Моделирование объектов и процессов в металлургии

Матрица строится таким образом, чтобы не было ни одной повторяющейся комбинации уровней факторов. Матрица должна обладать свойством ортогональности – равенство нулю скалярных произведений всех векторов-столбцов

Эксперимент, в котором пропущены некоторые сочетания уровней, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). Сокращение числа опытов неизбежно приводит к потере части информации, при этом обычно пренебрегают эффектами взаимодействия факторов. Число опытов в этом случае должно быть больше или равно числу неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии.

Пример активного факторного эксперимента

Целью эксперимента является определение зависимости скорости нагрева металла в мартеновской печи y(Vi) от величины абсолютного избытка воздуха X1(VГO2) и тепловой нагрузки X2(QТ) в период чистого кипения.

Выбираем уровни варьирования факторов из соображений возможности реализации опытов в пределах технологических ограничений получения значимых эффектов, превышающих ошибки эксперимента (табл. 3.3).

elib.pstu.ru

Составляем матрицу планирования и карту проведения эксперимента (табл. 3.4).

Таблица 3 . 4

Матрица планирования и карта проведения экспериментов

После проведения двух серий опытов оказались заполненными столбцы значений yi1 и yi2. Теперь необходимо обработать и статистически проанализировать результаты эксперимента.

1. Проверяем воспроизводимость опытов. Для начала определяем построчные средние (3.2), результаты заносим в столбец yiср карты проведения эксперимента. Затем определяем построчные дисперсии (3.5) и сумму построчных дисперсий.

s22 = 32, s32 = 50, s32 = 32,

sΣ2 = 425.

Вычисляем критерий Кохрена (3.7): G=0,75. Если G<GТ, то опыты равноточны. Для случая, когда n=4, f=2, p=0,95, табличное значение критерия GТ=0,906, т.е. G<GТ.

2. Определяем значения коэффициентов уравнения регрессии по формуле

62

elib.pstu.ru

Коэффициент b0 по своему физическому смыслу соответствует опыту с поддержанием всех варьируемых факторов на средних уровнях

n

∑yi

b0 = 72,0,

b1 = −1,0, b2 =10,5, b12 =11,5.

3. Проверяем значимость коэффициентов регрессии (3.8). Для этого определяем дисперсию воспроизводимости (3.4)

sвоспр2 = 4254 =113 .

В данном примере дисперсия коэффициентов определяется по формуле

s2

sb2j = воспрnm =14,13.

Определяем ошибку коэффициентов sb j = sb2j =3,76.

Табличное значение критерия Стьюдента выбирается в зависимости от числа степеней свободы fвоспр = n(m −1) и уровня значимости. Коэффициент значим, если его абсолютное значение больше доверительного интервала. Здесь fвоспр = 4(2 −1), значение

63

elib.pstu.ru

критерия t=2,78. Составляем t-отношения для всех коэффициентов уравнения регрессии

t0 = 3,7672 = 19,16, t1 =0,27,

t2 =2,79, t12 = 3,06.

Коэффициент b1 оказался незначим, следовательно, окончательное уравнение регрессии запишется в виде

y= 72,0 +10,5X 2 +11,5X1 X 2 .

4.Проверяем адекватность модели с помощью критерия Фишера (3.9). Для этого необходимо найти значения выхода, прогнозируемые с помощью модели.

y)1 = 72,0 +10,5(−1) +11,5(−1)(−1) = 73,0,

y)2 = 50,0, y)3 = 71,0, y)4 = 94,0.

Теперь вычислим значение дисперсии адекватности:

Табличное значение Fтабл=7,7. Так как полученное значение меньше табличного, то имеются основания сделать вывод об адекватности полученной модели.

64

elib.pstu.ru

Тема 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

На этапе математической формулировки задачи теоретические модели представляются в виде совокупности основного дифференциального уравнения и дополнительных условий, которые обеспечивают существование и единственность решения. В зависимости от вида условий различают задачу Коши, краевую и смешанную краевую задачи. Если решение ищется в ограниченной области, то задаются условия на ее границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи называются краевыми. Если одной из независимых переменных в рассматриваемой задаче является время t, то задаются некоторые условия в начальный момент t0, называемые начальными условиями. Задача, которая состоит в решении уравнения при заданных начальных условиях, называется задачей Коши. При этом задача решается в неограниченном пространстве и граничные условия не задаются. Задачи, при формулировке которых ставятся граничные и начальные условия, называются смешанными краевыми задачами. Получающиеся при этом решения меняются с течением времени. В дальнейшем будем рассматривать лишь корректно поставленные задачи, т. е. задачи, решение которых существует и единственно в некотором классе начальных и граничных условий, оно непрерывно зависит как от этих условий, так и от коэффициентов уравнений.

На этапе вычислительного эксперимента находят приближенное решение поставленной задачи. Для решения таких моделей применяются численные методы, построение которых разбивается на два этапа:

•формулировка дискретной задачи;

•разработка вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи.

Дискретизация объекта подразумевает замену непрерывной среды её дискретным аналогом. При этом исходные дифференциальные и интегральные уравнения заменяются аппроксимирующей

65

elib.pstu.ru

их системой алгебраических уравнений. В общем случае дискретную модель можно рассматривать как конечномерный аналог исходной математической задачи. Решение дискретной задачи отличается от решения непрерывной. Разность решений называется погрешностью дискретизации. Обычно модель зависит от некоторого параметра дискретизации. При стремлении параметра к нулю погрешность дискретизации также стремится к нулю. При этом количество алгебраических уравнений, составляющих дискретную модель, неограниченно возрастает.

Простейшим примером дискретизации является построение разностной схемы путем замены дифференциальных выражений конечно-разностными отношениями, в этом случае метод построе-

ния называется разностным. Под разностной схемой или разност-

ной задачей понимают совокупность всех разностных уравнений, аппроксимирующих основное уравнения и дополнительные условия исходной непрерывной задачи. В случае разностных методов параметром дискретизации является шаг сетки.

Построение разностных схем

Построение разностных схем решения основной задачи основано на введении сетки в рассматриваемом пространстве. Сеткой на отрезке от 0 до l включительно ([0, l]) называется любое конечное множество точек этого отрезка. Функция, определенная в точках сетки, называется сеточной функцией. Точки, принадлежащие сетке, называются узлами. ΩN – сетка, удовлетворяющая условиям 0 = x0 < x1 < x2 <L< xN −1 < xN = l . fi – значение сеточной функции f(x) в узлах сетки (xi є ΩN), т.е. fi = f (xi ).

В общем случае расположение узлов сетки в исследуемой области может быть произвольным. Оно определяется особенностями решаемой задачи. На практике часто применяют сетку, равномерно покрывающую расчетную область. Такая сетка с постоянными расстояниями между соседними узлами называется регулярной, или равномерной, т.е.

66

elib.pstu.ru

Узлы сетки, лежащие на границе, называются граничными узлами, все остальные узлы – внутренними. Поскольку начальные и граничные условия при постановке задач формулируются на границе расчетной области, то их можно считать заданными в граничных узлах сетки. Иногда граничные точки области не являются узлами сетки, что имеет место для областей сложной формы.

t

Граничные узлы

Внутренние узлы

h

Рис.4.1. Прямоугольная сетка

Прямоугольные сетки (рис. 4.1) наиболее удобны при организации вычислительного алгоритма. Вместе с тем некоторые схемы используют сетки с треугольными и даже шестиугольными ячейками.

Существуют различные способы построения разностных схем. Например, метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод конечных объемов. Для примера рассмотрим метод конечного объема.

67

elib.pstu.ru

Метод баланса

Метод баланса (интегро-интерполяционный метод, или метод конечного объема) заключается в составлении для каждой элементарной ячейки сеточной области уравнений, которые выводятся путем интегрирования уравнения в пределах элементарной ячейки с последующей заменой получающихся интегралов приближенными разностными выражениями. Для построения разностной схемы исходят из законов сохранения (балансов) для отдельных ячеек разностной сетки.

Построим разностную схему краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

где k(x), q(x), f(x) – заданные гладкие функции, удовлетворяющие

условиям k(x)≥C1>0, q(x)≥0, и β≥0; µ1 и µ2 – заданные числа. Эллиптические уравнения второго порядка, прототипом которых является

уравнение (4.2), используются при моделировании многих физикомеханических процессов. Для однозначного определения неизвестной функции u(x) уравнение (4.2) дополняется двумя граничными условиями на концах отрезка [0, l]. Задаваться может функция u(x) (граничное условие первого рода), поток

w(x)= −k (x)u′(x)

(граничное условие второго рода) или же их линейная комбинация (граничное условие третьего рода).

Решение задачи (4.2–4.3) существует и единственно при сформулированных предположениях. Будем считать, что решение достаточно гладкое. Будем рассматривать уравнение (4.2) как распределение температуры u(x) в стержне длины l, на одном конце которого (x=l) поддерживается заданная температура µ2, а на другом (x=0) происходит обмен с окружающей средой. При этом k(x) – коэффи-

68

elib.pstu.ru

циент теплопроводности, −k(x)u′(x) – тепловой поток, обозначим

w(x), коэффициенты q(x), f(x) характеризуют плотность тепловых источников.

Для построения разностной схемы введем на отрезке (0, l) равномерную сетку (4.1) с шагом h. Введем промежуточные потоковые узлы

xi±12 = xi ± 0,5h .

проинтегрируем выражение (4.2) на этом отрезке и получим

Чтобы аппроксимировать уравнение (4.2), заменим интеграл его приближенным значением. Предположим, что u=ui=const при

xi−0,5 ≤ x ≤ xi+0,5 . Тогда

2

69

elib.pstu.ru

Введем обозначения

elib.pstu.ru