Глава_3_Ангем

Лекция 9.

Глава 3. Линейные пространства

В этой главе мы приведем краткие сведения о линейных пространствах, которые затем будут использованы в главе 5 при исследовании систем линейных алгебраических уравнений.

§3.1. Понятие линейного пространства.

3.1.1. Определение. Множество L, содержащее элементы произвольной при­роды ,…, называется линейным пространством, а его элементы – век­торами линейного пространства, если

1. задана операция сложения элементов L, т.е. каждой паре элементов множества L можно поставить в соответствие элемент , называемый сум­мой элементов: ;

2. задана операция умножения элементов L на действительные числа, т.е. каж­дому элементу множества L и числу можно поставить в соответ­ствие элемент , называемый произведением элемента на число : ;

3. для указанных операций справедливы свойства, называемые также аксио­мами линейного пространства:

1. (коммутативность операции сложения)

2. (ассоциативность операции сложения)

3. (существование нулевого вектора)

4. (существование противоположного вектора)

5. (унитарность)

6. (ассоциативность операции умножения на число)

7. (дистрибутивность по числам);

8. (дистрибутивность по векторам).

Замечание. Из указанных аксиом вытекают следующие дополнительные свойства векторов линейного пространства:

а) единственность нулевого вектора;

b) единственность противоположного элемента;

c) свойства нулевого элемента:

• ;

• ;

d) определение операции разности векторов линейного пространства:

.

Приведем некоторые примеры линейных пространств:

1. множества коллинеарных, компланарных и всех свободных геометрических векторов − , и , соответственно;

2. множество многочленов степени не выше − ;

3. множество функций, непрерывных на заданном отрезке − .

§3.2. Линейная зависимость и линейная независимость

векторов линейного пространства

3.2.1. Определение. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор . Здесь − заданные числа.

Замечание. Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю , то она называется тривиальной. Если же среди коэффициентов линейной комбинации найдется хотя бы один отличный от нуля, то она называется нетривиальной.

3.2.2. Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, т.е.

3.2.3. Определение. Система векторов называется линейно независимой, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору, т.е.

3.2.4. Теорема. (Критерий линейной зависимости системы векторов линейного пространства)

Для того, чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов являлся линейной комбинацией остальных векторов системы.

Доказательство: полностью аналогично доказательству соответствующей теоремы для свободных геометрических векторов 1.4.5.

3.2.5. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов линейного пространства.

1. Всякая система векторов линейного пространства, включающая нулевой вектор, является линейно зависимой.

2. Система векторов линейного пространства, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

3. Всякая подсистема линейно независимой системы векторов линейного пространства является линейной независимой.

Доказательство приведенных свойств полностью аналогично доказательствам соответствующих теорем 1.4.6.1-1.4.6.3 для свободных геометрических векторов.

3.2.6. Определение. Базисом линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов, таких, что всякий вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации этой совокупности векторов.

3.2.7. Определение. Представление вектора в виде линейной комбинации векторов базиса называется его разложением по данному базису.

3.2.8. Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если число векторов в его произвольном базисе равно n. При этом число n называется размерностью линейного пространства.

Примеры:

3.2.9. Теорема. (О разложении вектора линейного пространства по базису)

Всякий вектор конечномерного линейного пространства может быть разложен по его произвольному базису, притом единственным образом.

Доказательство полностью опирается на приведенное определение 3.2.6 и доказательство аналогичной теоремы 1.5.5 для геометрических векторов.

3.2.10. Определение. Коэффициенты разложения вектора конечномерного линейного пространства по некоторому базису называются координатами вектора в этом базисе.

3.2.11. Теорема. (Операции с векторами линейного пространства в координатной форме)

При сложении двух векторов линейного пространства их координаты в произвольном базисе складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число.

Доказательство полностью аналогично приведенному в теореме 1.5.6 для геометрических векторов.

§3.3. Подпространство линейного пространства

3.3.1. Определение. Подмножество M линейного пространства L называется подпространством исходного линейного пространства L, если оно является замкнутым относительно введенных операций сложения векторов и умножения их на число, т.е.

• ;

• 

Примеры:

является подпространством ; является подпространством .

Замечание. Можно показать, что всякое подпространство линейного пространства в свою очередь является линейным пространством относительно введенных операций сложения векторов и их умножения на число.

3.3.2. Определение. Линейной оболочкой векторов линейного пространства называется совокупность всевозможных линейных комбинаций этих векторов:

.

Замечание. Легко проверить, что линейная оболочка векторов является подпространством линейного пространства. С другой стороны ясно, что всякое подпространство, содержащее элементы вида , должно содержать и векторы . Таким образом, можно сделать вывод о том, что линейная оболочка векторов является наименьшим подпространством исходного линейного пространства, содержащим векторы .