Моделирование объектов и процессов в металлургии

Система этих уравнений содержит столько же уравнений, сколько неизвестных коэффициентов b0, b1, b2, … входит в уравнение регрессии, и в математической статистике называется системой нормальных уравнений.

Функция Φ ≥ 0 при любых b0, b1, b2 …, следовательно, у нее должен существовать хотя бы один минимум. Поэтому если система нормальных уравнений имеет единственное решение, то оно и является минимумом для функции Ф.

Для решения системы надо аналитически представить искомую функциональную зависимость. Эмпирическую формулу обычно выбирают из формул определенного типа.

В случае линейной связи уравнение регрессии имеет вид y = b0 +b1x .

Система нормальных уравнений при этом имеет вид, где n – объем выборки:

51

elib.pstu.ru

Коэффициенты находим при помощи определителей:

b0 проще найти по известному b1 из первого уравнения системы: b0 = y −b1 x . Это уравнение показывает, что между коэффициента-

ми существует корреляционная зависимость. Для оценки силы связи вычисляем выборочный коэффициент корреляции r*:

52

elib.pstu.ru

Регрессионный анализ

Регрессионный анализ заключается в проверке значимости всех коэффициентов регрессии в сравнении с ошибкой воспроизводимости и адекватности уравнения.

При проведении регрессионного анализа принимают следующие допущения:

•входной параметр х измеряется с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении y;

•результаты наблюдений y1, y2, …, yn представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины;

•при проведении эксперимента с объемом выборки n при условии, что каждый опыт повторен mi раз, i=1, 2, …, n выборочные

дисперсии s12 , s22 , …, sn2 должны быть однородны.

Последовательность проведения регрессионного анализа

1. Проверка однородности дисперсий. При одинаковом числе степеней свободы (повторных опытов) воспроизводимость проверяют по критерию Кохрена, при разном – по критерию Бартлета.

По текущим измерениям определяют частные дисперсии si2

(3.3). Затем находят отношение максимальной выборочной дисперсии к сумме всех дисперсий, и полученное значение критерия сравнивают с табличным.

s 2

G = nmax . (3.7)

∑si2

i=1

Табличное значение критерия выбирают в зависимости от объема выборки n и числа степеней свободы f, с которым определена каждая дисперсия f=m–1. Если G<GТ, то опыты равноточны. В случае неравноточности опытов необходимо увеличить число повторных экспериментов или повысить их точность.

2. Определение коэффициентов уравнения регрессии МНК.

53

elib.pstu.ru

3. Оценка значимости коэффициентов. Проводится по критерию Стьюдента

табличного t j ( f ) для выбранного уровня значимости p и числа степеней свободы f=fвоспр, то коэффициент b j значимо отличается

от нуля. Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии. Оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново. Среднее квадратичное отклонение определяется по закону накопления ошибок

Если выборочные дисперсии (3.3) однородны, получим

При отсутствии параллельных опытов вместо дисперсии воспроизводимости используют дисперсию относительно среднего

54

elib.pstu.ru

n 2

∑(yi − y)

где f1 = n −1 .

4. Проверка адекватности уравнения. Проводится по критерию Фишера

Если F < F1−p ( f1, f2 ) для уровня значимости p и чисел степе-

где fад = n −l , где l – число связей, равное числу значимых коэффициентов, входящих в уравнение регрессии; y′i – рассчитанные по

полученному уравнению значения выхода. Для одинакового числа опытов

n 2

m∑(yi − y′i )

При отсутствии параллельных опытов критерий Фишера запишется как

55

elib.pstu.ru

где остаточная дисперсия

а f2 = n −l . В этом случае чем больше значение F превышает таб-

Пассивный и активный эксперимент

Для сбора статистической информации проводят эксперимент непосредственно на изучаемом объекте. Для этого фиксируют его входные и выходные параметры. Выделяют

•входные контролируемые и управляемые параметры x;

•неконтролируемые, случайным образом изменяющиеся параметры w;

•выходные параметры у.

Математической моделью объекта служит функция отклика, связывающая выходной параметр, характеризующий результаты эксперимента, с переменными, которые варьируют при проведении опытов. Независимые переменные х1, х2, …, хk называют факторами, координатное пространство с координатами х1, х2, …, хk – факторным пространством, а геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве – поверхностью отклика. Функция отклика связывает выходной параметр, характеризующий результаты эксперимента, с факторами

y = ϕ(x1, x2 ,L, xk ).

Исходные данные, необходимые для определения коэффициентов уравнения регрессии, могут быть получены двумя путями.

1. В результате пассивного наблюдения за процессом или явлением.

56

elib.pstu.ru

2. Путем постановки активного, заранее спланированного эксперимента.

При пассивном эксперименте данные получают путем наблюдения и регистрации значений входных и выходных переменных в некоторых моментах времени. Однако даже при таком эксперименте требуется составить определенный план сбора исходных данных, выбрать наиболее существенно влияющие факторы, оценить интервал времени, через который нужно снимать показания приборов и т.д.

Особенностью такого подхода является отсутствие какоголибо вмешательства в процесс, отсюда достоинством метода является простота реализации; недостатком – необходимость соблюдения определенных допущений, которые часто трудновыполнимы.

Основными допущениями являются следующие:

•входные величины х1, x2, x3, …, xk должны измеряться с точностью, значительно превышающей точность измерения выходной величины y;

•входные величины х1, x2, x3, …, xk не должны быть коррелированны, т.е. статистически связаны между собой;

•выходной параметр y есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения;

•дисперсия выходного параметра y не зависит от его абсолютной величины.

При таком походе очень сложно решается задача введения в

уравнение регрессии новых переменных и отбраковывания незначимых, т.к. в этом случае требуется заново строить и решать систему определяющих уравнений и вытекающих из нее систему линейных уравнений.

Второй подход ориентирован на активный эксперимент. Активный эксперимент ставится по заранее составленному плану, при этом предусматривается одновременное изменение всех параметров, влияющих на процесс, что позволяет сразу установить силу взаимодействия параметров.

57

elib.pstu.ru

Выделяют две разновидности: однофакторный и многофакторный эксперимент.

Однофакторный эксперимент заключается в поочередном варьировании одной переменной, остальные остаются на постоянных уровнях. Такой эксперимент применяется в методе Гаусса – Зейделя. При проведении исследований требуется большое число опытов.

Более эффективен многофакторный эксперимент, при котором в каждом опыте производится варьирование всеми переменными по определенному плану, что позволяет существенно сократить число опытов. Примером активного эксперимента является полный фак-

торный эксперимент.

На основе теоретического анализа физико-химических процессов при наличии достаточной информации об их механизмах можно составить детерминированную математическую модель объекта. Однако при проведении большинства исследований механизмы процессов, протекающих в изучаемых объектах, остаются неизвестными, поэтому для решения задач оптимизации необходимо использовать методы математической статистики. При статистическом подходе математическая модель объекта или процесса представляется в виде полинома, т.е. отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная функция отклика:

58

elib.pstu.ru

∂ϕ(0)

βiuj = ∂xi∂xu∂x j .

Из-за воздействия случайных факторов на результаты опыта при обработке и анализе экспериментальных данных для полиномиальной модели находят выборочные коэффициенты регрессии b0, bj, buj, bjj, buij, которые являются оценками соответствующих теоретических коэффициентов. Уравнение регрессии записывается в виде

где b0 – свободный член; bj – линейные эффекты; buj – эффекты парного взаимодействия; bjj – квадратичные эффекты; biuj – эффекты тройного взаимодействия.

В зависимости от целей исследования и имеющейся информации можно ограничиться расчетом только части коэффициентов, пренебрегая влиянием остальных эффектов (например, в условиях линейной модели значимыми считаются только линейные эффекты, квадратичной модели – линейные и квадратичные эффекты, при этом в обоих случаях принимается, что эффекты взаимодействия факторов пренебрежимо малы).

Следует отметить, что на основании оценок теоретических коэффициентов нельзя определить аналитическое выражение функции отклика и, следовательно, получить информацию о механизме процесса. Полиномиальные модели используются только для решения задач оптимизации и управления процессами.

При планировании по схеме ПФЭ реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях. Необходимое число опытов N определяется по формуле

N = nk , где n – количество уровней, k – число факторов.

59

elib.pstu.ru

Если эксперименты проводятся только на двух уровнях при двух значениях факторов и при этом осуществляются все возможные комбинации из k факторов, то постановка по такому плану называется полным факторным экспериментом типа 2k. Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру. При ПФЭ типа 2k верхний уровень кодируется через +1, нижний через –1. Соотношение между натуральными и кодированными переменными имеет вид

где x j – кодированная переменная, принимающая значение +1 или

–1; z j – натуральная переменная; z 0j – центр плана или основной

уровень, около которого осуществляется варьирование, определяется как

elib.pstu.ru