§2.3. Прямая на плоскости.

2.3.1. Общее уравнение прямой.

2.3.1.1. Определение. Ненулевой вектор называетсянормальным вектором прямой, если он перпендикулярен всякому вектору, лежащему на прямой.

2.3.1.2. Теорема. (Общее уравнение прямой)

Всякая прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат задается уравнением первой степени.

Доказательство:

Пусть на плоскости задана точка и ненулевой вектор. В аналитической геометриипрямая задается как геометрическое место точек таких, что вектор ортогонален вектору . Таким образом, в векторном виде уравнение прямой записывается так:

.

(скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю).

Запишем последнее равенство в координатной форме: , , следовательно,А(х–х₀) +В(у–у₀) = 0. Преобразуем это уравнение:

Ах+Ву+ (–Ах₀ –Ву₀) = 0. Обозначим С = –Ах₀ –Ву₀, тогда , это уравнение называется общим уравнением прямой.

.

2.1.3.3. Определение. Уравнение вида

(2.1)

называется общим уравнением прямой.

2.1.3.4. Определение. Уравнение вида

(2.2)

называется уравнением прямой, проходящей через точку с нормальным вектором .

2.1.3.5. Определение. Линии, которые в декартовой прямоугольной системе координат задаются уравнениями первой степени, называются линиями первого порядка.

2.3.1.6. Теорема. (О линиях первого порядка на плоскости)

Линиями первого порядка на плоскости являются прямые, и только они.

Доказательство:

То, что прямая на плоскости задается уравнением вида , то есть уравнением первой степени, доказано в теореме 2.1.3.2. Осталось доказать, что всякое уравнение видапри условии задает прямую на плоскости.

Пусть - некоторое решение уравнения (2.1). Тогда при подстановке его в уравнение мы получим тождество:

.

Вычтем полученное равенство из уравнения (2.1), получим

то есть уравнение прямой, проходящей через точку с нормальным вектором.

Таким образом, доказано, что всякое уравнение вида (2.1) при условии задает прямую и что всякая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида (2.1).

2.3.1.7. Теорема. (О перпендикулярности прямой и вектора на плоскости)

Для того, чтобы прямая, заданная общим уравнением, была перпендикулярна вектору на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы координаты вектора были пропорциональны коэффициентам при переменных общего уравнения прямой, т.е.

Доказательство:

Очевидно, перпендикулярность прямой и вектора эквивалентно коллинеарности вектора и нормального вектора прямой, следовательно, по критерию коллинеарности (Следствие из теоремы 1.5.6) получаем требуемое.

2.3.1.8. Частные случаи общего уравнения прямой на плоскости.

1.  прямая, параллельная оси абсцисс;

2.  прямая, параллельная оси ординат;

3.  прямая, проходящая через начало координат;

4.  ось абсцисс;

5.  ось ординат.

2.3.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2.3.2.1. Определение. Углом наклона прямой называется любой направленный угол, на который надо повернуть ось Ох, чтобы получить одно из направлений прямой.

Замечание.

Очевидно, все углы наклона прямой отличаются друг от друга на величину , поэтому их тангенсы равны.

2.3.2.2. Вывод уравнения прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим точку принадлежащую прямой и произвольную точку . Очевидно, что если точка лежит на прямой, то (Рис. 2.5).

Обозначим .

Полагая , перепишем уравнение в виде

(2.3)

Геометрический смысл коэффициента состоит в том, чтоявляется ординатой точки пересечения прямой с осьюОу. Параметр k, который называют угловым коэффициентом прямой, равен тангенсу угла наклона прямой: .

Уравнение вида (2.3) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Замечание.

Так как , уравнение с угловым коэффициентом невозможно записать для прямых с, т.е. для прямых, параллельных осиОу. Такие прямые имеют уравнение , где– абсцисса точки пересечения прямой с осьюОх.

2.3.3. Связь между общим уравнением прямой и уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом . Обозначая, получим общее уравнение прямой.

Обратный переход: если в уравнении положить, то прямая не имеет углового коэффициента; если же, то. Обозначая, получим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2.3.4. Уравнение прямой в отрезках.

Рассмотрим прямую, не проходящую через начало координат и заданную своим общим уравнением . Представим данное уравнение в виде

.

Обозначая , получим уравнение

, (2.4)

которое называется уравнением прямой в отрезках.

Положив в этом уравнении х= 0, получим y=b; положив у= 0, получаем х=а. Таким образом, параметры а и b равны, соответственно, абсциссе и ординате концов отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Отметим, что в отрезках может быть записана любая прямая, не проходящая через начало координат.

2.3.5. Угол между прямыми.

Пусть прямая l₁ задана уравнением у=k₁х+b₁,

прямая l₂ задана уравнением у=k₂х+b₂; тогда . Обозначим угол между этими прямыми (Рис. 2.7).

Так как , то

.

Таким образом, .

Если прямые заданы своими общими уравнениями

l₁ : A₁x + B₁y + C₁ = 0, l₂ : A₂x + B₂y + C₂ = 0,

то

,

и

.

2.3.5.1. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

Из выражений для тангенса угла между прямыми следуют условия параллельности и перпендикулярности прямых:

В случае параллельности прямыхl₁|| l₂ тангенс угла между ними

,

следовательно, k₁=k₂, или А₁В₂=А₂В₁, или .

В случае параллельности прямых , илиА₁А₂+В₁В₂= 0.

2.3.6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Пусть прямаяl задана общим уравнением , – произвольная точка плоскости. Очевидно, для любой точкиМ₁(x₁,y₁), лежащей на прямой, расстояние d от точки M₀ до прямой l равно абсолютной величине проекции вектора на нормальный вектор. Пусть точкаМ₁ имеет координаты , тогда ,

и

Из принадлежности точки М₁ прямой lследует, что , т.е..

Следовательно,

. (2.5)

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, достаточно подставить координаты точки в общее уравнение прямой и полученное число разделить на длину нормального вектора.

Лекция 5.