты, опу­

щенной из вершины С.

3. Дан равносторонний треугольник АВС, у которого длина стороны равна единице. Полагая ВС = 5, СА = Ь, АВ = с , вы­

числить выражение аЬ + Ьс +са.

4. Найти площадь параллелограмма, построенного на век­ торах а = т + 2п и Ь = 2 и + й ,г д е т и Я - единичные векторы, образующие угол 90°.

5. Из вершины прямоугольника со сторонами 6 и 4 см про­ ведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол ср между ними.

Вариант 10

1. Сила F приложена в точке А (2; 3; 6) и имеет проекции на оси координат х = 3 кН, у = -5 кН, z = -4 кН. Определить

компоненты вектора АВ = F , построить вектор А В , найти ве­ личину силы и ее углы с осями координат.

2.Даны четыре точки А (-1; 2; 4), В (-4; 5; 4), С (-1; -2 ; 2),

£>(2;1;5). Определить, перпендикулярны ли векторы АВ и

CD . Найти векторное произведение этих векторов.

3. Даны

векторы

5 = {3; —1; —2}, £ = {1; 2; —l}. Найти ко­

ординаты векторного произведения (2а - б)х {т.а + b).

4. Найти

объем

треугольной

пирамиды

с

вершинами

А (2; 2; 2), В (4; 3;

3), С (4; 5; 4), D (5; 5; 6) и длину высоты,

опущенной из вершины D.

 

 

 

5. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диа­

гоналей равна сумме квадратов его сторон.

 

 

 

 

 

Вариант 11

 

 

1. Вычислить

синус угла,

образованного

векторами

5 = { 2; —2 ;l},

£ = { 2;3;б}.

 

 

 

2. Найти объем параллелепипеда, построенного на векто­

рах а - i - 2j + к,

b = 3/ + 2j + к,

с = / - к ,

и

площадь па­

раллелограмма, построенного на векторах а и с .

3.Построить треугольник с вершинами А (1; 2; 8), В (0; 0; 4)

иС (6; 2; 0). Вычислить его площадь и высоту BD.

4.

Даны три

вектора а =3/ - 6j - к,

Ъ - i + 4] - 5к,

с = 3 / - 4kj + 12к

Вычислить npf {а + fe).

 

5.

Докажите, что (а - В )г = а2 +Ь2 -2(а-Ь)

для скалярно­

го произведения.

 

 

1. Определить угол между векторами 5

и

6 , если вектор

а +36

перпендикулярен к вектору

7 5 - 5 6 ,

а

вектор 5 - 4 6

перпендикулярен к вектору 75 - 26

 

 

 

2.

Проверить коллинеарность

векторов

5 = {2; -1; 3},

6 = { - 6 ;3 ;- 9 } . Установить, какой из них длиннее другого, во сколько раз, как они направлены: в одну или противоположные стороны.

3. Сила Р = {2; - 4; 5} приложена в точке М0(4; -2; 3). Оп­

ределить момент этой силы относительно точки А (3; 2; -1).

4. Показать, что

векторы

5 = / + j + тк, 6 = / + j +

+ (m + l)£ , c = i - j+ m k

ни при

каком значении т не будут

компланарными.

5. Найти угол между диагоналями параллелограмма, по­ строенного на векторах 5 = 2 /+ j и 6 = -2 j + к

Вариант 13

1.Вектор 6 , коллинеарный вектору 5 = {6; - 8; - 7,5}, об­

разует острый угол с осью OZ. Зная, что длина 6 = 50, найти

его координаты.

2. Даны точки А (1; 2; 0), В (3; 0; -3), С (5; 2; 6). Вычис­ лить площадь треугольника АВС и длину высоты, опущенной из вершины С.

3. Проверить, что четыре точки А (1; 0; 1), В (4; 4; 6), С (2; 2; 3), D (10; 14; 17) лежат в одной плоскости.

4. Дан вектор 5 = 4/ - 2 / + Зк Найти вектор 6 , если

5.Точка А (4; -1; 3) твердого тела закреплена. В его точке

В(0; 3; 5) приложена сила F ={2; 0; l}. Найти момент силы F

относительно точки А.

1.

Радиус-вектор точки М составляет с осью OY угол 60°, с

осью OZ - угол 45°

Длина его |г| = 8. Найти координаты точки

М, если абсцисса отрицательна.

 

 

 

 

2.

Вычислить работу силы F - {3; 6; б}, зная, что переме­

щение

ее точки

приложения

изображается

вектором

S = { 2 ;-1 ;2 } .

 

 

 

 

 

3.

Вершины треугольной

пирамиды

находятся

в точках

А (0; 0; 0), В (3; 4; -1), С (2; 3; 5), D (6; 0; -3). Вычислить ее объ­

ем и длину высоты, опущенной из вершины В.

 

4.

Доказать, что векторы а и b не могут быть перпендику­

лярны,

если

(5 •/)> (),

( a j ) > 0,

(а к)>0,

(6 •/)< (),

(,Ь-])<0, (Ъ к )< 0 .

 

 

 

 

5.

Даны векторы а = {2; 5; 7} и b = {1; 2; 4}. Найти коорди­

наты векторного произведения

5 x 6 ,

площадь параллелограм­

ма, построенного на этих векторах.

 

 

 

Вариант 15

1.Найти угол ф между биссектрисами углов XOY и XOZ.

2.Вычислить объем параллелепипеда, построенного на

векторах а = 3т + 5п; Ь = т - 2 п , с=2т + 1п, где \т = — I I 2

|й| = 3, (/йЛй )= 135°

3.Даны три точки А ( 1; 1; 1), В (2; 2; 2), С (4; 3; 5). Найти площадь треугольника АВС и длину высоты, опущенной из вершины С.

4.Дан вектор а = 4 т - 3 п , где т,п - единичные векторы,

составляющие угол 120° Найти угол ф между векторами 5

и п .

5. Доказать,

что

четыре точки А (1; 2; -1), В (0;

1; 5),

С (-1; 2; 1), D (2;

1; 3)

лежат в одной плоскости. Разложить век­

тор АВ по векторам АС и AD

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности