Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 1. Надежность

Напомним, что P0(t) + P1(t) = 1, так как события «1» и «0» противоположны.

В пределе при t→∞ вероятность P1(t) определит стационарный коэффициент готовности Kготов:

Функция (6.6) и коэффициент готовности (6.7) объекта являются важнейшими показателями надежности простейших (пуассоновских) потоков отказов и восстановлений объекта с постоянными интенсивностями λ и µ соответственно. Функция и коэффициент готовности вычисляются только для потоков с восстанавливаемыми элементами.

Контрольные вопросы

1.Что такое поток событий?

2.Дайте определение потока отказов.

3.Дайте определение потока восстановлений

4.Что такоеинтенсивностьотказоввпотоке, как еевычислить?

5.Как оценить интенсивность потока отказов по статистическим данным?

6.Перечислите всехарактеристики простейшегопотокаотказов.

7.Какой формулой задается плотность распределения вероятностей отказов в простейшем потоке?

8.Какой процесс называется марковским?

9.Какие параметры служат основными характеристиками марковского процесса отказов и восстановлений?

10.Укажите формулу для вычисления функции готовности марковского потока отказов и восстановлений.

11.Напишите формулу для вычисления коэффициента готов-

ности.

52

7. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Число отказов в системе – это дискретная случайная величина. Расчет числа отказов в системах, состоящих их конечного числа элементов, можно выполнить вероятностными методами. Если элементы в системе различны и их число достаточно мало для непосредственных расчетов, то проще непосредственно использовать теоремы алгебры вероятностей (пример приведен ниже). Если при этом число элементов в системе конечно и все элементы однородны, то для оценки числа отказов можно использовать формулу Бернулли биномиального распределения. Если же в схеме Бернулли число элементов велико, то для расчетов логично прибегнуть к приближенным формулам, которые приводят в пределе к распределению Пуассона.

Модели длительности безотказной работы представляют непрерывные случайные величины. Рассмотрены три модели расчета времени безотказной работы объекта: на основе показательного и нормального распределений, а также на основе распределения Вейбулла – Гнеденко.

Модели надежности, основанные на изучении процессов так называемой «физики отказов», позволяют рассчитывать характеристики длительно эксплуатируемых объектов, для которых характерны постепенные отказы. Эти модели не опираются на статистические оценки интенсивности отказов, что особенно важно в тех случаях, когда исследуемые технические объекты единичны или даже уникальны, истатистический подходк оценкеихнадежности затруднителен.

7.1. Вероятностные модели числа отказов

Число отказов на заданном временном промежутке – дискретная случайная величина. Чисто экспериментальный подход для оценки числа отказов не всегда продуктивен и должен дополняться

53

теоретическими исследованиями. С другой стороны, теоретический подход сам по себе также недостаточен для исследования реальных объектов. Как отмечает академик Б.В. Гнеденко, «теоретические представления и глубокие экспериментальные исследования должны идти рядом, помогая друг другу и облегчая общий путь прогресса наших знаний и прикладных возможностей. Эксперимент позволяет направить теоретическую мысль в нужную сторону, а теория подсказывает, в каком направлении следует проводить экспериментальное исследование. От теоретических предпосылок существенно зависит, что и как следует наблюдать, какие величины и для какой цели должны быть измерены для построения моделей».

Оценивать число отказов в системах, состоящих из конечного числа элементов, можно непосредственно по формулам (7.1) и (7.2), позволяющим вычислятьвероятностисуммыипроизведения событий.

Вероятность произведения конечного числа независимых событий

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Таким образом, расчеты не слишком затруднительны в тех случаях, когда элементы в системе независимы, число элементов невелико, отказ одного элемента не влечет за собой отказы других. В общем случае вероятности суммы и произведения событий вычисляются по более сложным формулам.

Приведем пример расчета числа отказов объекта на основе формул (7.1) и (7.2).

7.1.1. Расчет числа отказов на основе алгебры вероятностей

Рассмотрим объект, содержащий n независимых элементов, каждый из которых может отказать на промежутке времени [0, t]. В общем случае вероятности отказов элементов могут быть различ-

54

ны. Тогда можно составить полную группу событий – возможных отказов элементов и для расчетов использовать теоремы (2.1) и (2.2) алгебры вероятностей.

Пример 7.1.1. Пусть объект содержит четыре независимых элемента, вероятности отказа которых на промежутке [0, t] равны соответственно p1, p2, p3 и p4. Полная группа возможных отказов была представленавглаве5. Используемпредставление вформеП2:

Каждая из единиц (1) в представлении П2 означает отказ соответствующего элемента, а нуль (0) – его работоспособное состояние. Каждое из событий (1111), (0100), …(0000) является произведением четырех независимых событий.

Тогда вероятность P(X = 4) того, что число отказов будет равно четырем, т.е. вероятность произведения (1111) четырех событий

(1111), равна P(X = 4) = p1p2p3p4.

Вероятность P{X = 3} трех отказов есть вероятность суммы четырех несовместных событий (0111 + 1011 + 1101 + 1110):

P{X = 3} = q1p2p3p4 + p1q2p3p4 + p1p2q3p4 + p1p2p3q4, где qi = = (1 – pi) (i = 1, 2, 3, 4).

Вероятность P{X = 2} того, что число отказов будет равно двум, т.е. вероятность суммы шести событий (0011 + 0101 + 1010 + 0110 +

+ 1001 + 1100), равна: P{X = 2} = q1q2p3p4 + q1p2q3p4 + p1q2p3q4 + q1p2p3q4 + p1q2q3p4 + p1p2q3q4.

Аналогичным образом можно вычислить вероятности

P{X = 1} и P{X = 0} = q1q2q3q4.

55

При вычислении вероятностей P{X = k} в виде сумм для наглядности удобно располагать слагаемые-события над соответствующими им слагаемыми-вероятностями, как это сделано выше в приведенных примерах.

7.1.2. Биномиальная модель расчета числа отказов

Наиболее просто расчеты прогнозируемого числа отказов выполняются в частном случае, когда элементы можно считать однородными, а вероятности их отказов – равными и использовать модель биномиального распределения.

Рассмотрим объект, содержащий n независимых однородных элементов, каждый из которых может отказать на промежутке времени [0, t] с вероятностью p. Тогда случайная величина X – число элементов, отказавших за время t, подчинена биномиальному закону распределения. Вероятность P{X = k} того, что из n независимых элементов откажут ровно k (1 ≤ k ≤ n) элементов, вычисляется по формуле Бернулли:

Пример 7.1.2. Если объект содержит четыре независимых однородных элемента с одинаковой вероятностью отказа p каждого из них, то вероятность P{X = 4} того, что число отказов будет равно

четырем, равна P{X = 4} = p4, так как C44 = C40 =1.

Вероятность трех отказов равна P{X = 3} = C43 p3(1 – p) ≡ 4p3q. ВероятностьдвухотказовравнаP{X = 2} = C42 p2(1 – p)2 ≡6p2q2. Вероятностьодногоотказа равнаP{X = 1} = C41 p(1 – p)3 ≡4pq3. Вероятность безотказной работы P{X = 0} = C40 (1 – p)4 ≡ q4.

Математическое ожидание числа отказов MX = 4p, дисперсия числа отказов DX = 4pq.

Пример 7.1.3. Вероятность того, что число отказов будет не более одного, вычисляется как сумма P{X = 1} + P{X = 0} = = C41 p(1 – p)3 + C40 (1 – p)4 = 4pq3 + q4.

56

Пример 7.1.4. Вероятность того, что число отказов будет не менее одного, можно вычислить как сумму:

P{X ≥ 1} = P{X = 1} + P{X = 2} + P{X = 3} + P{X = 4} =

=C41 p(1 – p)3 +C42 p2(1 – p)2 + C43 p3(1 – p) + p4 = 4pq3 + 6p2q2 + 4p3q + p4.

Однако в последнем случае выгодно воспользоваться тем, что вероятность суммы всех (непересекающихся) слагаемых-событий, входящих в полную группу, равна единице:

P[{X = 0} + {X = 1} + {X = 2} + {X = 3} + {X = 4}] =1 =

P{X = 0} + P{X = 1} + P{X = 2} + P{X = 3} + P{X = 4}= q4 + 4pq3 + 6p2q2 + 4p3q + p4 = (q+ p)4 = 14 ≡ 1,

поэтому расчеты можно значительно упростить:

P{X ≥ 1} = 1 – P{X = 0} = 1 – q4.

7.1.3. Моделирование потока отказов и восстановлений с помощью распределения Пуассона (модель Хинчина)

Если число элементов в системе достаточно велико, то расчет прогнозируемого числа отказов резко осложняется даже для одно-

родных элементов. Вычисление числа сочетаний элементов Cnk при

больших значениях числа n затруднительно, быстро накапливается погрешность вычислений и появляется необходимость в более практичных моделях. Одна из первых моделей такого рода была построена А.Я. Хинчиным.

Пусть имеется система, состоящая из большого числа элементов, в которой отказ одного элемента не влечет за собой отказа других, а отказавший элемент немедленно восстанавливается, т.е. заменяется на подобный. Пусть n – число элементов. Обозначим через xk(t) функцию, равную 0 до момента отказа k-го элемента и равную 1 в момент после отказа. Рассмотрим сумму:

n

x(t )= ∑ xk (t ).

k =1

57

Эта сумма равна 0 до отказа первого элемента, 1 – в промежутке от первого до второго отказа, 2 – между вторым и третьим и т.д. В момент каждого очередного отказа эта сумма возрастает на единицу. Приращение x(t) – x(0) функции x(t) на промежутке [0, t] равно числу отказов элементов за промежуток времени длиной t. Считаем, что элементы примерно однородны, т.е. их отказы наступают приблизительно одинаково часто и не может быть такого случая, что какой-либо один элемент дает подавляющую долю отказов.

Тогда, если вероятность отказа одного элемента мала, число п велико и при этом np = λ const > 0, то вероятность того, что число отказов будет равно k, приближенно оценивается формулой Пуассона:

В ряде случаев эта модель дает хорошее приближение к действительности, она была разработана для обслуживания потребностей теории массового обслуживания, но нашла свое применение

ив теории надежности.

Вмодели Пуассона расстояние ρ между последовательными событиями потока отказов случайно и имеет экспоненциальное распределение вероятностей вида:

7.2. Моделирование длительности безотказной работы

Рассмотрены три модели оценки длительности безотказной работы: экспоненциальная модель, модель Вейбулла – Гнеденко и модель на основе нормального распределения вероятностей. Указаны возможные варианты практического применения этих моделей.

58

7.2.1. Оценка времени безотказной работы

спомощью экспоненциального распределения

Пусть вероятность безотказной работы объекта на промежутке [0, t] подчиняется экспоненциальному распределению:

P(t) = e–λt при t ≥ 0.

Тогда функцию интенсивности отказов λ(t) находим по фор-

муле (4.9):

λ(t )= λee−−λλtt = λ = const.

Справедливо и обратное: если функция λ(t) постоянна, то распределение длительности безотказной работы будет экспоненциальным (показательным).

Итак, экспоненциальное распределение P(t) = e–λt при t ≥ 0 служит моделью времени безотказной работы для систем с постоянной интенсивностью отказов, т.е. в тех случаях, когда вероятность отказа на интервале (0, t) не зависит от длительности этого интервала.

Пример 1. Экспоненциальное распределение используется для моделирования процессов, обладающих отсутствием памяти (последействия), в том числе стационарных марковских процессов теории надежности и массового обслуживания.

Пример 2. Экспоненциальное распределение используется для моделирования технических систем на промежутке времени после окончания приработки и до начала старения, когда начинают проявляться постепенные, в частности деградационные, отказы, так как в этот период эксплуатации объекта интенсивность отказов можно считать примерно постоянной.

Вероятность возникновения деградационных отказов в пределах планируемого срока службы должна быть достаточно мала, что обеспечивается расчетами на долговечность с учетом физической природы деградационных отказов, а также надлежащей системой технического обслуживания.

59

Пример 3. Иногда интенсивность отказов можно считать примерно постоянной, если система содержит достаточно большое число элементов. К таковым относятся, например, радиоэлектронные системы.

7.2.2.Расчет времени безотказной работы

спомощью распределения Вейбулла – Гнеденко

Вслучае двухпараметрического распределения Вейбулла – Гнеденко вероятность безотказной работы объекта на промежутке

времени [0, t] можно представить в следующем виде:

Напомним, что α – это параметр формы, а β – параметр масштаба. Тогда интенсивность отказов, вычисленная по формуле (4.10), для распределения Вейбулла– Гнеденко приметследующий вид:

λ(t) = βαtα−1.

При α < 1 функция интенсивности отказов λ(t) является убывающей, а при α > 1 интенсивность λ(t) возрастает, причем при α = 2 функция λ(t) является линейной.

После устранения приработочных отказов вероятность отказов со временем падает. В таких случаях распределение Вейбулла при α < 1 будет давать хорошее согласование с практикой. Если же скрытых дефектов у изделий практически нет, но они быстро изнашиваются (например, под воздействием перегрузок), то и в таких случаях распределение Вейбулла при α > 1 часто будет давать хорошее приближение к реальности. Поэтому распределение Вейбулла – Гнеденко хорошо моделирует наработку деталей по усталостным разрушениям, например наработку до отказа подшипников.

Распределение Вейбулла– Гнеденко часто используется при изучении разбросов сроков службы технических систем, в том числе

60