Моделирование объектов и процессов в металлургии

дить к созданию компьютерной программы. В процессе разработки компьютерной программы исходная знаковая модель будет претерпевать некоторые изменения, так как должна ориентироваться на конкретную программную среду и инструментарий. При моделировании на компьютере необходимо иметь представление о классах программных средств, их назначении, инструментарии и технологических приёмах работы.

4.Проверка адекватности модели, то есть подтверждение её соответствия изучаемому объекту. Математическая модель считается адекватной, если сопоставление результатов моделирования с данными о поведении реального объекта показывает, что изучаемые характеристики воспроизводятся в модели с требуемой точностью.

Для проверки адекватности модели, как правило, проводят:

• серию пробных расчётов и качественный анализ поведения математической модели;

• анализ справедливости упрощающих допущений, принятых на этапе постановки задачи, путём сопоставления результатов расчёта с решением задачи в более строгой постановке;

• идентификацию параметров модели: определение значений настроечных коэффициентов путём сопоставления результатов расчёта с экспериментальными данными. Для эмпирических моделей на этом этапе используются методы регрессионного анализа, для теоретических – аппарат решения обратных задач.

Обязательность данного этапа является следствием приближенного характера моделирования, обусловленного схематизацией, огрублением процессов, протекающих в реальном объекте, а также возможностью принятия неточных или ошибочных решений при построении модели. В том случае, если модель оказывается неадекватной, следует повторить всю описанную процедуру, начиная с этапа постановки задачи.

5.После разработки математической модели производится её исследование путём проведения вычислительного эксперимента.

6.Анализ результатов моделирования. Конечная цель моде-

лирования – принять решение, которое должно быть выработано на

31

elib.pstu.ru

основе всестороннего анализа полученных результатов. Этот этап решающий – либо вы продолжаете исследование, либо заканчиваете. Возможно, вам известен ожидаемый результат, тогда необходимо сравнить полученный и ожидаемый результаты. В случае совпадения вы сможете принять решение. Полученные выводы часто способствуют проведению дополнительной серии экспериментов, а подчас и изменению модели. Основой для выработки решения служат результаты вычислительного и реального экспериментов. Если результаты не соответствуют целям поставленной задачи, значит, допущены ошибки на предыдущих этапах. Это может быть слишком упрощённое построение информационной модели, либо неудачный выбор метода или среды моделирования, либо нарушение технологических приёмов при построении модели. Если такие ошибки выявлены, то требуется корректировка модели, т.е. возврат к одному из предыдущих этапов. Процесс повторяется до тех пор, пока результаты эксперимента не будут отвечать целям моделирования. Главное, надо всегда помнить: выявленная ошибка – тоже результат.

7. Практическое использование модели. На этом этапе идет последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей модели, не соответствуют нашим знаниям о явлении. Таким образом, возникает необходимость построения новой, более совершенной математической модели.

32

elib.pstu.ru

Тема 3 ЭМПИРИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Под случайной величиной понимают величину, принимающую в результате испытания значение, которое принципиально нельзя предсказать исходя из условий опыта. Случайная величина обладает целым набором допустимых значений, но в результате каждого отдельного опыта принимает лишь какое-то одно из них. В отличие от неслучайных величин, изменяющих свое значение только при изменении условий опыта, случайная величина может принимать различные значения даже при неизменном комплексе основных факторов.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Возможные значения дискретных величин можно заранее перечислить. Значения непрерывной случайной величины не могут быть заранее перечислены, они заполняют собой некоторый интервал. Набор допустимых значений сам по себе слабо характеризует случайную величину. Чтобы ее полностью охарактеризовать, необходимо не только указать, какие значения она может принимать, но и как часто. Каждый результат измерения – случайная величина. Отклонение результата реального измерения от истинного значения величины называется ошибкой измерения («ошибка» в научном смысле означает неизбежную погрешность, которая сопутствует всем измерениям). Ни одну физическую величину (длину, время, температуру и т.д.) невозможно измерить с полной определенностью. Лучшее, на что можно рассчитывать, – это свести ошибки к возможному минимуму и надежно рассчитать их величины.

Различают ошибки измерений трех видов:

1. Грубые ошибки возникают вследствие нарушения основных условий измерения. Результат, содержащий грубую ошибку, резко отличается по величине от остальных измерений, на чем основаны некоторые критерии исключения грубых ошибок.

33

elib.pstu.ru

2.Систематические ошибки постоянны во всей серии измерений или изменяются по определенному закону. Выявление их требует специальных исследований, их всегда стремятся свести к минимуму, а при необходимости они обычно учитываются введением соответствующих поправок в результаты измерения.

3.Случайные ошибки – ошибки измерения, остающиеся после устранения всех выявленных грубых и систематических ошибок. Они вызываются большим количеством таких факторов, эффекты действия которых столь незначительны, что их нельзя выделить в отдельности (при данном уровне техники измерения). При этом распределение случайных ошибок обычно симметрично относительно нуля: ошибки, противоположные по знаку, но равные по абсолютной величине, встречаются довольно часто.

Корректный способ представления результатов любого измерения состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку измеряемой величины и интервал, в котором, как он уверен, она лежит.

Пусть дискретная физическая величина Х может принимать в результате опыта значения х1, х2, …, хn. Отношение числа опытов mi,

врезультате которых величина Х принимает значение хi, к общему числу проведенных опытов n называется частотой появления со-

бытия Х = хi. Частота (mi/n) является случайной величиной и меняется в зависимости от количества проведенных опытов. Однако при большом количестве опытов (в пределе n → ∞) она стабилизируется

около некоторого значения рi, называемого вероятностью события Х = хi (статистическое определение):

pi = P(X = xi ) ≈ (mi n ) .

Очевидно, что сумма вероятностей реализации всех возможных значений случайной величины равна единице:

n

∑pi =1 .

i=1

34

elib.pstu.ru

Дискретную случайную величину можно полностью задать вероятностным рядом, указав вероятность рi для каждого значения хi.

Законом распределения случайной величины называют любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Вероятностный ряд является одним из видов законов распределения случайной величины.

Распределение непрерывной случайной величины нельзя задать вероятностным рядом, поскольку число значений, которое она может принимать, так велико, что для большинства из них вероятность принять эти значения равна нулю. Поэтому для непрерывных физических величин изучается вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины попадет в некоторый интервал. Удобно пользоваться вероятностью события Х ≤ х, где х – произвольное действительное число. Эта вероятность

P(X ≤ x) = F(x)

является функцией от х и называется функцией распределения (пре-

дельной функцией распределения, функцией распределения генеральной совокупности) случайной величины. В виде функции распределения можно задать распределение как непрерывной, так и дискретной случайной величины.

Функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная функция.

Для непрерывной случайной величины наиболее часто используется производная функции распределения – плотность распреде-

ления случайной величины Х.

Вместо полного определения случайной величины в виде законов распределения вероятностей в прикладных задачах ее часто определяют при помощи числовых характеристик – чисел (вещественных), выражающих характерные особенности случайной величины, называемых моментами случайной величины.

Наиболее часто в приложениях математической статистики используют математическое ожидание (характеристику положения

35

elib.pstu.ru

значений случайной величины на числовой оси) и дисперсию (или среднее квадратичное отклонение), определяющую характер разброса значений случайной величины.

Математическое ожидание (генеральное среднее) случайной величины (начальный момент первого порядка) принято обозначать М [Х], mx или m. Оно определяется для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно как

n

m= M [X ]= ∑xi pi ,

i=1

+∞

mx = M [X ]= ∫ xf (x)dx .

−∞

Для случайных величин математическое ожидание является теоретической величиной, к которой приближается среднее значе-

ние x случайной величины Х при большом количестве испытаний. Свойства математического ожидания:

1. Если с – постоянное число (неслучайная величина), то

M [c]= c ,

M[cX ]= cM [X ].

2.Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин:

M[X1 + X 2 +L+ X n ]= M [X1 ]+ M [X 2 ]+L+ M [X n ].

3.Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

M [X1 X 2 L X n ]= M [X1 ] M [X 2 ] L M [X n ].

Случайные величины называются независимыми, если каждая из них имеет самостоятельное распределение, не зависящее от возможных значений других величин.

36

elib.pstu.ru

4. Если случайная величина Z является некоторой нелинейной функцией n независимых случайных величин

Z = f (X1 , X 2 ,L, X n ),

которая мало меняется в небольших интервалах изменения аргументов, то

M [Z ]= f (M [X1 ], M [X 2 ],L, M [X n ]).

Дисперсией (вторым центральным моментом) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.

D[X ]= M (X − mx )2 .

Для дискретной и непрерывной случайных величин дисперсия определяется следующим образом соответственно:

n

D[X ]= ∑(xi − mx )2 pi ,

i=1

+∞

D[X ]= ∫ (x − mx )2 f (x)dx .

−∞

Другие обозначения для дисперсии: Dx, σ2x , σ2(X).

Дисперсия играет важную роль при статистических расчетах и является мерой рассеяния значений х около их математического ожидания. Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратичным отклонением (стандартным отклонением, или стандартом):

σx = σ = D[X ] .

Свойства дисперсии:

1.Если с – постоянное число (неслучайная величина), то

σ2 (c) = c ,

37

elib.pstu.ru

σ2 (cX )= c2σ2 (X ).

2.Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания:

σ2 (X )= M X 2 −mx .

3.Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

σ2 (X1 + X 2 +L+ X n )= σ2 (X1 )+σ2 (X 2 )+L+σ2 (X n ).

Это выражение называют законом сложения дисперсий. Следует отметить, что закон сложения справедлив для дисперсий случайных величин (σ2), а не среднеквадратичных отклонений (σ).

4. Если случайная величина Z является нелинейной функцией n независимых случайных величин

Z = f (X1, X 2 , L, X n ),

которая мало меняется в небольших интервалах изменения аргументов, то ее дисперсия приближенно равна

Это выражение называют законом накопления ошибок, и он часто используется в теории ошибок для определения случайной ошибки функции по значениям случайных ошибок аргументов.

Генеральная совокупность, выборка. Регрессионный анализ. Метод наименьших квадратов

Явление статистической устойчивости результатов наблюдений имеет место лишь при большом (в пределе – бесконечно большом) числе измерений. В подавляющем же числе экспериментов исследователю приходится иметь дело лишь с ограниченным,

38

elib.pstu.ru

обычно небольшим, числом наблюдений. В силу закона случая ка- кие-то величины, определенные по малому числу наблюдений, в общем случае могут не совпадать с теми же величинами, вычисленными по большому числу наблюдений, выполненных в тех же условиях. Поэтому в математической статистике вводят понятие абстрактной генеральной совокупности и выборки. Под генеральной совокупностью понимают все допустимые значения случайной величины. Выборка представляет собой совокупность ограниченного числа значений, полученных в результате опытов. В соответствии с этим различают выборочные характеристики случайной величины, найденные по ограниченному числу наблюдений и зависящие от этого числа, и соответствующие им характеристики генеральной совокупности. При этом выборочные характеристики рассматриваются как оценки соответствующих характеристик генеральной совокупности.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она дает достаточное представление об особенностях генеральной совокупности. Однако из случайного характера выборок следует, что любое суждение о генеральной совокупности само случайно. Если о генеральной совокупности ничего не известно, единственной гарантией репрезентативности может служить случайный отбор. Предположим, что в результате эксперимента получена выборка из х1, х2, …, хn значений случайной величины Х. Обозначим через nx число выборочных значений, расположенных левее х – некоторой

значений Х, меньших х, и является функцией от х. Эта функция, получаемая по выборке, называется эмпирической, или выборочной функцией распределения (в отличие от распределения генеральной совокупности), и обозначается как

Fn (x)= nx n .

39

elib.pstu.ru

При обработке выборок обычно используют метод «сгруппированных данных»: выборка объема n преобразуется в статистический ряд. Весь диапазон значений случайной величины от хmin до xmax делится на k равных интервалов (j = 1, 2, …, k). Число интервалов можно выбирать произвольно или по эмпирическим формулам, например:

k=1+1,39ln n

сокруглением до ближайшего целого. Длина интервала равна

h = (xmax − xmin )k .

Число элементов выборки, попавших в j-интервал, обозначим через nj.

дания случайной величины в j-интервал. Все точки, попавшие в j-интервал, относят к его середине:

График, построенный по данным табл. 3.1, называется гистограммой эмпирического, или выборочного, распределения.

40

elib.pstu.ru