Моделирование объектов и процессов в металлургии

Линейное поведение свойственно относительно простым объектам. Системам, как правило, присуще нелинейное многовариантное поведение.

В настоящее время все чаще возникает потребность не только в повышении точности моделирования, но и в создании качественно новых моделей, учитывающих нелинейность поведения реальных объектов исследования. Анализ подобных моделей намного сложнее, чем линейных, причем разработка методики и общих подходов к исследованию в настоящее время далека от завершения. Являясь более богатым и сложным, мир нелинейных моделей представляется для современной науки более перспективным в плане открытия новых закономерностей и описания сложных явлений. Методы исследования нелинейных моделей в настоящее время быстро прогрессируют, складываясь в новые научные направления. К таким относительно новым направлениям можно отнести, например, синергетику – науку о сложных самоорганизующихся системах.

Линейный Нелинейный

Рис. 1.4. Классификация моделей

взависимости от оператора

Взависимости от вида оператора математические модели можно разделить на простые и сложные.

21

elib.pstu.ru

Вслучае, когда оператор модели является алгебраическим выражением, отражающим функциональную зависимость выходных параметров Y от входных X, модель называется простой.

Вкачестве примеров простых моделей можно привести многие законы физики (закон всемирного тяготения, закон Ома, закон Гука), а также все эмпирические, т.е. полученные из опыта, алгебраические зависимости между входными и выходными параметрами.

Модель, включающая системы дифференциальных и интегральных соотношений, уже не может быть отнесена к простым, так как для своего исследования требует применения довольно сложных математических методов. Однако в двух случаях она может быть сведена к простым:

1) если полученная для подобной модели система математических соотношений может быть разрешена аналитически;

2) если результаты вычислительных экспериментов со сложной моделью аппроксимированы некоторой алгебраической зависимостью. В настоящее время известно достаточно большое число подходов и методов аппроксимации (например, метод наименьших квадратов или метод планирования экспериментов).

На практике часто возникают ситуации, когда удовлетворительное описание свойств и поведения объекта моделирования (как правило, сложной системы) не удается выполнить с помощью математических соотношений. Однако в большинстве случаев удается построить некоторый имитатор поведения и свойств такого объекта

спомощью алгоритма, который можно считать оператором модели.

Классификация математических моделей

взависимости от параметров модели

Вобщем случае параметры, описывающие состояние и поведение объекта моделирования, разбиваются на ряд непересекающихся подмножеств:

• совокупность входных (управляемых) воздействий на объ-

ект (Ωx);

• совокупность воздействий внешней среды (неуправляемых)

(ΩE);

22

elib.pstu.ru

•совокупность внутренних (собственных) параметров объек-

та (ΩI);

•совокупность выходных характеристик (Ωy).

Количество параметров всех типов в математических моделях, как правило, конечно (хотя параметры или функции могут принадлежать любому бесконечномерному функциональному пространству). При этом каждый из параметров может иметь различную «математическую природу»: быть постоянной величиной или функцией, скаляром или вектором (или тензором второго, третьего рангов и выше), четким или нечетким множеством и т.д. В математических моделях, рассматриваемых в естественных науках, наиболее распространены параметры, являющиеся тензорзначными функциями (скаляр – тензор нулевого ранга, а вектор – тензор первого ранга). В качестве независимых переменных (аргументов) при этом обычно выступают координаты точек трехмерного пространства и/или время (или некоторый неубывающий параметр – аналог времени).

По своей природе характеристики объекта могут быть как качественными, так и количественными. Количественные значения параметра могут выражаться дискретными или непрерывными величинами. В зависимости от вида используемых множеств параметров модели могут подразделяться на качественные и количественные, дискретные и непрерывные, а также смешанные.

При построении моделей реальных объектов и явлений очень часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Как правило, для любого исследуемого объекта распределение свойств, параметры воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. Это связано с множеством трудно учитываемых факторов, ограниченностью числа используемых параметров модели, конечной точностью экспериментальных измерений. При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенности параметров:

1) детерминированное – значения всех параметров модели определяются детерминированными величинами (т.е. каждому параметру соответствует конкретное целое, вещественное или ком-

23

elib.pstu.ru

плексное число либо соответствующая функция). Данный способ соответствует полной определенности параметров;

2)стохастическое – значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятности. В литературе наиболее полно исследованы случаи нормального (гауссова) и показательного распределения случайных величин;

3)случайное – значения всех или отдельных параметров модели устанавливаются случайными величинами, заданными оценками плотностей вероятности, полученными в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных параметров. Эта форма описания тесно связана с предыдущей. Однако в рассматриваемом случае получаемые результаты моделирования будут существенным образом зависеть от точности оценок моментов и плотностей вероятности случайных параметров, от постулируемых законов распределения и объема выборок;

4)интервальное – значения всех или отдельных параметров модели описываются интервальными величинами, заданными интервалом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра;

5)нечеткое – значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему нечеткому множеству. Такая форма используется, когда информация

опараметрах модели задается экспертом на естественном языке, а следовательно, в «нечетких» (с позиции математики) терминах типа «много больше пяти», «около нуля».

24

elib.pstu.ru

Классификация математических моделей в зависимости от цели моделирования

Целью дескриптивных моделей (от лат. – описание) является установление законов изменения параметров модели. В качестве примера такой модели можно привести модель движения материальной точки под действием приложенных сил, использующая второй закон Ньютона. Задавая положение и скорость точки в начальный момент времени (входные параметры), массу (собственный параметр) и закон изменения прикладываемых сил (внешние воздействия), можно определить скорость и координаты материальной точки в любой момент времени (выходные параметры). Полученная модель описывает зависимость выходных параметров от входных, поэтому дескриптивные модели являются реализацией описательных и объяснительных содержательных моделей на формальном уровне моделирования.

Оптимизационные модели предназначены для определения оптимальных (наилучших) с точки зрения некоторого критерия параметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального (наилучшего) режима управления некоторым процессом. Как правило, данные модели строятся с использованием одной или нескольких дескриптивных моделей и включают некоторый критерий, позволяющий сравнивать различные варианты наборов значений выходных параметров между собой с целью выбора наилучшего. Целью оптимизационных моделей является поиск таких допустимых параметров управления, при которых критерий выбора достигает своего «наилучшего значения».

Управленческие модели применяются для принятия эффективных управленческих решений в различных областях целенаправленной деятельности человека. В отличие от оптимизационных моделей, где критерий выбора считается определенным и искомое решение устанавливается из условий его экстремальности, в управленческих моделях необходимо введение специфических критериев оптимальности, которые позволяют сравнивать альтернативы при различных неопределенностях задачи.

26

elib.pstu.ru

Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации

Метод реализации модели относят к аналитическим, если он позволяет получить выходные параметры в виде аналитических выражений, т.е. выражений, в которых используется не более чем счетная совокупность арифметических операций и переходов к пределу (рис. 1.6).

Методы реализации модели

Аналитические Алгоритмические

Рис. 1.6. Классификация моделей в зависимости от метода реализации

Существующие в настоящее время математические методы позволяют получить аналитические решения только для относительно несложных математических моделей в узком диапазоне значений параметров. В большинстве случаев при исследовании моделей приходится использовать алгоритмические подходы, позволяющие получить лишь приближенные значения искомых параметров.

К настоящему времени круг вопросов, связанных с разработкой и использованием численных методов, а также с построением на их основе вычислительных алгоритмов, выделился в самостоятельный, быстро развивающийся и обширный раздел – вычислительную математику.

Если при численном подходе дискретизации подвергалась полученная система математических соотношений, то при имитационном подходе на отдельные элементы разбивается сам объект исследования. В этом случае система математических соотношений для объекта-системы в целом не записывается, а заменяется некото-

27

elib.pstu.ru

рым алгоритмом, моделирующим ее поведение и учитывающим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы. Модели отдельных элементов могут быть как аналитическими, так и алгебраическими.

Алгоритмические модели, использующие как численный, так и имитационный подход, не позволяют получить решения задач в аналитической форме, что затрудняет и усложняет процесс анализа результатов моделирования. Несомненным достоинством алгоритмических моделей является отсутствие принципиальных ограничений на сложность модели, что позволяет применять их для исследования систем произвольной сложности.

Использование математической модели, построенной алгоритмическими методами, аналогично проведению экспериментов с реальным объектом, только вместо реального эксперимента с объектом проводится вычислительный эксперимент с его моделью. Задаваясь конкретным набором значений исходных параметров модели, в результате вычислительного эксперимента находим конкретный набор приближенных значений искомых параметров. Для исследования поведения объекта при новом наборе исходных данных необходимо проведение нового вычислительного эксперимента.

28

elib.pstu.ru

Тема 2 ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Исследование объекта методом математического моделирования проводится следующим образом. Сначала производится разработка математической модели, предполагающая выполнение следующих действий.

1.Постановка задачи.

2.Математическая формулировка задачи.

3.Реализация алгоритма в виде компьютерной программы.

4.Проверка адекватности модели.

5.Вычислительный эксперимент.

6.Анализ результатов.

7.Практическое использование модели.

Подробнее рассмотрим каждый этап.

1. Постановка задачи. Под задачей в самом общем смысле этого слова понимается некая проблема, которую нужно решить. На данном этапе обязательно выполнение следующих подэтапов:

•описание задачи: задача формулируется на обычном языке, и описание должно быть понятным. Главное здесь – определить объект моделирования и понять, что собой должен представлять результат. От того, как будет понята проблема, зависит результат моделирования и в конечном счёте – принятие решения;

•формулирование цели исследования: на этом этапе постанов-

ки задачи вы должны определить, зачем вы создаёте свою модель. Какой должна быть эта модель? Как она должна выглядеть? Кроме того, вам также необходимо будет поставить перед собой цели моделирования, т.е. то, чего вы хотите достигнуть в своей модели;

•качественное описание поведения объекта и его схематиза-

ция, т.е. принятие упрощающих допущений и выделение свойств объекта, существенных для цели исследования. На этом этапе, от-

29

elib.pstu.ru

талкиваясь от общей формулировки задачи, чётко выделяют моделируемый объект и его основные свойства. По сути, все эти факторы можно назвать входными параметрами моделирования. Очень часто исходный объект – это целая совокупность более мелких составляющих, находящихся в некоторой взаимосвязи. В результате объект представляется совокупностью более простых объектов. Они могут находиться между собой либо в равноправной связи, либо во взаимном подчинении. Таким образом, результатом анализа является выявление составляющих модели (блоков) и определение взаимосвязей между ними. т.е. производится структуризация объекта;

•упрощение модели. Проводится выбор переменных и определение параметров будущей математической модели. Все входные параметры объектов, выделенные при анализе, располагаются в порядке убывания значимости, и проводится упрощение модели в соответствии с целью моделирования. При этом отбрасываются факторы, несущественные с точки зрения того, что определяет модель. Все элементарные объекты, выделенные при анализе, должны быть показаны во взаимосвязи. На данном этапе в модели отображаются только бесспорные связи и очевидные действия. В ней чётко поставлены цели и определены параметры модели, которые надо учесть. Такая модель даёт первичную идею, определяющую дальнейший ход моделирования;

•задание точности расчета выходных переменных.

2.Математическая формулировка задачи (разработка знако-

вой модели). Запись уравнений, неравенств, логических условий для каждого блока математической модели, а также соотношений, выражающих связи между отдельными блоками. При этом для различных блоков модели возможно использование как теоретических, так и эмпирических моделей. Так, например, для описания зависимости теплофизических характеристик тел от температуры в рамках некоторой теоретической (детерминированной) модели обычно используются простейшие эмпирические соотношения.

3.Реализация алгоритма в виде компьютерной программы.

Теперь, когда задача сформирована математически, можно перехо-

30

elib.pstu.ru