Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 1. Надежность

не наступает (с вероятностью q =1 – p). Тогда число появлений события A в этой серии испытаний есть случайная величина X, возможные значения которойсоставляют (дискретное) множество {1, 2, …, n}.

Распределение случайной величины X – числа появлений события A в серии независимых испытаний – называется биномиальным. Появления и непоявления события A могут сочетаться в различных соединениях друг с другом.

Вероятность P(X = k) того, что в этой серии событие A наступит ровно k раз (1 ≤ k ≤ n), вычисляется по формуле Бернулли:

где Cnk – число сочетаний k наступлений (и следовательно, (n – k) не-

наступлений) события A в серии из n испытаний. Математическое ожидание MX = np, дисперсия DX = npq.

Распределение величины X называется биномиальным, так как вероятности в законе ее распределения выражаются через коэффи-

циенты Cnk разложения бинома Ньютона (a + b)n, вычисляемые по формуле:

Биномиальное распределение и формулу Бернулли можно использовать для вероятностной оценки числа отказов в системах, состоящих из небольшого числа элементов (обычно не более четырех). В более сложных случаях можно использовать агрегирование элементоввподсистемы, т.е. вструктурной схеме сложнойсистемы выделить подсистемы, состоящие из небольшого числа элементов, и сначала рассчитать вероятности отказов в этих небольших подсистемах. После этого, считая каждую из подсистем за отдельный элемент, можно оценитьвероятностичислаотказоввисходнойсистеме.

Пример. Полную группу соединений из наступлений A и не-

наступлений A события в четырех испытаниях можно представить в одной из двух эквивалентных форм:

41

Биномиальное распределение числа наступлений события A в четырех независимых испытаниях

Здесь p = p (A)– вероятность наступления события A в одном испытании; X – число наступлений события A в четырех независимых

5.1.3. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона – это предельный случай биномиального распределения, если число испытаний n в схеме Бернулли велико (n→∞), вероятность p мала (p→0), и при этом np = λ = const.

Тогда предельная вероятность

представляет распределение Пуассона случайной величины X – числа появлений события A с параметром λ= np.

Математическое ожидание MX = λ, дисперсия DX = λ. Пример. Распределение Пуассона – приемлемая модель для

описания случайного числа отказов и восстановлений независимых элементов на фиксированном промежутке времени [0, t], если число n элементов велико, а вероятность p отказа элемента – мала.

5.2. Законы распределения непрерывных случайных величин

Непрерывные случайные величины часто удобно представлять плотностью распределения вероятностей.

43

5.2.1. Равномерное распределение

Плотность f(x) равномерного распределения случайной величины на промежутке [a, b] имеет следующий вид:

= (b −a)2 . 12

Пример 1. Ошибка измерений при достаточно широких предположениях относительно инструмента измерения – равномерно распределенная на промежутке измерения случайная величина.

Пример 2. Ошибка округления результата вычислений – равномерно распределенная случайная величина.

5.2.2. Нормальное (гауссово) распределение

Плотность распределения нормальной (гауссовой) случайной величины задается следующей формулой:

Математическое ожидание MX = a, дисперсия DX = σ2. Пример 1. Результат измерения в отсутствие систематических

ошибок достаточно точно моделируется нормально распределенной случайной величиной, математическое ожидание которой – точное значение измеряемой величины.

Пример 2. Сумма достаточно большого числа независимых случайных величин с приемлемой точностью описывается нормальным распределением, поэтому нормальное распределение наиболее часто используетсянапрактикепо сравнению сдругимираспределениями.

44

5.2.3. Экспоненциальное (показательное) распределение

Экспоненциальное (показательное) распределение случайной величины задается плотностью распределения вероятностей вида

Число λ > 0 называется параметром экспоненциального распределения.

Математическое ожидание MX = 1λ, дисперсия DX = λ12 .

оценку значения параметра λ на основании опытных данных с помощью средних значений случайной величины X.

Пример. Показательное распределение используется для моделирования процессов, обладающих отсутствием памяти (последействия), в том числе стационарных марковских процессов.

5.2.4. Распределение Вейбулла – Гнеденко

Распределение Вейбулла – Гнеденко с параметрами α и λ – это распределение случайной величины с плотностью вероятности, определяемой формулой:

где α – параметр формы кривой распределения, α > 0; λ – параметр масштаба, λ > 0.

∞

Пусть Г(t) ≡ ∫ xt −1 exp(−x) dx – гамма-функция. Тогда матема-

0

тическое ожидание MX и дисперсия DX равны соответственно:

45

Для вычисления значений гамма-функции можно пользоваться таблицами специальных функций, а также следующими соотношениями:

Г(n + 1) = n! ≡ n (n – 1)·… 2·1;

Г(n + α) = (n – 1 + α)· (n – 2 + α)·… (1 + α)·Г(1 + α),

справедливыми для целых значений параметра n и дробных значений α.

Распределение Вейбулла – Гнеденко широко применяется в теории надежности для описания времени безотказной работы объектов. Оно содержит два параметра λ и α. При α = 1 распределение Вейбулла – Гнеденко превращается в показательное. При α < 1 плотность распределения и интенсивность отказов являются убывающими функциями, а при α > 1 интенсивность отказов – возрастающая функция.

Комбинируя значения двух параметров λ и α, можно более точно подобрать вероятностную модель по опытным данным, чем при использовании показательного распределения, в котором можно варьировать лишь один параметр – λ.

5.2.5. Распределение Эрланга

Рассмотрим сумму n случайных величин, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром λ = const. Эта сумма подчиняется распределению Эрланга с параметрами n и λ. Вероятность Pn(t) безотказной работы на промежутке времени длительностьюt для элемента, имеющего распределениеЭрланга:

Pn(t) = n∑−1 (λt)k e−λt .

k =1 k!

Распределение Эрланга с параметрами n и λ хорошо описывает наработку до n-го отказа.

46

Контрольные вопросы

1.Что такое распределение Бернулли и как его использовать в теории надежности?

2.Приведите пример использования схемы Бернулли для оценки числа отказов в системе из трех независимых элементов.

3.Чем отличаются биномиальное распределение и распределение Пуассона?

4.Какую роль играет распределение Пуассона в теории надежности?

5.Что такоепоказательное (экспоненциальное) распределение?

6.Запишите формулу для вычисления плотности экспоненциального распределения вероятностей.

7.Опишите роль экспоненциального распределения в теории надежности.

8.Что такое распределение Вейбулла – Гнеденко и для чего оно используется в теории надежности?

9.Для чего в теории надежности можно использовать распределение Эрланга?

47

6.ПОТОКИ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЙ

Вэтой главе приведены основные понятия потока отказов и восстановлений. В качестве важнейших рассмотрены две модели потоков событий: модель Пуассона простейшего потока событий и марковская модель потока отказов и восстановлений.

6.1.Основные понятия и характеристики потока отказов

ивосстановлений

Поток событий – это последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени.

Процесс функционирования технических объектов состоит из потока чередующихся случайных событий: исправная работа, отказ, восстановление работоспособности, снова исправная работа и т.д. Поток отказов (и восстановлений) – это основной поток событий, изучаемый в теории надежности.

Важнейшие характеристики потоков отказов объекта:

–математическое ожидание Ω(t) числа отказов на промежутке времени (0, t);

–параметр (интенсивность) ω(t) потока отказов.

Обозначим через n(t) число отказов объекта за время t (число отказов до наработки t). Будем предполагать, что после отказа восстановление работоспособности объекта происходит мгновенно, т.е. время восстановления не будем учитывать.

Математическое ожидание числа отказов за время t обо-

значим Ω(t):

Статистическая оценка математического ожидания выполняется обычным образом, т.е. как среднеарифметическое опытных значений числа n(t).

48

Параметр (интенсивность) потока отказов ω(t) можно определить как производную по времени функции Ω (t):

Параметр потока отказов характеризует среднее число отказов объекта, ожидаемых на малом промежутке времени.

Статистически параметр потока отказов можно оценить по формуле:

где N(0) – число исследуемых объектов в начальный момент наблюдения.

6.2. Простейший поток событий

Простейший поток событий – это поток, обладающий тре-

мя свойствами:

–стационарности;

–ординарности;

–отсутствия последействия.

Стационарность потока отказов означает, что число отка-

зов на промежутке длиной t не зависит от расположения этого промежутка на оси времени t, а зависит только от длительности этого промежутка, что означает постоянство (независимость от времени) интенсивности λ(t) потока отказов.

В периоды приработки и старения объекта поток отказов не является стационарным, так как интенсивность отказов в такие периоды существенно зависит от времени: чем старее объект, тем чаще возникают отказы, и, наоборот, в период приработки интенсивность отказов постепенно уменьшается до практически постоянного значения к концу этого периода. В период нормальной эксплуатации поток отказов обычно можно считать стационарным с достаточной точностью.

49

Ординарность потока отказов означает, что вероятность возникновения двух и более отказов за бесконечно малый промежуток времени является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с вероятностью возникновения одного отказа. Для ординарного потока одновременное возникновение нескольких отказов исключено по определению.

Отсутствие последействия означает, что (безусловная) вероятность возникновения k отказов на промежутке времени (tо, tо+t) не зависит от времени tо и от того, сколько отказов появлялось до момента tо, а зависит только от длины t промежутка.

В отсутствие последействия отказы возникают независимо и случайным образом, т.е. объект в момент tо «не помнит», что было до этого момента.

Простейший поток отказов описывается пуассоновским распределением вероятностей с постоянным параметром ω = λ = const. Вероятность наступления k отказов при постоянной интенсивности λ отказов за любой промежуток времени длительностью t описывается формулой Пуассона:

Простейший поток событий часто называют стационарным пуассоновским. Ординарный поток с отсутствием последействия иногда называют нестационарным пуассоновским.

Простейший поток служит приемлемой моделью для описания широкого класса задач теории надежности, часть из которых рассмотрена в последующих главах.

6.3. Марковская модель потока отказов и восстановлений

Пусть контроль работоспособности объекта является идеальным, т.е. все возникающие отказы обнаруживаются мгновенно

идостоверно. Такой объект в любой момент времени t находится

водном из двух возможных состояний:

50