Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции комплексного переменного и операционное исчисление

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

754.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

б) Точка z0

2i лежит внутри области, ограниченной кри-

вой L. Функция

f (z) z2 1

аналитическая внутри круга

3 .

Из интегральной формулы Коши имеем:

f (z)dz

2 if (z ) ,

z2 1

dz 2 i(z

z 2i

10 i .

z z

z ez

Пример 1.14. Вычислить

dz.

(z i)3

Решение.

Функция

f (z) z ez

–

круга

2 , точка

z i

лежит внутри

мулу для производной:

f (z)

2 i

( i) ie

2! f

(z i)3

аналитическая внутри круга. Применим фор-

z i ie i (2 i)

(cos1 i sin1)(1 2i) (cos1 2sin1) i(2cos1 sin1)

6,9847 0,7512i .

1.6. Ряды Тейлора и Лорана

Если функция f (z) аналитична в некоторой точке z0 , то в окрестностиэтой точкиона может бытьразложена в рядТейлора:

f (z) f (z0 ) f (z0 )(z z0 )

f (z

)

(z z0 )2

f (n) (z

)

(z z0 )n

Область сходимости ряда Тейлора есть круг

z z0

R , ра-

диус которого равен расстоянию от точки z0

до ближайшей

особой точки функции f (z) (точки, в которой нарушается аналитичность функции f (z) ).

Если функция f (z) аналитична в кольце r z z0 R , то она в этом кольце разлагается в ряд Лорана:

где


		f (z) Cn (z z0 )n ,
			n
Cn	1		f (z)dz			, n 0, 1,	2, ,
Cn	2 i		(z z	0	)n 1	, n 0, 1,	2, ,
				0

– окружность z z0 , r R . Ряд Лорана состоит из двух рядов:

					C n
Cn (z z0 )	n	Cn (z z0 )	n		C n		.
Cn (z z0 )		Cn (z z0 )			(z z0 )	n	.
n		n 0		n 1	(z z0 )

Ряд, состоящий из неотрицательных степеней ряда Лорана,

называется правильной частью ряда Лорана. Ряд, содержащий отрицательные степени ряда Лорана, называется главной ча-

стью ряда Лорана.

Ряд Лорана функции, аналитической в кольце r z z0 R ,

сходитсяабсолютновэтом кольце.

Замечание. На практике при разложении функции в ряд Лорана используют известные разложения основных элементарных функций.

Пример 1.15. Найти все различные разложения по степеням z функции

f (z)

z2 3z 2

Решение. Функция

f (z)

аналитична

z2 3z 2

(z 1)(z 2)

z 2

на плоскости z, за исключением точек z 1 и z 2 . Она аналитична в областях:

а)		z		1 ; б) 1							z			2 ; в)							z	3 .
а)		z		1 ; б) 1							z			2 ; в)							z	3 .
а)	В круге								z	1					(рис.					1.8)						y
а)	В круге								z	1					(рис.					1.8)						y
имеем:		1					1
		1					1			1 z
		z 1				1	z			1 z
		z 1				1	z											1 ,										1	x
z2 zn ,																z
z2 zn ,																z
	2									1
			z		2							z
			z		2			1				z													Рис. 1.8
								1				2


													z				z		2				zn			z
													z				z		2				zn			z
									1																,		1
									1										2					n	,		1
												2					2		2				2	n		2

(Обе дроби можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии).

Находим сумму полученных рядов. После проведенных преобразований получаем следующий ряд Тейлора:

			z		n	n
f (z)				2			1 zn ,
	z	2	3z 2		2
				n 1

б) В кольце 1 z 2 (рис. 1.9). Разложим функцию в ряд Лорана:

			1								1z

		z 1						1 1z
1						1			1
			1
	z		1			z				z	2
	z					z				z
		1		1					1			,
		1		z2					z3			,
		z		z2					z3
					z		1 ,
					z		1 ,

z 1 .

1 2 x

Рис. 1.9

2								1											z					z2												z		2 .
															1											,
	z 2										z				1				2					2	2	,
	z 2					1					z								2					2
						1				2
Следовательно,
																					n
f (z)								z												z								1			,		1				z			2 .
								z												z								1
					2															n								n
				z		3z 2											n 0		2						n 1		z
в) В области						z	2 (рис. 1.10) имеем:
в) В области						z	2 (рис. 1.10) имеем:
		y																													1										1z
																															1										1z

																														z		1						1 1z
																												1						1				1
																															1
																												z			1			z					z		2
											2				x													z						z					z
											2				x														1				1					1
																																	1					1				,
																																						z3				,
																														z			z2					z3
	Рис. 1.10											2																						z		1 ,
																																		z		1 ,
																											22
			2										z					2						2			22
													z						1											2
			z			2			1				2					z	1					z			z			2
			z			2			1				2	z				z						z			z
														z
					2			22					23		,							z	2 .
					2			22					23		,							z	2 .
					z			z2					z3							z											2n			1									2 .
					z			z2					z3

Следовательно,									f (z)																									n		,						z
Следовательно,									f (z)							z	2	3z 2															z	n		,						z
																z		3z 2										n 1					z
Пример 1.16. Функцию																		f (z) cos												z 1					разложить в ряд
Пример 1.16. Функцию																		f (z) cos												z 1					разложить в ряд
																														z 1
Лорана в окрестности точки z0 1.
Решение. Точка											z 1					является единственной особой точ-
кой функции.

В области

z 1

0 разложим функцию в ряд. Преобразуем

функцию

z 1

cos

cos 1

cos1

cos

sin1

sin

z 1

и воспользуемся разложениемфункцийcosz и sinz врядТейлора:

cos

;

2!(z 1)2

4!(z 1)4

sin

z 1

3!(z 1)3

5!(z 1)5

Следовательно,

cos

z 1

cos1

2sin1

22 cos1

23 sin1

24 cos1

z 1

2!(z 1)2

3!(z 1)3

4!(z 1)4

1.7. Классификация особых точек

Особой точкой функции f (z) называется точка, в которой нарушается аналитичность функции.

Особая точка z z0 называется изолированной, если в некоторойееокрестностифункция f (z) неимеетдругихособыхточек.

Изолированная особая точка z z0 тогда и только тогда является:

а) устранимой, если lim f (z) существует и конечен;

z z0

б) полюсом, если lim f (z) бесконечен;
z z0
в) существенно особой точкой, если	lim f (z)	не суще-
	z z0
ствует.
Точка z0 называется полюсом порядка m функции f (z) ,
если существует конечный отличный	от нуля	предел

lim f (z) z z0 m A	A 0, m N ; при	m 1 полюс называ-
z z0

ется простым.

В окрестности изолированной особой точки функцию f (z) можно разложить в ряд Лорана. При этом изолированная особая точка z z0 тогда и только тогда является:

а) устранимой, еслирядЛорана несодержит главнойчасти; б) полюсом, если главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов; m – порядок полюса, когда (– m ) есть

низшая отрицательная степень разности z z0 ;

в) существенно особой, если главная часть ряда Лорана

содержит бесконечное число членов.

Пример 1.17.

Определить характер

особой точки z 0

в функции:

f (z) sin z ,

2) f (z) cos z , 3)

f (z) ez .

Решение. Разложим каждую функцию в ряд Лорана.

sin z

... 1

...

Точка

z 0

–

устранимая особая точка, так как главная

часть ряда отсутствует.

cos z

...

Точка z 0 – полюс второго порядка, так как главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов и (–2) есть низшая отрицательная степень z .

	1		1	1
3)	ez	1			...
			z	2!z2

Точка z 0 – существенно особая точка, т.к. главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов.

Пример 1.18. Найти изолированные особые точки функции

иопределитьиххарактер: 1)

f (z)

cos z

, 2) f (z)

2z2

1 cos z

cos z

Решение. 1) Функция

имеет две особые точки:

z2 (z 2)

z0 0

и z1 2 .

Точка

z 0

–

полюс

второго

порядка:

lim z2

cos z

lim cos z

1 .

z2 (z 2)

z 0

z 2

Точка

z 2

–

полюс

первого

порядка:

lim(z

cos z

1 cos 2

z2 (z

z 2

2) Точка z0

0 – устранимая особая точка функции:

lim

2 .

z 0 1 cos z

z 0

2sin

z 0

1.8. Вычеты.

Вычисление интегралов с помощью вычетов

Вычисление вычетов. Вычетом функции						f (z)	в изолиро-
ванной особой точке z z0 называется число,						определяемое ра-
венством
	Res f (z0 )		1		f (z)dz .
	Res f (z0 )				f (z)dz .
			2 i L
Если	z z0 – полюс или существенно особая точка, то вы-
чет равен	коэффициенту при первой отрицательной степени
в разложении функции		f (z) в ряд Лорана: Res				f (z0 ) C 1 .
Если z z0 – устранимая особая точка, то Res f (z0 ) 0 .
Если	z z0 –	простой		полюс функции			f (z) , то
Res f (z0 ) lim(z z0 ) f (z) .
	z z0

Если	f (z)	(z)	, где	(z0 ) 0 и	z z0 – простой нуль
		g(z)

функции

Если

	(z		)	(z	0	)
g(z) , то Res		0					.
				g (z0 )
	g(z0 )

z z0 – полюс k -го порядка функции f (z) , то

Res f (z0 )	1	lim	d k 1	z z0 k f (z) .
			dzk 1
	(k 1)! z z0

Пример 1.19. Найти вычеты функции	f (z)	z 4
		z2 4	z 1	2

вееособыхточках.

Решение. Функция имеет два простых полюса z 2i и полюс второго порядка z 1. Находим:

Res f (2i) lim(z

2i)

z 4

z 2i

lim

z 4

z 2i z

1 2

4i 2i 1 2

z 2i

2 i

(2 i)(4 3i)

5 10i 0,1 0,2i ;

2(4 3i)

2(4 3i)(4 3i)

Res f ( 2i) lim (z 2i)

z 4

lim

z 4

z2 4

z 2i

4 2i

0,1 0,2i ;

4i 2i 1 2

z 4

z 4 '

Res f (1) lim

z 1

lim

4)(z

z 1

z 1 z

lim

z2 4 2z(z 4)

0,2 .

z2 4 2

z 1

Пример 1.20. Найти вычет функции

f (z) 1 cos z

в осо-

бой точке z 0 .

Решение. Найдем разложение функции в ряд Лорана:

f (z)

cos z)

1 1

Из полученного ряда находим C

1 , т.е. Res f (0) 1 .

Теорема Коши о вычетах. Если функция

f (z)

является ана-

литической в замкнутой области D, ограниченной контуром L,

заисключением конечного числа особых точек

zk (k 1,2, , n) ,

лежащихвнутриобластиD, то

f (z)dz 2 i Res f (zk ) .

k 1

Пример 1.21. Вычислить

cos zdz

Решение. Внутри области,

ограниченной

окружностью

1, лежит особая точка

z 0

– полюс второго порядка, осо-

бая точка z 2

лежит вне области. Следовательно,

cos zdz

cos z

2 iRes

2 i lim

z 0

1 z

(z 2)

z 0

cos z

sin z(z 2) cos z

2 i lim

2 i

(z 2)

z 0

z 2

z 0

Пример 1.22. Вычислить

e2 z

dz.

Решение. Особая точка

z 0

лежит внутри области, огра-

ниченной

окружностью

2 .

Разложим

подынтегральную

функцию в ряд Лорана в окрестности точки z 0 :

f (z)

e2 z

z e2 z

z 1 2z

...

z 2z

...

z ...;

Res f 0 C 1 1;

Следовательно,

e2 z z

dz 2 i.

Пример 1.23. Вычислить

dz .

1 z

Решение.

Внутри

области,

ограниченной

окружностью

z 3 , лежат полюсы -i, i, 2. Находим вычеты подынтегральной

функции в этих точках:

Res f i

lim z i

;

z 2

2 i

z i

Res f i

lim z i

;

1 z 2

2i 2 i

z i

Res f 2

lim z

4 .

1 z

z 2

Применив теорему Коши о вычетах, получаем:

dz = 2

2 i.

1 z 2

2i 2 i

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022643.13 Кб2Формы и инструкции для подачи диссертации в ProQuest Dissertations and Theses..pdf
#
15.11.20225.22 Mб40Формы существования углерода. Их получение и применение.pdf
#
15.11.20222.99 Mб32Фундаменты основных зданий и сооружений атомных и тепловых электрост..pdf
#
15.11.20228.78 Mб9Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1..pdf
#
15.11.20224.96 Mб3Функции комплексного переменного и их приложения Часть 2..pdf
#
15.11.2022754.37 Кб9Функции комплексного переменного и операционное исчисление..pdf
#
15.11.202212.71 Mб15Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория ус.pdf
#
15.11.2022658.11 Кб20Химическая технология неорганических веществ метод. указания к выпо.pdf
#
15.11.20224.75 Mб133Химическая технология неорганических веществ..pdf
#
15.11.202215.72 Mб10Химическая технология топлива и углеродных материалов. Cборник задач.pdf
#
15.11.2022232.22 Кб14Химические свойства элементов VIIА группы и их соединений учебно-метод..pdf