Составители Е.Л. Гусаренко, С.Б. Майзелес

УДК 514.742.2(075.8) Г961

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доцент Е.Г Цыпова\ канд. физ.-мат. наук, доцент Г.А. Маланьина

Гусаренко, Е.Л.

Г961 Векторная алгебра учеб.-метод. пособие / Е.Л. Гуса­ ренко, С.Б. Майзелес. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун­ та, 2006. - 63 с.

ISBN 5-88151-539-0

Приводятся основные определения векторной алгебры, опреде­ ляются линейные операции над векторами (сложение и умножение вектора на число), рассматриваются нелинейные операции (скалярное, векторное и смешанное произведение векторов). Приводятся примеры решения задач по каждой теме. Предлагаются варианты контрольных работ и индивидуальных заданий разного уровня сложности.

Предназначено для студентов первого курса технических специ­ альностей...

УДК 514.742.2(075.8)

© ГОУ ВПО «Пермский государственный технический университет», 2006

Координаты вектора равны разности соответствующих координат конца вектора и начала вектора:

Длина вектора равна расстоянию между началом и концом

а= {x,y,z} называются косинусы углов, образованных вектором

ас осями координат:

где a = Z(a,ox), P = Z{a,oy\ у = Z(a,oz).

Направляющие косинусы вектора обладают свойством:

Пример 1. Дан вектор |а| = {3;4;0}. Вычислить длину век­

тора а и направляющие косинусы.

Пример 2. Даны точки А (3; -1;2) и В (4; 1; 4). Вычислить

координаты вектора А В , его длину и направляющие косинусы.

Решение. АВ = {4 - 3;) - (-1); 4 - 2} = {1; 2; 2}.

АВ = л/12 + 22 + 2 2 л/9 = 3 .

Определение. Два вектора называются равными, если дли­ ны векторов равны; векторы параллельны, то есть расположены

на одной прямой или на параллельных прямых; векторы направ­ лены в одну сторону.

Из определения следует, что векторы можно перемещать в пространстве, параллельно самим себе.

Равные векторы имеют равные соответствующие коор­ динаты:

а = Ь с э х а = xb\y a =yb\za = zb,

где a = {xa-,ya;za}, b = {xb;yb;zb)

Определение. Два вектора называются коллинеарными, ес­ ли они расположены на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть направлены или в одну сторону, или в противоположные стороны.

Признак коллинеарности векторов:

aw о Ха_= Уа_ = £а_

неарны, так как их соответствующие координаты пропорцио­ нальны:

арны, так как — ^ —* —.

к4 5 3

Определение. Векторы называются компланарными, если они принадлежат параллельным плоскостям или лежат в одной плоскости.

Определение. Проекцией вектора АВ на ось I называется

длина отрезка АХВХ этой оси, заключенного между проекциями

Ах и Вх его начальной точки А и конечной точки В, взятая со

знаком «+», если направление А\В\ совпадает с направлением оси /, и со знаком «-», если эти направления противоположны.

Проекция вектора обозначается так: А,В{ = пр,А В .

Свойства проекций

1. Проекция вектора на ось равна произведению длины век­ тора на косинус угла между вектором и осью:

пр/ АВ = АВ cos а .

2. Проекция суммы векторов равна сумме проекций этих векторов:

пр/(а + й)= пр/З + пр/Ь

3. Пусть X - число, тогда

пр/Х-а = Х-пр/3.

2. Л И Н ЕЙ Н Ы Е ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМ И

Определение. Линейными операциями над векторами на­ зываются операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

I. Сумма векторов

Определение. Суммой двух векторов а и Ь называется

третий вектор с = а + Ь , который можно найти по правилу па­ раллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).

По правилу параллелограмма суммарный вектор с = а + Ь

выходит из общего начала векторов а и Е и направлен по диа­

Если |А| > 1, то длина вектора Ха увеличивается по сравне­ нию с длиной вектора а в |А.| раз (рис. 4). Если |А.| < 1, то длина

вектора Ха уменьшается в |А. раз (рис. 5, рис. 7). Произведение

вектора на число удовлетворяет законам:

1.Ха = аХ.

2.(Х +р)5 = Xa + \ia.

3.А,(а + &)= Ха + ХЬ.

4.(А.5)-л = (А.-л)о

Пусть вектор Я направлен так же, как вектор 5 , и имеет единичную длину |Я| = 1. Тогда а = |а| • Я .

Пусть вектор 5 задан координатами: 5 = { xx\y x\z x)\ тогда

координаты вектора Xа будут пропорциональны координатам вектора 5 с коэффициентом пропорциональности X :

III. Разность векторов.

Определение. Разность двух векторов а - Ь определяется по правилу параллелограмма (рис. 8) или по правилу треуголь­ ника (рис. 9) через операции сложения и умножения на -1

a - b = а + ( - l )-Ь

Рис. 8

Таким образом, разность двух векторов а - Ь - это вектор,

который в сумме с вектором Ь дает вектор а . Разность двух векторов удовлетворяет законам:

1.(а ~ ь)~ с - а ~{ь +с).

2.А.(а -Ь ^ -Х а -Х Ь

Пусть векторы а и Ь заданы координатами:

тогда

5 - Ь = { х 1- х 2\ у 1- у 2\ z , - z 2j.

Пример. Даны векторы а = {5; 1; 3} и Ь = {4; 2; - 1}. Найти

координаты и длины векторов (а - б) и (b - а).

Решение.

Таким образом, векторы ( а - б ) и ( б - 5 ) имеют одинако­

вую длину и направлены противоположно.

Пример. Дан треугольник с вершинами А, В и С. Сторону Л5 точками М w N разделили на три равные части. Найти вектор

СМ , если СА - а, СВ =6.

то

6 - 5

3

3. По правилу треугольника сложения двух векторов

25 + 6

CM = СА + AM = 5 + - — —

33

3.БАЗИС

Определение. Линейной комбинацией векторов et,e2,

..., ё„ называется сумма произведений векторов на числовые коэффициенты:

П

a i<?i + а 2ё2 + —+ <*„«#» = 2 > А , /=]

где а, = const, i = 1,Я.

Определение. Векторы ёи е2,:;ё„ называются линейно

независимыми, если их линейная комбинация может быть равна нулю только при условии равенства нулю всех числовых коэф­ фициентов:

П

Х а , е , = 0 о а , = а 2 =... = <хл =0.

/=1

Для линейно независимых векторов верны следующие ут­ верждения:

1.Любые два неколлинеарные векторы линейно независимы.

2.Любые три некомпланарные векторы линейно неза­ висимы.

3.Если векторы линейно независимы, то не один из них не может быть представлен в виде линейной комбинации осталь­ ных векторов.

Определение. Векторы еъ ег^..^еп называются линейно зависимыми, если существует линейная комбинация этих векто­ ров, равная нулю, в которой хотя бы один коэффициент а , от­ личен от нуля.

Для линейно зависимых векторов верны следующие утвер­ ждения:

1. Система векторов е,,е2,...,ея , содержащая два коллинеарных вектора, линейно зависима.

2.Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

3.Система векторов линейно зависима, если какой-либо один вектор из этой системы можно представить в виде линей­ ной комбинации остальных векторов.

4.Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.

5.Любые четыре вектора в трехмерном пространстве ли­ нейно зависимы.

Определение. Базисом называется упорядоченная система линейно независимых векторов.

Пример 1. Любые два неколлинеарных вектора а, В, взя­

Зная координаты векторов а, В, с , можно найти коэффици­ енты а и р .

Для этого нужно векторное равенство (6) записать по коор­ динатам

(7)

Ус=а -Уа+$Уь

и решить систему двух уравнений с двумя неизвестными а , Р .

Так как векторы а и В линейно независимы, то система (7) имеет единственное решение.

Равенство (6) называется разложением вектора с по произ­ вольному базису а, В (или по векторам а и В ).

Пусть даны векторы а = {J; 2}, В - {3; - 1}, с = {1; 9}. Разло­

жить вектор с по базису а,В Решение. Запишем систему (7):

(а + ЗР = 1,

|2 а - р = 9.

Решением системы являются числа а = 4, Р = -1 .

Запишем искомое разложение по базису (6): с = 4 а - В . Пример 2. Любые три некомпланарных вектора e ,p ,g ,

взятых в определенном порядке, образуют базис в трехмерном пространстве R3

Любой четвертый вектор с е / ? 2 можно представить в виде линейной комбинации векторов с, РЛ'-

у = 1.

Искомое разложение имеет вид

с =2 ё -З р + g.

Определение. Ортонормированным базисом в л-мерном

пространстве R" называется упорядоченная система п взаимно ортогональных векторов единичной длины.

Пример 1. Ортонормированным базисом в декартовой сис­ теме координат на плоскости XOY является пара векторов 7, ].

единственным образом, причем коэффициенты разложения (10) совпадают с координатами вектора а = {х\ у ] .

(11)равны соответствующим координатам вектора а = {х; у; z }. Пусть дан вектор d = {1; 3; 4}. Разложение вектора d по ба­

зису 7 , j , к имеет вид d = 7 + Зу + 4£

Основные определения представлены в табл. 1.

4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение. Скалярным произведением векторов а и b называется число, равное произведению длин векторов, на ко­ синус угла между ними.

(5-£)=|5|-|£|-costp.

Свойства скалярного произведения

1. (a-b)=(b - а).

2. (5-б)=|5|-прг6=|б|-пр^5.

3.(A.5Z>)= А.(а-б), где А = const.

4.(a + b) c =(а с)+{р -с).

5.a -L b <=> (а -б)= 0.

6.(а ■а) = |а|2 - скалярный квадрат.

Следовательно ф = 60°

Задача 2. Векторы а и 6 образуют угол —. Зная, что

Решение. Вычислим скалярное произведение, пользуясь свойствами 1,3,4, 6:

(з5 - 26)• (5 + 2б)= 3(5 • 5)+ б(а • б ) - l(b ■а )- А,{р • б)=

= 3 • |5|2 + 4|а| • |б| • cos у - 4|б|2 = 3- 9 + 4- 3- 4 ~ - 4 - 1 6 = -13.

= {3 -1; - 2 - ( - 1); 0 - 2} = {2; -1; - 2}.

По формулам (12), (7) вычислим работу:

= ( / - л ) = 3 - 2 + (-5 )-(-1 )+ 2 - ( - 2 ) = 6 + 5 - 4 = 7

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение. Векторным произведением векторов 5 и 6 называется вектор с , обладающий следующими свойствами:

1. Длина вектора с равна произведению длин векторов 5 и 6 , умноженному на синус угла между ними: \с =\а|I-|б •sm<p.

2. c La, c Lb , то есть вектор с перпендикулярен плоско­

сти, в которой лежат векторы а и b ;

3. Кратчайший поворот от а к Ь с конца вектора с виден против часовой стрелки. Обозначается векторное произведение сле­ дующим образом:

с - a x b или с=[а,Ь].

Свойства векторного произведения

1.a x b = -Ь ха

2.X[a,b] = [Xa,b] = [a,Xb] =[a,b]-X.

3.(а + bjxc = а х с +b хс

4.allb <^>ахВ = б,(а*б,Ь *б).

5.ахй = 0

С помощью векторного произведения векторов можно вы­ числить площадь параллелограмма и треугольника. Площадь параллелограмма ABCD равна длине векторного произведения

векторов АВ и АС,

S = А В х А С .

Площадь треугольника АВС равна половине длины век­ торного произведения векторов АВ и АС:

следовательно, а х £ = {6; -1; - 1}.

Задача 2. Даны три точки Л(1;1; l), В (2; 2; 2), С (4; 3; 5).

Найти площадь треугольника АВС Решение.

1. Найдем координаты векторов АВ и АС по формуле (1):

л 5 = { 2 - 1 ;2 - 1 ;2 - 1 } = {1;1;1},

= {4 —1; 3 —1; 5 —l} = {3; 2; 4}.

2. Вычислим векторное произведение векторов АВ и АС по свойству (6):

1 ] к

= 7 ( 4 - 2 ) - 7 ( 4 - 3 ) + £ ( 2 - 3 ) = 2 ? - 7 - £ .

Таким образом, АВхАС = { 2; —1; —l} .

3. Вычислим длину векторного произведения по формуле (2):

АВхАС -yl2 2+ ( - \f+ { - \f =л/4 + 1 + 1 = 7 б

Задача 1. Найти объем треугольной пирамиды с вершина­ ми А (2; 2; 2), В (4; 3; 3), С (4; 5; 4), D (5; 5; 6).

Решение.

3)Объем пирамиды V = —.

6

Задача 2. Проверить компланарность векторов а = {2; 5; 7},

6 = {1;1;-1}, с = {1; 2; 2}.

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов

По свойству (3) векторы а,Ь и с компланарны. Определения и свойства нелинейных операций над векто­

рами представлены в виде табл. 2. Основные понятия и форму­ лы векторной алгебры представлены в табл. 3.

Алгоритм решения задач

5. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Контрольная работа № 1

1.Вычислить длину вектора АВ .

2.Вычислить работу А по перемещению точки вдоль век­

тора ВС под действием силы А В .

3. Вычислить смешанное произведение векторов а ,Ь ,с

Компланарны ли векторы a ,b ,c l

4.Вычислить площадь Д АВС

5.Вычислить объем тетраэдра ABCD.

Контрольная работа № 2 Вариант 1

Задание 1. Даны точки А (-1; 3; 1), В (4; 5; -2), С (-3; 1; 4). Найти

2.АВ + 4ВС1.

4.[(АВ + АВС),(СВ-ВА)].

5.Угол между векторами АВ и ВС

Задание 2. В треугольнике АВС даны длины его сторон ВС = 5, СА = 6, АВ = 7. Найти скалярное произведение векторов

ВА и ВС

Задание 3. Определить и построить вектор с = ах.Ь , если

(5Лс )= (бл с ) = у .

Вариант 2

Задание 1. Даны точки А (3; 1; 4), В (6; 9; 2), С (7; 5; 8).

Найти