Функции комплексного переменного и операционное исчисление

ISBN 978-5-398-01661-1

© ПНИПУ, 2016

Комплексным

числом z называется выражение вида

z x iy , где x, y

– действительные числа, а i – мнимая еди-

z и обозначаются x Re z,

y Im z .

Комплексное

число z x iy называется

сопряженным

комплексному числу z x iy .

Два комплексных числа z1 x1 iy1

и z2 x2

iy2 равны то-

гда и только тогда, когда

y

x1 x2 ,

y1 y2 .

Геометрически ком-

плексное число z x iy

изображается на плоско-

M(x,y)

сти x0 y точкой M x, y

либо

радиус-вектором

r

этой точки (рис. 1.1).

OM

Ось Ох называется дейст-

0

x

вительной осью,

Оу –

Рис. 1.1

мнимой.

r и точки, изображающей ком-

Полярные координаты

r

x2 y2 ,

tg

y

, причем

x

y

если x 0,

arctg

,

x

y

, если x 0, y 0,

arctg

x

y

arg z

, если x

y 0,

arctg

0,

x

,

если

x 0, y 0,

2

,

если

x 0, y 0.

2

z1

z1 z2

x1 iy1 x2 iy2

x1 x2 y1 y2

i

x2 y1 x1 y2

.

z2

x2 iy2 x2 iy2

x22 y22

z2 z2

x22 y22

z1 z2

r1

r2

cos 1 2 isin 1

2 ,

z1

r1

cos 1 2 isin 1 2 ;

r

z

2

2

zn

rn cos n isin n , где n N ;

n

z

n

2k

isin

2k

r cos

n

n

,

z1 z2

z1

z2

,

аrg z1 z2 аrg z1 аrg z2 ;

z1

z1

, аrg

z1

аrg z аrg z

2

,

z2

z2

z2

1

аrg zn n аrg z,

zn

z

n ,

n N .

Замечание. Значениям

n

z отвечают точки на плоскости

x0 y , расположенные в вершинах правильного

n -угольника,

вписанного в окружность радиуса n r

с центром в начале коор-

динат.

Пример

1.1. Выполнить

действия:

а)

2 i 3 2i ;

б) 2 i 3 2i ; в)

3 i

; г) i23 ; д) 2 3i8 .

Решение.

2 3i

1 i7

а) 2 i 3 2i 2 3 i 1 2 1 i ;

б) 2 i 3 2i 6 3i 4i 2i2 6 i 2 8 i ;

в)

3 i

3 i 2 3i

6 2i 9i 3i2

6 11i 3

3

11

i 13 ;

2 3i

2 3i 2 3i

4 9i2

4 9

13

г) i23 i i22

i

i2

11 i

1

11 i ;

2 3i

8

2 3 i2 4

1

1 i

i

д) 1 i7

1 1 i

1

2

.

1 i i2 3

1 i

1 i 1 i

2

2

а) 1 i ; б)

3 i

; в) 1 i 3

; г) 2 ; д)

2 i ; е) i ; ж)

1 .

Решение.

3

2

а)

1 i

1 1

2, tg 1,

arg( 1 i) arctg1

3 ;

4

4

3 i

3 i)

1

б)

3

1 2,

arg(

arctg

6

;

3

в)

1 i

3

2,

arg( 1 i

3) arctg(

3)

2

;

3

3

г)

2

2,

arg( 2) ;

д)

2

i

2

,

2

;

3

3

arg

3

i

2

е)

i

1,

arg( i) ;

1

1

1

2

ж)

0 .

2

2

, arg

2

Пример 1.3. Выполнить действия в тригонометрической

форме:

3 i 7

1 i 4

1 i 3 3

.

Решение. Найдем модуль и аргумент каждого из чисел,

входящих в данные выражения:

1

3 i

2,

arg

3 i arctg

6

;

3

3

1 i

2,

arg 1 i arctg 1

;

4

4

1 i

3

2,

arg 1 i

3 arctg

3

2 .

z ,

3

3

Обозначим

искомое

число

тогда, используя

свойства

модулей и аргументов, находим:

z

27

2 4

2

6

64 ,

arg z 7

3

2

37

,

4

3

2

3

6

4

3

6

z 64

37

isin

37

64

isin

cos

6

6

cos

6

6

64

3

i 1

32

3 i .

2

2

2k

2

2

2k

4 16i 4 16

cos

i sin

, где k 0,1,2,3 .

4

4

Таким образом, для 4 16i

получаем четыре значения:

z0

2

cos

8

isin

8

,

z

2

cos

3 i sin

3 ,

1

8

8

y

7

7

z2

isin

,

2 cos

8

8

Z0

z

2

cos

11 isin 11 .

z2

3

8

8

2

0

x

Геометрически

точки

z0

расположены в вершинах

z3

квадрата, вписанного в ок-

ружность

радиусом

2

с

Рис. 1.2

центром в начале коорди-

нат (рис. 1.2).

е) a Re z b ; ж) a Im z b ; з)

z z0

R .

Решение.

а) z x iy,

z

x2 y2 ,

x2 y2 R2 .

Таким образом, равенство

z

R определяет множество

б)

z

R – множество точек, лежащих внутри круга радиу-

сом R с центром в начале координат;

в)

r

z

R – кольцо между концентрическими окружно-

стями радиусами r и R с центром в начале координат;

г)

arg z , – луч, выходящий из начала координат

под углом к оси 0x ;

д)

arg z ,

– множество точек, заключенных

между двумя лучами;

е)

a Re z b ,

Re z x,

a x b

– полоса между прямы-

ми x a и x b ;

ж)

a Im z b ,

Im z y,

a y b

– полоса между прямы-

ми y a и y b ;

з)

z z0

R – окружностьрадиусом R сцентром вточке z0 .

а)

z

1,

arg z

; б)

2

z 2 2i

3 ;

4

4

3

в)

z 4

z 4

5 ; г)

0 arg z 1 i

.

4

Решение.

Рис. 1.3

жена на рис. 1.4;

y

в) Равенство

z 4

z 4

5 означает, что сум-