Моделирование объектов и процессов в металлургии

elib.pstu.ru

Тема 5 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СМЕШАННОГО ТИПА

Отличие моделей смешанного типа от эмпирических и теоретических заключается в том, что в данных моделях уравнениями описываются только наиболее существенные процессы, а влияние остальных процессов определяется при помощи идентификации.

Идентификация – количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту. В качестве критерия соответствия модели и объекта используется минимум ошибки модели εM =Y (t )−YM (t) или минимум среднего квадрата этой ошибки

(рис. 5.1). Задача идентификации заключается в определении не самого оператора F0, а его оценки FM.

Y(t)

F0

X(t)

YM(t)

FM

Рис. 5.1. Схема процесса идентификации: F0 – истинная характеристика объекта, FM – оценка характеристики объекта

Взависимости от характера априорной информации об объекте различают задачи идентификации в узком и широком смысле.

Задача идентификации в узком смысле ставится в случае, когда:

•априорная информация об объекте велика,

•известна внутренняя структура объекта,

•задан класс моделей, к которому можно отнести данный объект.

Вэтом случае задача идентификации в узком смысле, или параметрическая идентификация, сводится к оценке параметров объ-

82

elib.pstu.ru

екта по результатам наблюдений за входными и выходными сигналами, полученными в условиях функционирования объекта.

Задача идентификации в широком смысле ставится в случае, когда:

•априорная информация об объекте недостаточна,

•неизвестна внутренняя структура объекта,

•не задан класс моделей, к которому можно отнести данный объект.

В этом случае задача идентификации в широком смысле, или структурная идентификация, заключается в выборе структуры объекта и задания класса моделей, оценки степени и формы влияния входных переменных на выходные и пр.

Построение модели – многоэтапный процесс, заключающийся

впоследовательной постановке и проверке гипотез о структуре и параметрах объекта. На каждом из этапов необходимо проводить анализ ошибок модели, что позволяет принимать решения о направлениях ее дальнейшего совершенствования.

Структурная идентификация

Одной из задач структурной идентификации является вскрытие структуры объекта. В этом процессе можно отметить следующие этапы:

•выделение объекта из среды;

•ранжирование входов и выходов объекта по степени влияния их на конечный показатель;

•определение рационального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели;

•определение характера связи между входом и выходом мо-

дели.

Рассмотрим каждую из этих задач.

Выделение объекта из среды. Процесс выделения объекта из среды определяется целью, для которой строится модель. При выделении объекта из среды и его разделении на подобъекты необхо-

83

elib.pstu.ru

дим минимум связей со средой или другими подобъектами. Этот процесс может осуществляться как последовательный переход от простейших форм объекта к более сложным.

Ранжирование входов и выходов объекта по степени влияния их на конечный показатель. Определяют все входы и выходы, состояние которых в какой-то степени влияет на выполнение цели.

Определение рационального числа входов и выходов объекта,

учитываемых в модели. Для отбора существенных факторов применяют метод экспертных оценок, наблюдение за функционированием реального объекта, специально спланированный эксперимент на объекте.

Определение характера связи между входом и выходом моде-

ли. Целенаправленное определение характера связи между входами и выходами модели возможно лишь на основе теоретических представлений о механизме процессов, протекающих в объекте. Возможен также простой перебор структур, что практически нереально.

Практически гипотезы о структуре ставятся с учетом физических, физико-химических и прочих теоретических представлений о конкретных объектах. Для проверки этих гипотез используются экспериментально-статистические методы.

В качестве метода проверки гипотез об адекватности структуры применяют содержательный анализ остатков.

Остатки εi – разность между фактически измеренными значениями выходного параметра yi и предсказанными с помощью модели ŷ’i, т.е. это остаточные ошибки модели.

Для ошибок делаются предположения, что они независимы, имеют нулевые средние, постоянную дисперсию и подчиняются нормальному закону распределения.

Если подбираемая модель находится в удовлетворительном соответствии с объектом, то остатки должны проявлять тенденцию к подтверждению сделанных предположений или не противоречить им.

При проверке формулируется следующий вопрос: «Не показывают ли остатки, что наши предположения ошибочны?». При анализе остатков возможны выводы:

• предположения, по-видимому, нарушены.

84

elib.pstu.ru

• предположения, по-видимому, не нарушены. Это означает, что мы не имеем основания для утверждения о неправильности, но не значит, что предположения верны.

Процедура исследования остатков носит графический характер и позволяет проводить как качественный, так и количественный анализ степени идентичности модели и объекта.

К основным видам графиков остатков относятся: общий (например, гистограмма распределения); зависимости от времени или номера опытов, если известна их последовательность; зависимости от предсказываемых значений ŷ’i; зависимости от входных факторов xij, а также любой вид графика, целесообразного для данной конкретной задачи.

Рис. 5.2. Вид симметричной гистограммы распределения

Рассмотрим построение гистограммы распределения. Она строится следующим образом. Весь диапазон изменения ошибки модели разбивается на ряд равных интервалов, чаще всего 10–15, которые откладываются на оси абсцисс, а на оси ординат отмечается частота попадания ошибки в каждый из этих интервалов (число случаев). Симметричный характер гистограммы не дает оснований для суждений о неправильности наших предположений. Несимметричный характер может свидетельствовать о том, что в модели не учтена какая-то случайная составляющая и требуется более глубокий анализ ошибки модели.

85

elib.pstu.ru

Эффективным при последовательном совершенствовании моделей может оказаться введение в рассмотрение новой переменной. Строится график зависимости остатков от новой переменной, не включенной в рассматриваемую модель. Если такая зависимость обнаруживается, то в модель вводятся новые параметры для учета этой переменной. Большой интерес при исследовании остатков могут представить выбросы – значительные отклонения параметров от установленного закона распределения. Особенно важен анализ выбросов при задаче вскрытия внутреннего механизма явлений, поскольку выброс связан с необычной комбинацией условий. Если выбросы превышают ± 3σ, где σ – среднее квадратическое отклонение, то их рекомендуется не учитывать.

Параметрическая идентификация

Методы параметрической идентификации называются в зависимости от параметров моделирования: статические и динамические, детерминированные и неопределенные, линейные и нелинейные, непрерывные и дискретные.

В основу классификации методов параметрической идентификации положены следующие признаки:

•активность (пассивные и активные методы);

•адаптивность (неадаптивные и адаптивные);

•дискретность (непрерывные и дискретные (шаговые)).

Из-за невозможности рассмотреть все промежуточные случаи остановимся на основных.

Параметрическая идентификация для случая статистической детерминированной линейной модели.

Допустим, что поведение объекта описывается некоторой регулярной зависимостью, связывающей вход X и выход Y объекта: Y=F0(X). Тогда модель объекта также должна представлять собой некоторую регулярную функцию F: Y=F(X).

Рассмотрим случай линейной модели объекта, когда количество входов n>1, а количество выходов m=1. В скалярной форме модель имеет вид:

86

elib.pstu.ru

y = b0 +b1x1 +b2 x2 +L+bn xn .

Она содержит k=n+1 неизвестных параметров b0, b1,…, bn, которые могут быть оценены на основе информации об объекте.

Применим неадаптивный шаговый метод для решения этой задачи, для чего приравниваем выходы модели и объекта в каждом из N опытов:

n

b0 + ∑bi xij = y j ( j =1,L, N ).

i=1

Врезультате может быть получена система из N уравнений идентификации с n+1 неизвестным, которая имеет однозначное решение, если ранг матрицы равен n+1, т.е. имеется n+1 линейно независимая строка этой матрицы

В качестве критерия идентификации чаще всего используется квадрат суммарной невязки модели и объекта

N

Q(B)= ∑q2j (b),

j=1

где qj – локальная невязка в j-м опыте;

n

q j = b0 + ∑bi xij − y j .

i=1

Применим адаптивный шаговый метод, при котором связываются параметры модели на двух следующих друг за другом шагах:

B j = J (B j−1, X j , y j ),

где J – алгоритм адаптации, а Bj=(b0(j), b1(j), …, bn(j)). В качестве такого алгоритма часто используют метод наискорейшего спуска:

B = B − −α gradq2 (B − ),

j j 1 j j j 1

87

elib.pstu.ru

где qj(Bj–1) – невязка на j-м шаге при значении параметра модели на (j–1)-м шаге адаптации;

n

q j (B j−1 )= b0( j−1) + ∑bi( j−1)xij − y j . i=1

Параметр αj выбирается из условия минимума текущей невязки q2j (b j )→ min α j .

Преимуществом адаптивного метода адаптации по сравнению с неадаптивным является возможность использования текущей информации. При этом возникает проблема сходимости процесса адаптации (связанная с выбором параметра αj).

Для непрерывного случая процесс адаптивной идентификации представляется дифференциальным уравнением вида:

dBdt = J (B, X (t ),Y (t)).

Если в качестве критерия идентификации принять квадрат невязки, а в качестве алгоритма – метод наискорейшего спуска, то уравнение примет вид:

dBdt = −α gradq2j B(t ),

где

B(t)= b0 (t ),b1 (t),L,bn (t) ; qt (B)= b0 +b1x1t +L+bn xnt − yt ; gradqt2 (B)= −2[1, x1t ,L, xnt ]qt (B).

Обозначим вектор-функцию времени

X t =[1, x1t ,L, xnt ].

Получим

qt (B)=[B, X t ]− yt ,

88

elib.pstu.ru

gradqt2 (B) = −2{[B, X t ]− yt }X t .

Тогда уравнение примет вид:

dBdt = −2α{[B, X t ]− yt }X t .

Структурная схема, изображающая этот алгоритм, приведена на рис. 5.3.

Объект

yt

Xt

Модель [B, X]

B

∫

qt(B)

×

ИУ

Рис. 5.3. Структурная схема непрерывной адаптивной идентификации, ИУ – идентифицирующее устройство

Динамические модели

Динамические объекты – объекты, оператор которых имеет память, т.е. выход Y в момент времени t отражает не столько состояние входа X в этот момент, сколько его значения в предыдущие моменты времени.

Следует различать параметрические и непараметрические динамические модели объектов. Параметрическая модель определяется набором параметров, которые оцениваются в процессе иденти-

89

elib.pstu.ru

фикации. Непараметрическая модель определяется непрерывной функцией, чаще всего функцией времени.

Линейная модель для одномерного случая представляет обыкновенное дифференциальное уравнение вида

Запишем эту модель в виде системы дифференциальных уравнений, для чего введем новые переменные:

В результате получаем систему уравнений вида

L;

y p = ∑p a pi yi + ∑l bpj x( j). i=0 j=0

Исходной информацией для идентификации являются состояние входов x и выхода yt объекта в интервале времени 0 ≤ t ≤T .

Задача идентификации сводится к минимизации функции невязки в виде квадрата разности правой и левой частей уравнения при подстановке в него функций xt и yt наблюдений объекта:

Задача минимизации формулируется в виде

90

elib.pstu.ru