Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции комплексного переменного и операционное исчисление

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

754.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

0	5	x
	5

Рис. 1.5

г) Величина arg (z 1 i) есть угол между осью 0x и лучом, выходящим из точки z0 1 i . Неравенства г) определяют область, заключенную между двумя лучами (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Пример 1.7. Определить вид кривой, заданной следующим

уравнением:
а) z 1 i 3t it2 ; б)	z 2cost 2isin t ; в) z 2ch t 3i sh t.

Решение.
а) Поскольку	z x iy , то	x iy	1	3t		t2	, откуда
					i 1

следует, что x 1 3t, y 1 t2 . Это параметрические уравнения кривой. Исключив параметр t : t 1 3 x , получим уравнение

параболы y 1	1 x 2	;
параболы y 1	9	;
	9
б) x iy 2cost 2isin t ,
x 2cost, y 2sin t		– параметрические уравнения окруж-
ности радиусом 2 с центром в начале координат;
в) x iy 2ch t 3ish t ,
x 2ch t, y 3sh t . Исключимпараметр t :							x	ch t,	y	sh t .
x 2ch t, y 3sh t . Исключимпараметр t :						2		ch t,	3	sh t .
						2			3
По формуле ch2t sh2t 1 имеем			x2		y2		1 – уравнение
По формуле ch2t sh2t 1 имеем							1 – уравнение
		4		9

гиперболы.

1.3. Основные элементарные функции комплексного переменного

Пусть даны две плоскости комплексных чисел			z x iy и
w u iv (рис. 1.7).
y	Z	y	W
z	D	w
	D	G
		G
0	x	0	x
		Рис. 1.7

Если каждому числу z D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число w G , то считают, что на множестве D задана однозначная функция комплексного переменного w f (z) , отображающая множество D в множество G .

Множество D называют областью определения функции

f (z) .

Функцию f (z)

можно представить в виде

f (z) u x, y

iv x, y ,

x, y D ,

где u x, y Re f (z) ,

v x, y Im f (z) –

действительные функции двух переменных x, y .

Если каждому

z D соответствует несколько разных зна-

чений w , то функция w f (z)

называется многозначной.

Показательная функция

ez ex cos y isin y .

Тригонометрические функции

sin z

eiz e iz

, cos z

eiz

e iz

, tg z

sin z

ctg z

cos z

sin z

3. Гиперболические функции

ez e z

ch z

ez e z

th z sh z ,

cth z

ch z

sh z

4. Связь между тригонометрическими и гиперболическими

функциями

sh iz i sin z,

ch iz cos z,

sin iz i sh z, cos iz ch z,

th iz i tg z, tg iz i th z,

cth iz i ctg z , ctg iz cth z.

5. Логарифмическая функция

Ln z ln z iArg z , где z 0

или Ln z ln z i (arg z 2k ) , k 0; 1; 2;...

Эта функция является многозначной; при k 0 получается главное значение логарифма:

ln z ln z i arg z.

Логарифмическая функция комплексного переменного обладает известными свойствами логарифма действительного переменного:

Ln z1 z2 Ln z1 Ln z2		z	Ln z1 Ln z2 ;
	; Ln	1
	; Ln
	z2
Ln zn n Ln z; Ln n z			1 Ln z.
			n
6. Общая степенная функция
za	eaLn z .

Функция многозначная, ее главное значение za ea ln z .

7. Обратныетригонометрические игиперболическиефункции

Arccos z iLn z								z2 1	;
Arcsin z iLn iz								1 z2	;
Arctg z	i		Ln 1			iz		(z i);
						iz
2				1
Arcctg z		i		Ln	z i			(z i);

2						z i
Arch z Ln z							z2 1 ;

Arsh z Ln z

z2 1 ;

Arth z 12 Ln 11 zz ;

Arcth z 12 Ln zz 11 .

Все эти функции являются многозначными. Если в формулах брать главное значение логарифма, то получим главные зна-

чения обратных функций: arccos z , arcsin z, arctg z, arcctg z, arch z, arsh z, arth z, arcth z.

Пример 1.8. Вычислить: а)

e (1 i) ,

б) ln ( 5) , в)

(1 i)i ,

г) sin (1 2i) , д)

arcsin i , е)

arth (1 i).

Решение.

а) e (1 i) e e i e (cos isin ) e 23,1407 ;

б) ln ( 5) ln

i arg( 5) ln 5 i 1,6094 3,1416i ;

2 i

i ln 2

в) (1 i)i ei ln(1 i)

i ln

e 4 cosln

2 isin ln

0,4559(0,9406 0,3396i) 0,4287 0,1548i;

г) sin (1 2i) sin1 cos 2i cos1 sin 2i sin1 ch2 i cos1 sh2

0,8415 3,7622 i 0,5403 3,6269 3,1669 1,9595 i

д) arcsin i i ln i2								1 i2	i ln 1		2
	i ln		1		2		i arg 1		2 ,	i ln		2 1 i 0 ,
	i ln		1		2		i arg 1		2 ,	i ln		2 1 i 0 ,


			1		2	i arg 1			2 ,			2 1 i ,

	i ln									i ln


	i ln	2		1 ,				0,8814i ,
								0,8814i ,
				2					0,8814i .
	i ln			2	1 ,			3,1416	0,8814i .

е) arth (1 i)					1 Ln 1 (1 i)	1 Ln 2 i		1 ln ( 1 2i)
					2 1 (1 i)	2	i	2
	1 ln	1 2i			i arg( 1 2i)	1 ln	5 i( arctg2)
	1 ln	1 2i			i arg( 1 2i)	1 ln	5 i( arctg2)
	2		i			2
	2					2
	1 ln 5			( arctg2) 0,4024 1,0172i .
	1 ln 5			( arctg2) 0,4024 1,0172i .
	4	2

1.4. Дифференцирование функции комплексного переменного

Производной от функции w f (z) в точке z называется предел

lim	w	lim	f (z z) f (z)	f (z) ,
	z		z
z 0		z 0

когда z любым образом стремится к нулю. Если функция f (z) имеет в точке z0 производную f (z0 ) , то говорят, что

функция f (z) дифференцируема в точке z0 .

Функцию, имеющую непрерывную производную в любой точке области D комплексной плоскости, называют аналитической в этой области.

Для того чтобы функция f (z) U (x, y) iV (x, y) была ана-

литической в области D, необходимо и достаточно существование в этой области непрерывных частных производных функций

U (x, y) и V (x, y) , удовлетворяющих условиям Коши–Римана:

U V ,x y

U V .y x

При выполнении условий Коши–Римана производная f (z) находится по формулам:

f (z)

V .

Пример 1.9. Проверить будет ли дифференцируемой функция f (z) cos z и найти производную, если она существует.

Решение.

cos z cos(x iy) cos x ch y isin x sh y,

т.е. U (x, y) cos x ch y, U (x, y) cos x ch y. Находим:

U	sin x ch y,	V	sin x ch y,
x		y
U	cos x sh y,	V	cos x sh y.
y		x

Таким образом, условия Коши–Римана выполняются. Поскольку частные производные от функций U и V непрерывны для любых точек (x,y), то функция cos z аналитична на всей комплексной плоскости. Ее производная определяется как

		U		V
cos z		x	i	x	sin x ch y i cos x sh y

(sin x cosiy cos x sin iy) sin(x iy) sin z .

	Пример 1.10. Дана действительная часть U (x, y) x3					3xy2
аналитической функции f (z) U iV . Найти функцию f(z).
	Решение. Имеем	U	3x2	3y2 .
	Решение. Имеем		3x2	3y2 .
		x
	Воспользуемся	первым		условием	Коши–Римана:
U	V 3x2 3y2 . Интегрированием находим:
x	y
	V (x, y) 3x2 3y2 dy 3x2 y y3 (x) , где (x)					– про-

извольная функция.

Применим второе условие Коши–Римана: U								V .
							y	x
Так как	V	6xy (x) , то		U	6xy (x).
Так как		6xy (x) , то			6xy (x).
	x			y
Но из условия задачи находим, что						U	6xy .
Но из условия задачи находим, что							6xy .
						y
Следовательно,
		6xy (x) 6xy ,
	(x) 0 , (x) C , V 3x2 y y3 C ,
и	f (z) x3 3xy2 i 3x2 y y3 C ,
т.е.	f (z) x iy 3 Ci		или f (z) z3 Ci .

1.5. Интегрирование функций комплексного переменного

Интеграл от функции комплексного переменного по кривой

Пусть на комплексной плоскости (z) задана кусочногладкая кривая L, на ней выбрано направление, и в каждой точке кривой определены значения функции f (z) U (x, y) iV (x, y) .

Если функция f (z) непрерывна на кривой L, то f (z)dz суще-

ствует и сводится к двум криволинейным интегралам от действительных функций по формуле

f (z)dz U (x, y)dx V (x, y)dy i V (x, y)dx U (x, y)dy.

L L L

Если функция f (z) аналитическая в односвязной области D, и L – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области D и соединяющая точки z1 и z2 , то имеет место формула:

z2 f (z)dz (z2 ) (z1 ) (формула Ньютона–Лейбница),

где (z) – первообразная функции f (z) .

При нахождения первообразной (z) по отношению к аналитической функции f (z) применяются те же формулы интег-

рирования, что и для функций действительного переменного.

Интегральная теорема Коши

Если функция f (z) аналитична в односвязной области D,

то интеграл по любому замкнутому контуру L, целиком лежащему в области D, равен нулю:

f (z)dz 0 .

Интегральная формула Коши.

Пусть функция f (z) аналитична в односвязной области D. Тогда для любой точки z0 D и для любого замкнутого контура L, целиком лежащего в области D и содержащего точку z0 внутри себя, справедливо равенство

f (z0 ) 1 f (z)dz (интегральная формула Коши). 2 i L z z0

Высшие производные аналитической функции

Аналитическая в окрестности D точки z0 функция f (z)

имеет в этой точке производную любого порядка, которую вычисляют по формуле

f (n) (z0 )	n!	f (z)dz	,
f (n) (z0 )	2 i L (z z0 )n 1		,
	2 i L (z z0 )n 1

где L – замкнутый контур, охватывающий точку z0 и целиком лежащий в области D.

	Пример 1.11. Вычислить							zdz ,
							A	AB	B
	AB :	z			Im z 0,	z	A	1, z	B
где				1,						1 .
где				1,						1 .
	Решение. Уравнение кривой АВ имеет вид:
	z(t) cost i sin t , 0 t . Отсюда dz ( sin t i cost)dt ,
					zdz (x iy)(dx idy)
					AB	AB

				(cost isin t)( sin t i cost)dt i dt .
			0							0

Пример 1.12. Вычислить

z iz2

где АВ – отрезок

dz ,

прямой, соединяющей точки zA 1 ,

zB i .

Решение. Подынтегральная функция является аналитиче-

ской. Применяем формулу Ньютона–Лейбница:

z iz2

z iz

iz3 i

Пример 1.13. Вычислить

dz ,

где L – окружность:

z 2i

а)

1, б)

3 .

Решение: а) Точка

z0 2i

лежит вне L, подынтегральная

функция аналитична внутри области, ограниченной контуром L,

z2 1

и по теореме Коши интеграл равен нулю, т.е.

dz 0;

z 2i

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022643.13 Кб2Формы и инструкции для подачи диссертации в ProQuest Dissertations and Theses..pdf
#
15.11.20225.22 Mб40Формы существования углерода. Их получение и применение.pdf
#
15.11.20222.99 Mб32Фундаменты основных зданий и сооружений атомных и тепловых электрост..pdf
#
15.11.20228.78 Mб9Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1..pdf
#
15.11.20224.96 Mб3Функции комплексного переменного и их приложения Часть 2..pdf
#
15.11.2022754.37 Кб9Функции комплексного переменного и операционное исчисление..pdf
#
15.11.202212.71 Mб15Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория ус.pdf
#
15.11.2022658.11 Кб20Химическая технология неорганических веществ метод. указания к выпо.pdf
#
15.11.20224.75 Mб133Химическая технология неорганических веществ..pdf
#
15.11.202215.72 Mб10Химическая технология топлива и углеродных материалов. Cборник задач.pdf
#
15.11.2022232.22 Кб14Химические свойства элементов VIIА группы и их соединений учебно-метод..pdf