Функции комплексного переменного и операционное исчисление

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Если f (t) F( p) и

f (t T ) f (t) , то

T e pt f (t)dt .

T e pt f (t)dt .

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

754.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Глава 2 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

2.1. Оригинал и изображение

Оригиналом называется комплексная функция f (t) действи-

тельногопеременногоt, удовлетворяющая следующимусловиям: 1) при t 0 функция f (t) на любом конечном интервале или

непрерывна, или имеетконечноечисло точекразрыва I рода;

2)f (t) 0 при t 0 ;

3)при t функция f (t) имеет ограниченную степень

роста, т.е. существуют такие числа M 0 и S0 0 , при которых для всех t выполняется неравенство

	f (t)	MeS0t .

Число S0 называется показателем роста функции f (t) .
Изображением функции		f (t)	по Лапласу называется
функцией комплексного переменного			p s iw , определяемой
соотношением

F( p) e pt f (t)dt .

Несобственный интеграл называется интегралом Лапласа. Операция перехода от оригинала к изображению называется преобразованием Лапласа и обозначается:

	L[ f (t)] F( p) ,
или	F( p)	f (t) ,

или

F( p) f (t) .

Единичная функция Хевисайда

Простейшей функцией-оригиналом является ступенчатая функция

1	при	t 0,
1(t)	при	t 0,
0	при	t 0,

называемая единичной функцией Хевисайда. Функцию-оригинал f (t) можно представить в виде

f (t) при	t 0,
f (t) 1(t)	0.
0 при t	0.

В дальнейшем будем предполагать, что второе условие существования оригинала выполнено, и при записи оригинала будем опускать множитель 1(t) .

Пример 2.1. Найти изображение единичной функции Хевисайда.

Имеем

		e pt			1
		e pt			1
L[1(t)] 1(t)e pt dt e pt dt		p				.
L[1(t)] 1(t)e pt dt e pt dt					p	.
0	0		0		p
0	0		0
Пример 2.2. Найти изображение функции			f (t) et					1(t) .
Имеем:
		e ( p 1)t				1
		e ( p 1)t				1
L[et 1(t)] et e pt dt e ( p 1)t dt									.
L[et 1(t)] et e pt dt e ( p 1)t dt		p 1					p 1		.
0	0	p 1		0			p 1
0	0			0

2.2.Свойства преобразования Лапласа

1.Линейность.

Если f1 (t) F1 ( p) , f2 (t)	F2 ( p) и c1 , c2 – постоянные чис-
ла, то L(c1 f1 (t) c2 f2 (t)) c1F1	( p) c2 F2 ( p) .

2. Подобие.

Если f (t) F( p)

и число a 0 , то

f (at)

Пример 2.3.

Пусть et

, тогда eat

p 1

p a

3. Запаздывание оригинала.

Если f (t) F( p)

и 0 , то f (t ) e p F( p) .

Пример2.4.

НайтиизображениефункцииХевисайда(рис. 2.1)

1(t

при

t 2,

при

t 2.

f(t)

Рис. 2.1

Решение.

Так как 1(t)

, то 1(t 2)

e 2 p

Пример 2.5. Найти изображение ступенчатой функции, изображенной на рис. 2.2.

f(t)

				3	4	t
0 1		2

Рис. 2.2

Аналитическое выражение функции имеет вид

f (t) 21(t 1) 21(t 2) 31(t 3) 31(t 4) .

Применяя свойства линейности и запаздывания оригинала, находим

F( p) 2e p 1p 2e 2 p 1p 3e 3 p 1p 3e 4 p 1p

e p (2 2e p 3e 2 p 3e 3 p ) . p

Пример 2.6. Найти изображение бесконечной ступенчатой функции, изображенной на рис. 2.3.

f(t)

4а

3а

2а

0			2τ 3τ 4τ	t
	τ

Рис. 2.3

Запишем аналитическое выражение функции: f (t) a 1(t) a 1(t ) a 1(t 2 ) .

Находим изображение:

F( p) a 1p a e p 1p a e 2 p 1p

a	(1 e p e 2 p )	a	1	.
p		p	1 e p

, найдем

4. Смещение изображения.

Если f (t) F( p)

и α – любое число, то e t f (t) F( p ) .

Пример 2.7.

Найти

изображение

функции

t3 e t ,

если

L[t3 ]

По свойству смещения находим L[e t t3 ]

( p

1)4

5. Дифференцирование оригинала (изображение произ-

водной).

Если f (t) F( p)

и функции

(n)

(t)

явля-

(t) ,

(t) , …,

ются оригиналами, то

pF( p) f (0) ,

f (t)

F( p) pf (0) f

f (t) p

(0) ,

F( p) p

f (0) pf

f (t)

(0) f (0) ,

………………………………………..

f (n) (t) p(n) F( p) pn 1

f (0) f (n 1) (0).

Пример 2.8. Найдем изображение функции cos t:

sin 0

L[cost] L[(sin t) ] p

p2 1

6. Дифференцирование изображения.

Если f (t)

tn f (t) ( 1)n F

F( p) , то	F (n) ( p) ( 1)n tn f (t) или

(n) ( p) .

Пример 2.9. Найти изображение оригинала t sint.

Решение. Учитывая, что sin t 21 p 1

			1							2 p
t sin t			1							2 p						,

			2												2
		p		1				p	2
		p		1					2		1
											1

			2 p					2( p					2	1) .
t2 sin t			2 p					2( p
t2 sin t
		p	2		2					p		2					3
		p		1						p					1

7. Интегрирование оригинала
Если f (t) F( p) , то	t	f (t)dt				F( p)					.
Если f (t) F( p) , то	t	f (t)dt									.
	0						p

Пример 2.10. Найти оригинал f(t) по данному изображению

F(p) =

p( p2 1)

Решение.

sin tdt cost

Так как

sin t , то

cost 1 .

Итак, f(t) 1 – cos t.

8. Интегрирование изображения

f (t)

Если

f (t) F( p) и

– оригинал, то

6 F( p)dp.

Пример 2.11. Найти изображение оригинала

f t

sin t

Решение.

sin t

dp arctg p

p arctg p arcctg p.

9. Свертка функций. Умножение изображений

Сверткой		функций	f (t) и g(t) называется функция
(t) t	f ( )g(t )d .		Обозначается как (t) f (t) g(t) .
0
Свертка коммутативна, т.е. f (t) g(t) g(t) f (t).
Теорема свертки (умножения).
Если f (t)		F( p) и g(t) G( p) , то

		f (t)	g(t) F( p) G( p)
или
или
		F( p) G( p) t		f ( )g(t )d .
			0

Пример 2.12. Найти оригинал по данному изображению

( p) 2 12 . p ( p 1)

Решение. Запишем данное изображение в виде произведения двух изображений

и применим теорему свертки, получим:
( p)	1		1	t sin t t			sin(t )d
( p)	2	p	2	t sin t t			sin(t )d
	p	p	1		0
cos(t ) sin(t )						t	t sin t ,
cos(t ) sin(t )						t	t sin t ,
						0
						0
		т.е. (t) t sin t .
10. Формула Дюамеля
Если f (t) F( p)		и g(t) G( p) , то

pF( p)G( p) f (0)g(t)								g(t)
pF( p)G( p) f (0)g(t)							f (t)	g(t)

или

	t
pF( p)G( p) f (0)g(t) f
pF( p)G( p) f (0)g(t) f		( )g(t )d .
	0
	0

Пример 2.13. Найти оригинал по данному изображению:

( p)

( p 1)( p 2)

Решение. Применим формулу Дюамеля.

( p) p

e0 e2t

(e ) e2(t ) d e2t t

e2t 3 d

p 1

p 2

e2t

1 e2t 3

t e2t

1 e t e2t

1 2e2t e t ,

т.е. (t) 13 2e2t e t .

Формула Дюамеля имеет важные приложения при расчете переходных процессов в электрических цепях.

11. Изображение периодических функций

Пример 2.14. Найти изображение периодической функции f (t) с периодом Т = 2, заданной на интервале периода следую-

щим образом:

0	при	0 t 1,
f (t)	при	1 t 2.
3	при	1 t 2.

Решение. Учитывая, что на интервале от 0 до 1 функция равна нулю, получим:

			1				2		3					e pt		2
																2

F( p)						e pt 3dt

		1	e	2 p					1 e	2 p				p
		1	e				1		1 e					p		1
			3				1	e 2 p e p					3			1
			3										3		.
					2 p						p	e	p		.
	p 1 e										p	e		1

12. Отыскание оригинала по изображению

Для нахождения оригинала f (t) по известному изображению F( p) применяются следующие приемы:

1) Если F( p) A( p) есть правильная рациональная дробь,

B( p)

то ее нужно разложить на сумму простейших дробей и найти оригиналы, используя свойства преобразования Лапласа и таблицу оригиналов и изображений.

Пример2.15. Найтиоригинал f (t) поданномуизображению


					F( p)								1					.
					F( p)						p( p 1)( p2					4)		.
Решение. Разложим									F( p) на сумму простейших дробей:
1			A				B			Cp D .
p( p 1)( p2	4)					p 1				Cp D .
p( p 1)( p2	4)		p			p 1						p2 4
По методу неопределенных коэффициентов находим:
		A		1	,	B					1 , C				1		, D		1	,
		A		4	,	B					1 , C						, D		5	,
				4							5		20						5
т.е.	F( p)			1		1	1					1		1			p		1		1	.
т.е.	F( p)			4			1					p 1					p 2 4		5		p2 4	.
				4		p		5				p 1	20				p 2 4		5		p2 4

Используя таблицу оригиналов и изображений и свойство

линейности, находим оригинал:

f (t) 1

1 e t

cos 2t

sin 2t .

2) Использование второй теоремы разложения.

Если

F( p)

– правильная дробь и

– полюсы функции

F( p) кратности nk , то

nk 1

(t)

lim

F( p) ( p pk )nk

ept .

k 1

(n 1)! p pk

dp k

Если

F( p)

A( p)

и все полюсы

p1 , p2 , , pn

простые, то

B( p)

A( p )

p t

f (t)

B ( p

)

k 1

Пример 2.16. Найти оригинал по данному изображению:

а) F( p)

p2 2

, б) F( p)

2 p 3

p( p 1)( p 2)

p3 ( p 1)

Решение.

а) Здесь A( p) p2

2 , B( p) p( p 1)( p 2) p3 3 p2 2 p ,

B ( p) 3 p2 6 p 2 ;

0 ,

p 1,

2 – простые корни зна-

менателя. Поформуледляпростыхполюсовимеем:

f (t)

p2 2

e0 t

3 p3 6 p 2

p 0

p2 2

e1 t

p2 2

e2 t

1 3et 3e2t .

3 p3 6 p 2

p 1

p 2

б) Здесь

A( p) 2 p

3 ,

B( p) p3 ( p 1) ;

p 1 – простой

корень знаменателя, p2 0 – корень кратности 3. Имеем:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022643.13 Кб2Формы и инструкции для подачи диссертации в ProQuest Dissertations and Theses..pdf
#
15.11.20225.22 Mб40Формы существования углерода. Их получение и применение.pdf
#
15.11.20222.99 Mб32Фундаменты основных зданий и сооружений атомных и тепловых электрост..pdf
#
15.11.20228.78 Mб9Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1..pdf
#
15.11.20224.96 Mб3Функции комплексного переменного и их приложения Часть 2..pdf
#
15.11.2022754.37 Кб9Функции комплексного переменного и операционное исчисление..pdf
#
15.11.202212.71 Mб15Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория ус.pdf
#
15.11.2022658.11 Кб20Химическая технология неорганических веществ метод. указания к выпо.pdf
#
15.11.20224.75 Mб133Химическая технология неорганических веществ..pdf
#
15.11.202215.72 Mб10Химическая технология топлива и углеродных материалов. Cборник задач.pdf
#
15.11.2022232.22 Кб14Химические свойства элементов VIIА группы и их соединений учебно-метод..pdf