- •Свойства скалярного произведения
- •Свойства векторного произведения
- •Вариант 4
- •Варианты аудиторной самостоятельной работы по теме «Векторная алгебра»
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 13
- •Вариант 15
- •Вариант 17
- •Вариант 19
- •Вариант 21
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Гусаренко Елена Леонардовна Майзелес Софья Беньямнновна
- •ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1. Даны координаты вершин пирамиды A \А2АуА4: А, (4; 0; 0);
А2(-2; |
1; 2); АЪ(У, 3; 2); А4(3; 2; 7). Найти: |
|
|
|||
а) угол {а ]Л2лА1А^-, |
|
|
|
|
||
б) площадь грани Л |
2Лз; |
|
|
|
||
в) объем пирамиды. |
|
|
|
|
||
2. |
Даны |
четыре |
вектора: |
а = {2; 7; 7}; |
£ = { - 4; 3; 9}; |
|
с = {9; —6; —9}; |
d = { 28;-1; 5}. Найти: |
|
|
|||
а) разложение вектора d по базису а,Ъ,с\ |
|
|
||||
б) |
.пРс(а + b). |
|
|
|
|
|
3. |
Два вектора: 5 = {2; —3;б} |
и Ь = { - 1 ;2 ;-2 } , |
приложен |
|||
ные к одной точке. Найти координаты вектора а |
и b |
при усло |
||||
вии, что |с| = Зл/42 |
|
|
|
|
||
4.Доказать, что точки В\ (1; 1; -1), 5 2(2; 3; 3), 5 3(-1; 2; -4), В4(4; -3; 1) лежат в одной плоскости.
5.В прямоугольном равнобедренном треугольнике прове дены медианы из вершин острых углов. Вычислить угол между ними.
6.Даны векторы а - {2; -1; З}; b = {1; - 3; 2}; с = {3; 2; - 4}.
Определить координаты вектора х , если (jc - <5)=10, (*•£>)=
= 22, (Зс с )= -40
Индивидуальные задания для домашней самостоятельной работы по теме
«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА» № 1
Вариант 1
1.В треугольнике АВС проведены медианы AD, BE, CF
Вычислить (ВС AD) + (CA BE) + (AB CF).
2. Вычислить работу силы / = {1,3,2} |
по |
перемещению |
|||
точки вдоль пути |
А В , где А (-1; 4; 2), В (-2; 0; 6). |
|
|
||
3. Даны |
три |
силы, приложенные к точке |
В (2; |
1; 2): |
|
f\ = i + j + к, |
/ 2 = -2 / - 3j + к, /з = / - 2j + к . Найти |
момент |
|||
их равнодействующей относительно точки А (0; -1; -1). |
|
||||
4. Показать, что векторы а = - / + 3j + 2к, |
6 = 2/ - 3 / - 4£, |
||||
5 = - 3 / +12у + 6 ^ |
компланарны, и разложить вектор с |
по век |
|||
торам а и b |
|
|
|
|
|
5.Найти площадь треугольника с вершинами Л (-1; 3; 2),
В(3; 5; -2), С (3; 3; -1), угол Л и длину высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.
Вариант 2
1.В треугольнике АВС даны длины его сторон ВС = 5,
СА = 6, АВ = 7. Найти скалярное произведение векторов |
ВА |
|
и ВС |
|
|
2. Определить и |
построить вектор 5 = 5 x 6 , |
если |
а = 2/ + 3 / , b = 3j + 2к |
Найти площадь параллелограмма, по |
|
строенного на векторах 5 |
и 6 |
|
3.Построить пирамиду с вершинами А (2; 0; 0), В (0; 3; 0),
С(0; 0; 6), D (2; 3; 8), вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.
4.Найти работу силы / по перемещению вдоль пути 5,
вели
5. Найти скалярное произведение векторов 25 + 36+45 и
55 + 66 + 75, если
|
|
1. |
В |
равнобедренной трапеции |
||
В |
М С |
АОСВ |
М |
и N - |
середины |
сторон |
|
|
ВС = 2, АС = 2. Острый угол трапе |
||||
|
N |
ции 60°. |
|
|
|
|
|
|
Определить угол между |
векто |
|||
о т |
А |
рами ОМ и ON (рисунок). |
|
|||
|
|
й| = 1, |
|ш| = 1. |
|
||
|
|
|
|
|
||
2. |
В треугольной |
пирамиде |
SABC даны |
векторы |
SA - а, |
|
SB = b,SC = c. |
|
|
|
|
|
|
Найти вектор SM, где точка М - центр тяжести основа |
||||||
ния АВС. |
|
|
|
|
|
|
3. |
Построить параллелепипед |
на векторах a - ' i i + A j , |
||||
b - - 3 j + к, с = 2j +5к.
Вычислить его объем и площадь треугольника, построен ного на векторах а и с
4. Вычислить модуль вектора а = i +2] +к |
4(7 + 2J )+ Ък |
|
5 |
||
|
инайти его направляющие косинусы.
5.Доказать, что векторы р - а{рс)-В(ас) и с перпенди кулярны друг другу.
Вариант 4
1. Найти величину равнодействующей четырех компланар ных сил, приложенных к точке О , если величина каждой силы равна 10 кг, а угол между двумя последовательными силами ра вен 45°.
2. Найти длину высоты, опущенной на грань BCD тре угольной пирамиды с вершинами А (О; 0; l), В (2; 3; 5\ С (б; 2; 3), £>(3;7;2).
3. Дан вектор 5 = 2т - п , где т и п - единичные векторы
с углом 120° между ними. Найти cos (яЛот) и cos (алй).
4. Даны три вектора р = {1 l;-2 ;l} , § = {—1; 1; —2},
г = {2; 1; - 3}. Найти разложение вектора с = {11; - 6; 5} по бази
су P,g,r.
5.Векторы 5 и 6 составляют угол |
45° |
Найти площадь |
треугольника, построенного на векторах |
5 - 2 6 |
и 35 + 26 , если |
Вариант 5
1.Из вершины квадрата проведены прямые, делящие про тивоположные стороны пополам. Найти угол между этими пря мыми.
2.Даны вершины четырехугольника Л(1;2;3), В(7;3;2),
С( - 3; 0; б), D (9; 2; 4). Доказать, что его диагонали взаимно пер пендикулярны.
3. Три силы |
M ,N ,P |
приложены к одной точке и имеют |
||||
взаимно перпендикулярные направления. Определить величину |
||||||
их равнодействующей, если |м | = 2кН, |б/| = 10кН, |р | = 11кН |
||||||
4. |
Сила F = {3;2;-4} |
приложена в точке л (2;-1;1). Оп |
||||
ределить момент этой силы относительно начала координат. |
||||||
5. |
Показать, |
что |
векторы |
5 = {7; - 3; 2}, 6 = {3; - 7; 8}, |
||
с = {1; —1; l} компланарны. Найти |
площадь |
треугольника, по |
||||
строенного на векторах 5 и 6 |
|
|
||||
|
|
|
|
Вариант б |
|
|
1. |
Вычислить |
длину d |
диагонали |
параллелепипеда, зная |
||
длины |
ОС =с,ОА = а,ОВ = Ь трех его ребер, выходящих из од |
|||||
ной точки О, и углы |
ZBOC =a, ZCOA - р, Z АОВ = у между |
|||||
ними. |
|
|
|
|
|
|
2. В треугольнике АВС прямая AM является |
биссектри |
|||
сой угла ВАС, причем точка |
М лежит на стороне |
ВС |
Найти |
|
A M , если АВ = Ь, АС = с . |
|
|
|
|
3. Построить |
векторы |
а = / + j + 4k, |
b - |
i - 2j, |
c = 3/ - 3 j + 4 к , показать, что они компланарны и найти линей
ную зависимость между ними.
4. Стороны параллелограмма П, равны диагоналям парал
лелограмма П 2 . Как связаны их площади S, и S2?
5. Определить длины диагоналей параллелограмма, по
строенного на векторах |
а = 2т +п и b = т - 2 п , где и и и |
- |
единичные векторы, угол между которыми 60° |
|
|
|
Вариант 7 |
|
1. Убедиться, что |
векторы р = {3; —2; l}, g = { —1; 1; —2} |
и |
г = {2; 1; - 3} образуют базис в трехмерном пространстве. Раз ложить по этому базису вектор с = {11; - 6; 5}.
2. Какой угол образуют единичные векторы s и t , если известно, что векторы p = s +2? и g =5s - 4f взаимно перпен дикулярны?
3. Найти единичный вектор, перпендикулярный к векторам
а = i + j + 2к n b = 2 i + j + k
4. Найти |
скалярное |
произведение векторов |
Ъа-2Ь |
и |
5а - 6 Ъ , если |
|а| = 4, = 6 |
и угол между векторами |
а и Ь |
ра- |
%
вен — . 3
5. Определить угол между векторами а = 1 + 2] + 3к и
6 = 6 / + 4j - 2к Определить площадь треугольника, построен ного на этих векторах.