Моделирование объектов и процессов в металлургии

Q(C)→ min C = (a ,L,a − ;b ,L,b )

0 p 1 0 l

и сводится к решению системы уравнений, образующихся в результате приравнивания частных производных нулю:

∂Q(C) = 0(i = 0, 1, L, p −1);

∂ai

∂Q(C) = 0( j = 0, 1, L, l).

∂b j

После преобразований получаем систему линейных алгебраических уравнений

где

a p =1;

T

xik = ∫yt(i)yt(k )dt;

0

T

λ jk = ∫xt( j)yt(k )dt;

0

T

λiq = ∫yt(i)xt(q)dt;

0

T

ε jq = ∫xt( j)xt(q)dt.

0

В представленном непрерывном виде задача относительно легко решается на аналоговых и гибридных ЭВМ.

91

elib.pstu.ru

Идентификация объектов с внутренними перекрестными связями

Рассмотренные выше методы идентификации относятся к случаям, когда подстройка коэффициентов осуществляется по одному из выходов либо для ряда не влияющих друг на друга каналов. При математическом описании металлургических объектов часто встречаются случаи, когда выход для одного канала является входом для другого и наоборот (рис. 5.4).

Число таких подсистем может быть и более двух.

Наиболее фундаментальным решением задач такого рода является вскрытие физических механизмов и аналитическое описание этих взаимосвязей. Однако чаще всего имеет место ситуация, когда на основе теоретических представлений ставятся определенные гипотезы о структуре взаимосвязей, а количественные значения параметров оцениваются экспериментально-статистическими методами.

x1

x2

xk

Рис. 5.4. Схема объекта с внутренними связями

Объекты с внутренними перекрестными связями могут описываться с помощью системы структурных уравнений. Для h-зависи-

92

elib.pstu.ru

мых и k-независимых переменных система представляется в следующем виде:

yh =βh1 y1 +L+βhn−1 yn−1 +L+ γh1x1 +L+ γhk xk + εh .

Коэффициенты регрессии такой модели называются «структурными коэффициентами», число которых равно h(n–1+k).

В этом случае сталкиваются с проблемой неполной идентификации, когда некоторые из уравнений системы (5.1) оказываются структурно неразличимыми или могут быть получены как линейные функции от других, т.е. в результате число уравнений оказывается меньше числа оцениваемых параметров.

Разработано несколько методов оценивания структурных коэффициентов, простейшим из которых является косвенный метод наименьших квадратов, или метод приведенной формы. Он заключается в следующем. Система (5.1) может быть записана для переменных y1, …, yh как система линейных функций только независимых переменных x1, …, xk,

y1 = δ11x1 +L+ δ1k xk + η1,

Ошибки ηi являются линейной функцией ошибок εi, а коэффициенты δij и ошибки ηi являются функциями (в общем нелинейными) коэффициентов βij и γij. Эта система называется приведенной, или сокращенной формой. Регрессии y1, …, yh на все x1, …, xk могут быть получены путем оценок коэффициентов приведенной формы dij методом наименьших квадратов.

Рассмотрим реализацию метода на примере объекта с двумя входами и выходами.

93

elib.pstu.ru

Образуем в соответствии с (5.2) систему уравнений приведенной формы, и методом наименьших квадратов найдем оценки коэффициентов:

Теперь необходимо определить оценки коэффициентов исходных структурных уравнений через коэффициенты приведенных форм, число которых на два меньше. Следовательно, необходимо ввести два ограничения на параметры структурных уравнений. Допустим, что из-за отсутствия влияния переменной x2 на y1 и x1 на y2 коэффициенты γ12 и γ21 могут быть приняты равными нулю. Образуем теперь линейную комбинацию из уравнений приведенной формы (5.4).

Сравнивая уравнения (5.3) и (5.5), получим, что по структуре они идентичны, и, следовательно, коэффициенты при соответствующих переменных могут быть приравнены. Учитывая ограничения, получим

Аналогичным образом можно получить оценки структурных коэффициентов для второго уравнения системы (5.3), образовав линейную комбинацию из уравнений (5.4). В результате получим:

λ2 = − d21 ,

d11

94

elib.pstu.ru

Таким образом, модель объекта, представленного системой уравнений (5.3), имеет следующий вид:

y1 = b12 y2 + c11x1, y2 = b21 y1 + c22 x2 ,

где

b12 = d12 , d22

b21 = d21 , d11

c11 = d11 − d12d21 , d22

c22 = d22 − d12d21 . d11

Так практически реализуется косвенный метод наименьших квадратов. Оценки, полученные обычным методом наименьших квадратов, значительно отличаются от действительных. Рассмотренный метод достаточно прост, однако требует содержательного анализа при введении ограничений.

95

elib.pstu.ru

Тема 6 ОПТИМИЗАЦИЯ

Задача оптимизации заключается в определении наилучших (в некотором смысле) условий, значений. Подобного рода проблемы возникают:

•при управлении различными технологическими процессами, где необходимо достижение максимальной производительности при наилучшем качестве и минимальных затратах;

•при проектировании различных инженерных устройств, приборов, где требуется подобрать комбинацию параметров, соответствующую наивысшим эксплуатационным характеристикам проектируемого аппарата;

•при определении регрессионной модели МНК или при численном построении плана эксперимента, оптимального в соответствии с выбранными критериями.

Оптимизация – это выбор наилучшего решения из нескольких возможных вариантов. Эти варианты называются альтернативами. Признаки и предпочтения, по которым следует провести сравнительную оценку альтернатив и выбрать среди них наилучшую с точки зрения поставленной задачи оптимизации, называются кри-

терий оптимальности.

Для того чтобы использовать результаты и вычислительные процедуры теории оптимизации на практике, необходимо прежде всего сформулировать рассматриваемую задачу на математическом языке, т.е. построить математическую модель объекта оптимизации.

В большинстве реальных ситуаций дать исчерпывающее математическое представление оптимизируемой системы с учетом всех взаимосвязей ее частей, взаимодействий с внешним миром, всех целей ее функционирования бывает затруднительно или невозможно. Поэтому при построении математической модели необходимо, как правило, выделять и учитывать в дальнейшем только наиболее важные, существенные стороны исследуемого объекта с тем, чтобы

96

elib.pstu.ru

было возможным его математическое описание, а также последующее решение поставленной математической задачи. При этом неучтенные в математической модели факторы не должны существенно влиять на окончательный результат оптимизации.

На начальном этапе необходимо определить границы объекта оптимизации, так как невозможно учесть и описать все стороны большинства реальных систем. Выделив главные переменные, параметры и ограничения, следует приближенно представить систему как некоторую изолированную часть реального мира и упростить ее внутреннюю структуру.

Может оказаться, что первоначальные границы объекта оптимизации выбраны неудачно. Это становится ясным при дальнейшем анализе системы и ее математической модели, при интерпретации результатов поиска оптимального решения, сопоставлении их с практикой и т.д.

Затем необходимо выбрать управляемые переменные, т.е. следует провести различие между теми величинами, значения которых можно варьировать и выбирать с целью достижения наилучшего результата (управляемыми переменными), и величинами, которые фиксированы или определяются внешними факторами. Определение тех значений управляемых переменных, которым соответствует наилучшая (оптимальная) ситуация, и представляет собой задачу оптимизации. Величины, изменяемые при оптимизации, входящие в математическую модель объекта оптимизации, называются пара-

метрами оптимизации.

Одни и те же величины в зависимости от выбранных границ оптимизируемой системы и уровня детализации ее описания могут оказаться либо управляемыми переменными, либо нет.

В реальных условиях на выбор значений управляемых переменных, как правило, наложены ограничения, связанные с ограниченностью имеющихся ресурсов, мощностей и других возможностей. При построении математической модели эти ограничения обычно записывают в виде равенств и неравенств или указывают множества, которым должны принадлежать значения управляемых

97

elib.pstu.ru

переменных. Ограничения – соотношения, устанавливающие пределы возможного изменения параметров оптимизации.

Функцию параметров оптимизации, выражающую количественно меру достижения цели оптимизации, принято называть целевой.

Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости. Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений. При трех проектных параметрах и более поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.

Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-гладкую функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения – да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией параметров оптимизации. В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой.

В качестве критерия оптимальности чаще всего бывает требование достижения наибольшего или наименьшего значения одной и

98

elib.pstu.ru

несколькими целевыми функциями. Следует отметить, что во многих случаях выбор критерия оптимизации не является очевидным и однозначным. Часто бывает трудно поставить в соответствие всей совокупности целей функционирования системы какой-либо один критерий.

Выход из этого положения определяется в каждом конкретном случае. Например, из многих критериев, характеризующих различные цели оптимизации, выбирают один, считая его основным, а остальные – второстепенным. Далее второстепенные критерии либо не учитываются, либо учитываются частично с помощью дополнительных ограничений на управляемые переменные. Эти ограничения обеспечивают изменение второстепенных критериев в заданных диапазонах приемлемых значений.

Другой путь состоит в формулировке комплексного критерия, т.е. целевой функции, включающей с разумно выбранными весовыми коэффициентами целевые функции, соответствующие различным целям.

Математическая модель, даже адекватная реальному объекту и достаточно полно отражающая его свойства, может оказаться бесполезной для практического использования, если отсутствует необходимая информация о величинах, параметрах, переменных, входящих в эту модель.

Таким образом, в процессе построения математической модели объекта оптимизации необходимо следить за тем, чтобы значения всех входящих в нее величин могли быть измерены. Возможно, что для определения некоторых из них потребуются самостоятельное исследование или сбор дополнительной информации.

При математической формулировке задачи оптимизации целевую функцию выбирают с таким знаком, чтобы решение задачи соответствовало поиску минимума этой функции, поэтому формулировка общей задачи оптимизации записывается как

f (x)→ min, x Ω,

где f (x) – целевая функция, ΩRn – множество возможных альтернатив, рассматриваемых при поиске решения задачи.

99

elib.pstu.ru

Любую точку x Ω называют допустимым решением задачи математического программирования, а само множество – допусти-

мым множеством. Точку x Ω, в которой целевая функция достигает своего наименьшего значения, называют оптимальным решением задачи.

При отсутствии ограничений, накладывающихся на переменные, оптимизацию называют безусловной. При наличии ограничений – условная оптимизация. Если допустимое множество должно удовлетворять некоторым ограничениям, то множество допустимых решений сужается.

Всю совокупность методов оптимизации можно разделить на два основных класса: теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы применяются в ситуациях, когда задача полностью определена с математической точки зрения и по своему характеру допускает применение одного из известных аналитических методов оптимизации (дифференциального или вариативного исчисления, линейного, целочисленного или динамического программирования и др.). Такие методы называют также аналитическими.

Экспериментальные методы используются в условиях, когда функция отклика y(x) неизвестна и имеется возможность измерить значения y при различных комбинациях величин факторов x1, x2, …, xk. Данные методы называются алгоритмическими и детерминированными.

Главное отличие экспериментальных задач от задач чисто вычислительного характера – это присутствие неконтролируемых факторов, т.е. наличие шума случайного характера.

Независимо от того, к какому классу относится задача оптимизации, поисковые методы подразделяются на одномерные и многомерные.

К одномерному поиску относятся метод последовательной дихотомии, метод поиска Фибоначчи, метод золотого сечения, метод перебора, метод деления пополам, метод хорд и пр.

100

elib.pstu.ru