Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 1. Надежность

для оценки надежности деталей и узлов автомобилей, подъемнотранспортных машин, атакже других изделий различногоназначения.

Распределение вероятностей

P(t)= ae−c1tα +(1−a)e−c2tβ , (0 < а < 1, с1 > 0, с2 > 0, 0 < α < 1, β> 1)

объединяет в себе оба вида распределения Вейбулла для параметра α > 1 и α < 1. Можно убедиться, что функция интенсивности отказов λ(t) для этого распределения сначала убывает, затем, достигнув минимума, неограниченно возрастает. Это распределение учитывает возможность наличия как изделий со скрытыми дефектами, так и изделий, теряющих свою безотказность в процессе работы.

7.2.3. Оценка времени безотказной работы на основе нормального распределения

Нормальное распределение вероятностей является предельным для многих других законов распределения. Распределение всегда является нормальным, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие, примерно равнозначные, факторы или в том случае, когда число таких факторов велико и среди них нет превалирующих. Нормальному закону распределения подчиняется время безотказной работы, а также наработка до отказа как восстанавливаемых, так и невосстанавливаемых объектов.

(Интегральная) функция распределения нормально распределенного времени безотказной работы имеет следующий вид:

где a – это математическое ожидание, a = MX; σ – это среднеквадратичное отклонение времени безотказной работы.

Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц стандартного нормального распределения с a = 0 и σ = 1 или таблиц значений функции Лапласа Φ(t), а именно – вероятность P(t) безот-

61

казной работы и вероятность Q(t) отказа объекта на промежутке времени [0, t] вычисляют соответственно по следующим формулам:

Вероятность P(t1 < t < t2) безотказной работы объекта на промежутке времени (t1, t2) вычисляют через функцию Лапласа по формуле:

В теории надежности нормальный закон распределения используют для моделирования постепенных отказов в тех случаях, когда распределение времени безотказной работы в начале эксплуатации объекта имеет низкую плотность, затем плотность распределения достигает максимума, а в конце срока эксплуатации снижается. Поэтому нормальным распределением описывают наработки на отказотдельных элементовисистемвследствие ихизносаистарения.

7.3. Модели надежности на основе физики отказов

Длительно эксплуатируемые объекты, как правило, подвержены не внезапным, а постепенным отказам, связанным с процессами повреждений из-за накопления результатов внешних и внутренних воздействий. Параметры объекта меняются незаметным образом, но когда они достигают своих максимально допустимых уровней, контролируемые характеристики работоспособности объекта начинают указывать на то, что их значения отклонились от первоначальных. Это означает, что в любой момент объект может стать неработоспособным, т.е. может наступить его отказ. Отказ может быть как внезапным, так и постепенным.

62

Примерами моделей на основе физики отказов служат модели типа «параметр – поле допуска» или модели типа «нагрузка – несущая способность».

7.3.1. Модель типа «параметр – поле допуска»

Контролируемую характеристику работоспособности объекта обозначим через K. Предположим, что значения этой характеристики с течением времени t меняются, а отказ объекта наступает, когда значение этой характеристики достигает своего максимально допустимого значения Kmax, т.е. отказ наступает при выполнении условия:

Характеристика Tн является случайной величиной и зависит от времени t. Ее математическое ожидание MK – это проектное начальное значение этой характеристики. На практике фактическое начальное значение Kо отличается от его заданного (проектного) значения MK ввиду возможных отклонений еще в процессе построения (конструирования, возведения) объекта из-за колебаний напряжений, возможных тепловых и механических деформаций и других причин, но в начальный момент сразу после сдачи объекта в эксплуатацию условие (7.9) обычно выполнено: Kо ≤ Kmax. Далее наступает период эксплуатации объекта, в течение которого на объект действуют процессы старения, износа и коррозии, а также другие медленно протекающие процессы, в результате которых под действием внешних и внутренних причин постепенно копятся повреждения. Однако в общем случае процесс изменения контролируемой характеристики K наступает не сразу, а через некоторый промежуток времени Tн, начиная с которого накопившиеся повреждения начинают оказывать явное влияние на величину K. Скорость

v = K′ٰ(t) = dKdt

63

этого изменения также является величиной случайной и зависит от скоростей развития и накопления повреждений. Вероятность Q(t) = 1 −P(t) отказа объекта – это вероятность наступления неравенства (7.9). Она определит (интегральную) функцию F(K, t) ≡ Q(t) распределения случайной величины K и соответствующую ей дифференциальнуюфункциюf(K, t), т.е. плотностьраспределения вероятностей.

При этом если в формировании отказа основную роль играет момент Tн начала интенсивного процесса повреждений и с этого момента процесс возрастания величины K развивается стремительно: K→∞, то плотность распределения f в основном зависит от Tн. В этом случае можно считать, что плотность распределения f(K, t) зависит только от времени: f(K, t) ≡f(Tн), т.е. такая функция распределения представляет модель внезапного отказа.

Если же процесс изменения характеристики (параметра) K начинается практически сразу после сдачи объекта в эксплуатацию, т.е. если Tн = 0, то имеет место типичный случай постепенного параметрического отказа, который будет представлять плотность распределения вероятностей f(K, 0) = f(K).

Иногда процесс формирования отказа объекта зависит в основном от скорости v = K′(t) изменения параметра K, и при этом можно считать, что это изменение происходит по линейному закону с постоянной скоростью v, т.е. если K = vt. Как правило, в этом случае оказывается, что скорость v, как величина случайная, зависит от большого числа независимых случайных факторов и, следовательно, подчиняется нормальному закону распределения, т.е. плотность f(v) распределения вероятностей имеет следующий вид:

менения контролируемого параметра K и среднеквадратичного отклонения σ (среднего разброса наблюдаемых значений скорости) можно выполнить с помощью опытных данных.

64

Время P(t) безотказной работы объекта в этом случае можно оценить с помощью функции Лапласа Ф (см. подразд. 7.2.3) следующим образом:

Таким образом, формулы (7.10) и (7.11) на основании модели «параметр – поле допуска» дают возможность оценить ожидаемое значение времени безотказной работы объекта в случае его постепенного отказа при постоянной скорости накопления повреждений.

7.3.2. Модель надежности типа «нагрузка – несущая способность»

Надежность некоторых технических объектов в процессе их эксплуатации зависит не только от случайных изменений параметров этих систем, но от соотношения двух случайных процессов: процесса изменения несущей способности объекта, с одной стороны, и процесса его нагрузки со стороны внешних воздействий – с другой.

Под нагрузками можно понимать достаточно разнообразные внешние воздействия на объект. Например, нагрузки на грунт и на такие элементы строительных конструкций, как сваи, выражаются в форме напряжений, вызываемых действием давления. Стальные конструкции зданий и сооружений испытывают нагрузки под действием не только сил сжатия, но и сил растяжения. Ванты (в том числе канаты и тросы), являясь несущими элементами висячих строительных конструкций, испытывают в основном растягивающие нагрузки. Нагрузки на силовые элементы авиационнокосмических конструкций вызываются действием ударных сил, силы тяжести, вибрации и температуры. Под нагрузкой на автоматизированную систему управления предприятием можно понимать действующий план выпуска продукции.

65

Под несущей способностью в общем случае понимается способность объекта противостоять внешним нагрузкам. Несущая способность стальных конструкций определяется прочностными характеристиками их элементов, способностью противостоять деформациям. В пневматических строительных конструкциях (в мягких замкнутых герметичных оболочках из тканевых материалов или пленок) несущая способность обеспечивается внутренним давлением закачанного в них атмосферного воздуха. Несущая способность экономического объекта – его возможность выполнять заданные функции.

Модель «нагрузка – несущая способность» – это модель надежности, в которой условие работоспособности системы записывается в следующем виде:

что означает: объект работоспособен, пока действующая на него нагрузка S(t) не превышает его несущей способности R(t).

Под действием нагрузки S(t) несущая способность R(t) объекта уменьшается. Несущая способность в процессе эксплуатации объекта иногда меняется скачком, а иногда – медленно и постепенно. При этом сам факт отказа объекта может проявляться поразному. Например, повреждение (пробой) стенки сосуда под давлением мгновенно приводит к тому, что его прочность падает до нуля и происходит взрыв, а, например, кровля здания после действия ударной нагрузки может обрушиться не сразу.

Если объект достаточно простой, то, как обычно, вероятность P(t) его безотказной работы в течение времени t (см. подразд. 4.1.1) определяет функцию распределения F(t):

Здесь T – это момент наступления отказа.

Функция Q(t), т.е. вероятность отказа объекта в течение времени t, зависит от случайных значений несущей способности R(t) и нагрузки S(t), а также от их взаимосвязи.

66

Приведем одну из простейших и популярных моделей, используемых для расчета несущей способности.

Предположим, что несущую способность R(t) объекта удается представить в виде произведения случайной величины Rо на неслучайную монотонно убывающую функцию φ(t):

Здесь Rо – это начальное значение несущей способности, как правило, отличающееся от проектного в силу причин, которые обсуждались выше (см. подразд. 7.3.1). Если при этом дополнительно выполнены два условия:

то функцию φ(t) естественно называть функцией усталости, так как с течением времени многие усталостные процессы, описывающие поведение несущей способности эксплуатируемых объектов, имеют монотонно убывающий характер.

Часто в качестве функции усталости выбирают показательную функцию:

которая удовлетворяет указанным выше условиям. Случайную величину Rо, входящую в формулу (7.14), также можно задать с помощью закона распределения. Подходящий для этого закон распределения можно подобрать на основании опытных начальных значений несущей способности.

Показательными функциями различного вида описываются многие процессы, протекающие в материалах объектов при их износе, старении, коррозии, диффузии и т.п. Например, зависимость скорости химических реакций от температуры описывается показательным законом Аррениуса, скорость процесса диффузии изменяется подобным же образом.

Но на практике чаще всего достаточно сложно подобрать конкретный вид функции усталости ввиду нелинейности и взаимо-

67

связи протекающих в материалах физико-химических процессов. При этом следует отметить, что функция усталости современных пластических материалов, сложных сплавов и композиционных материалов не всегда ведет себя монотонно в начале периода эксплуатации. Особенно сложен процесс описания несущей способности в том случае, когда несущая способность меняется в зависимости от нагрузки, а сама нагрузка меняется нестационарным образом.

Подробнее изучить вопросы моделирования надежности технических объектов можно с помощью учебной и научной литературы, в том числе той, которая указана в конце настоящего учебного пособия.

Контрольные вопросы

1.Опишите биномиальную модель расчета числа отказов.

2.Опишите модель Хинчина потока отказов и восстановлений, использующую распределение Пуассона.

3.Напишите формулу Пуассона для оценки числа отказов в потоке. При каких условиях можно использовать эту формулу?

4.Напишите модель показательного (экспоненциального) распределения времени безотказной работы.

5.Что такое интенсивность отказов и как ее вычислить для показательного распределения?

6.Выпишите формулы для вычисления вероятность безотказной работы для случая распределения Вейбулла – Гнеденко.

7.Выпишите формулы для вычисления интенсивности отказов для случая распределения Вейбулла – Гнеденко.

8.Приведите пример использования распределения Вейбулла – Гнеденко в теории надежности.

9.Укажите формулу для оценки вероятности безотказной работы объекта в случае нормального распределения.

10.Приведите пример использования нормального распределения в теории надежности.

68

11.Опишите модель типа «параметр – поле допуска». Какие процессы теории надежности описывает эта модель?

12.Опишите модель надежности «нагрузка – несущая способность». Какие процессы теории описывает эта модель?

13.Приведите примеры использования модели «нагрузка – несущая способность» в технике, в экономике, в системах автома-

тизированного управления.

14. Как в этих примерах интерпретируются нагрузка и несущая способность каждого из объектов, приведенных вами в качестве примера?

69

8. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

Введено понятие структурной схемы системы. Рассмотрены два типа систем – восстанавливаемые и невосстанавливаемые системы. Рассмотрены показатели ремонтопригодности и другие показатели надежности восстанавливаемых систем, включая коэффициент готовности. Приведены примеры расчета числовых показателей надежности на основе структурных схем, включая нерезервированные системы и простейшие случаи систем с постоянно включенными резервными элементами.

8.1. Понятие структурной схемы системы

Существует несколько способов описания технических систем с точки зрения надежности их функционирования. Взаимосвязь и взаимовлияние отдельных элементов системы на ее функции можно описать, например:

–помощью логических операций и алгебры логики;

–с помощью графов;

–на основе уравнений и их систем.

Способ описания диктуется практическими возможностями и целями исследования, выбор зависит и от сложности описываемой системы и ее динамики, в том числе от скорости изменения характеристик системы во времени. Один из наиболее простых и наглядных способов описания стационарных систем – графическое представление системы в виде структурной схемы. Структурная схема должна однозначно отображать условия работоспособности системы. Такой способ наиболее часто используется в электротехнике при описании различных способов соединения элементов электрических сетей. При этом отдельные элементы в структурной схеме изображают кружками или прямоугольниками, а соединяющие элементы провода (связи) – в виде ломаных и отрезков прямых.

70