Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 1. Надежность
.pdfЕсли разбить промежуток [0, t] наблюдения за работой объекта на k частичных промежутков ∆i, то статистической оценкой вероятности P(t) безотказной работы объекта на всем проме-
жутке [0, t] может служить отношение:
P(t) |
N |
= |
N0 −∑ni |
, (N ≤ N0). |
(4.3) |
|
|
||||
|
N0 |
N0 |
|
Статистической оценкой Q*(t) вероятности Q(t) отказа может служить относительная частота отказа, вычисляемая по формуле:
Q(t Q*(t)) = n(t) ,
N0
где ni – это число объектов, отказавших на i-м промежутке време-
ни ∆i (i = 1, 2, …n);
n(t) – общее число объектов, отказавших за время t, т.е. на
k
промежутке [0, t], n(t) = ∑ni ;
i=1
N0 – общее число испытанных за время t объектов,
N – число объектов, исправно проработавших в течение этого времени.
Если функция Q (t) дифференцируема, то ееперваяпроизводная
Q′(t) = f(t) = –P′(t) |
(4.4) |
есть f(t) – плотность распределения вероятностей случайной величины T – времени безотказной работы (наработки) объекта до первого отказа.
Статистической оценкой f*(t) частоты f(t) отказов слу-
жит отношение числа отказавших в единицу времени объектов к их начальному числу N(0) при условии, что отказавшие элементы не восстанавливаются:
|
|
|
|
|
∆t |
|
∆t |
|
|
||
|
* |
1 |
|
n t + |
2 |
|
−n t − |
2 |
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (t) = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(4.5) |
||
N(0) |
|
|
|
∆t |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
Разность в числителе последней формулы выражает число элемен-
тов, отказавших на промежутке времени (t + ∆2t , t – ∆2t ).
4.1.2. Средняя наработка до отказа
Математическое ожидание MT наработки до отказа объ-
екта – это первый момент распределения случайной величины T – времени до наступления отказа.
Поскольку наработка до отказа T – непрерывная величина, ее математическое ожидание вычисляется по формуле:
MT =∫∞ t f (t) dt. |
(4.6) |
0 |
|
Интегрируя по частям и учитывая равенства |
f(t) = –P′(t) = Q′(t), |
P (0) = 1и Q(∞) = 0, последнюю формулу можно привести к виду:
MT =∫0∞ P(t) dt,
где P(t) – этовероятностьбезотказнойработы втечение наработки t.
Средняя наработка до отказа – это статистическая |
оцен- |
|||||
ка T* математического ожидания MT времени T до первого отказа, |
||||||
и она может быть выполнена по формуле: |
|
|
|
|||
|
1 |
N |
|
|
|
|
MT T* ≡ Tср = |
∑0 t |
i |
, |
(4.7) |
||
|
||||||
|
N0 i=1 |
|
|
где ti – это время исправной работы (наработка до отказа) i-го объекта.
4.1.3. Гамма-процентная наработка до отказа
Гамма-процентная (γ-процентная) наработка до отказа –
это наработка, в течение которой отказ объекта не произойдет с вероятностью γ, выраженной в процентах.
При γ = 50 % наработку до отказа называют медианной, 100%-нуюнаработку доотказа называютустановленнойбезотказной.
32
4.1.4. Средняя наработка на отказ
Средняя наработка на отказ – это случайная величина,
опытное значение которой после n отказов вычисляется по формуле
Tо.ср = |
1 |
n |
∆t |
, |
(4.8) |
|
∑ |
||||
|
|||||
|
n |
i=1 |
i |
|
|
|
|
|
|
где ∆ti – это время исправной работы объекта на i-м промежутке между двумя соседними отказами (т.е. между (i – 1)-м и i -м отказами).
Понятие средней наработки на отказ определяется только для восстанавливаемых объектов.
4.1.5. Интенсивность отказов
Интенсивность отказов можно определить как отношение
λ(t) = |
Q′(t ) |
, |
(4.9) |
P(t ) |
где P(t) – вероятность безотказной работы объекта на промежутке [0, t]; Q′(t) – первая производная функции Q(t) – вероятности отказа объекта на этом промежутке. Так как Q(t) – функция, возрастающая с течением времени, то интенсивность отказов λ(t) – положительная величина.
В общем случае интенсивность отказов существенно зависит от времени эксплуатации объекта. Наибольшие значения интенсивность отказов имеет в период приработки (начальный этап эксплуатации) объекта, а также в период его наиболее активного износа и старения.
Функция интенсивности отказов λ(t) – это условная плот-
ность вероятности того, что объект, проработавший безотказно время t, откажет сразу после его истечения. Функция интенсивности отказов дает наиболее точную характеристику надежности невосстанавливаемого объекта в данный момент времени t и является основным показателем надежности элементов сложных систем.
33
В силу соотношений (4.2) и (4.3) функция интенсивности от-
казов
λ(t) = |
Q′(t) |
≡ |
−P′(t) |
. |
(4.10) |
P(t) |
|
||||
|
|
P(t) |
|
Если функция P(t) распределения длительности безотказной работы известна, то функция интенсивности отказов λ(t) может быть легко вычислена.
Статистическая оценка λ* интенсивности отказов λ(t) в
точке t может быть выполнена на основании опытных данных как отношение числа образцов техники, отказавших в единицу времени, к среднему числу образцов, исправно работающих на промежутке времени [t, t + ∆t], т.е.
λ(t) λ*(t) = |
1 |
|
∆n |
. |
(4.11) |
Nср |
|
||||
|
∆t |
|
Здесь Nср – среднее число элементов, исправно работающих на про-
межутке времени [t, t + ∆t], Nср = 0,5[N(t) + N(t + ∆t)]; ∆n – число элементов, отказавших на этом промежутке, ∆n = ∆n(t, t + ∆t) =
= n(t +∆t )− n(t −∆t ).
Статистическая оценка λ*(t) интенсивности отказов в момент времени t есть средняя интенсивность отказов, которая показы-
вает, какая часть элементов выходит из строя в единицу времени по отношению к среднему числу элементов, исправно работающих в этот момент времени.
4.2. Показатели долговечности и их оценка
Основные показатели долговечности – это ресурс и срок службы. Различают средний, назначенный и гамма-процентный ресурсы и сроки службы. Средние оценки, в отличие от теоретических, имеют случайный (статистический) характер.
34
4.2.1. Средний ресурс
Технический ресурс (ресурс) – это наработка объекта от начала его эксплуатации (или ее возобновления после ремонта) до перехода в предельное состояние.
Средним ресурсом называют среднее значение технического ресурса, которое оценивается по опытным данным.
4.2.2. Гамма-процентный и назначенный ресурс
Гамма-процентный ресурс – это наработка Tγ, в течение ко-
торой объект не достигнет предельного состояния с заданной
(в процентах) вероятностью γ.
Гамма-процентный ресурс Tγ, определяется из следующего уравнения
1−F(T |
) ≡1 |
−∫Tγ f |
T |
(t)dt = |
1 |
, |
(4.12) |
|
|||||||
γ |
|
0 |
100 γ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
где fT (t) – функция распределения случайной величины T – наработки до отказа.
Назначенный ресурс – это суммарная наработка объекта, при достижении которой его эксплуатация должна быть прекращена.
4.2.3. Средний, гамма-процентный и назначенный срок службы
Средним сроком службы объекта в технической литературе принято называть математическое ожидание срока службы.
Статистической оценкой среднего срока службы служит его среднее значение, вычисляемое по опытным данным.
Гамма-процентный срок службы – это календарная про-
должительность от начала эксплуатации объекта, в течение которой он не достигнет предельного состояния с заданной (в процентах) вероятностью γ.
Назначенный срок службы – это календарная продолжительность эксплуатации объекта, при достижении которой его при-
35
менение по назначению должно быть прекращено независимо от состояния объекта.
4.3. Показатели ремонтопригодности и их оценка
4.3.1. Вероятность восстановления в заданное время
Вероятность восстановления в заданное время t ≥ 0 – это вероятность того, что время θ восстановления работоспособного состояния объекта не превысит заданного времени t, т.е.
Pвос(t) = P{θ < t}.
Очевидно, что вероятность восстановления Pвос(t) – это интегральная функция распределения случайной величины θ – времени восстановления. Вероятность того, что за заданное время объект не будет восстановлен, Qвос (t) = P{θ ≥ t} = 1 – Pвос(t).
4.3.2. Среднее время восстановления
Математическое ожидание Mθ времени θ восстановления
объекта – это первый момент распределения случайной величины θ. Время восстановления – непрерывная случайная величина и ее математическое ожидание вычисляется по формуле:
Mθ=∫∞ |
t f |
θ |
(t)dt, |
(4.13) |
0 |
|
|
|
где функция fθ – плотность распределения вероятностей случайной величины θ – времени восстановления объекта.
Статистическая оценка θ* времени восстановления может быть выполнена как среднее время θср восстановления по следующей формуле:
Mθ θ* ≡θср = |
1 |
n |
(4.14) |
|
∑θi , |
||||
|
||||
|
n i=1 |
|
где θi – это время обнаружения и устранения i-го отказа объекта; n – объем опытных данных.
36
4.3.3. Интенсивность восстановления
Интенсивность восстановления µ(t) можно определить от-
ношением:
µ = |
−P′вос(t) |
, |
(4.15) |
P (t) |
|||
|
вос |
|
|
где P′вос(t) – первая производная функции Pвос(t). Так как Pвос(t) – функция убывающая, то интенсивность восстановления µ(t) – положительная величина.
Статистическая оценка µ* интенсивности восстановле-
ния µ(t) в точке t может быть выполнена на основании опытных данных как отношение числа образцов техники, восстановленных в единицу времени, к среднему числу образцов, исправно работающих на промежутке времени [t, t + ∆t], т.е. по формуле:
µ (t) µ *(t) = |
1 |
|
∆n |
, |
(4.16) |
Nср |
|
∆t |
|||
|
|
|
|
где Nср – среднее число элементов, исправно работающих на про-
межутке времени [t, t + ∆t], Nср = 0,5[N(t) + N(t + ∆t)]; ∆n – число элементов, восстановленных на этом промежутке, ∆n = ∆n(t, t + ∆t).
Статистическая оценка µ*(t) интенсивности восстановления в момент времени t есть средняя интенсивность отказов, которая показывает, какая часть элементов восстанавливается в единицу времени по отношению к среднему числу элементов, исправно работающих в этот момент времени.
4.4. Показатели сохраняемости и их оценка
Математическое ожидание MΧ срока сохраняемости
объекта – это первый момент распределения случайной величины Χ – срока сохраняемости.
Так как срок сохраняемости Χ – непрерывная величина, то ее математическое ожидание вычисляется по формуле:
37
MХ =∫∞ t f |
χ |
(t) dt, |
(4.17) |
0 |
|
|
где функция fχ – плотность распределения вероятностей случайной величины Χ – срока сохраняемости.
Средний срок сохраняемости – это статистическая оценка математического ожидания MΧ срока сохраняемости.
Средний срок сохраняемости Xср можно оценить по следующей формуле:
MХ Хср = |
1 |
N |
(4.18) |
|
∑χi , |
||
|
|||
|
N i=1 |
|
где χi – время исправной работы i-го объекта (i = 1, 2, …, N); N – объем опытных данных, т.е. число исследованных объектов.
Гамма-процентный срок сохраняемости – это срок сохра-
няемости, достигаемый объектом с заданной вероятностью γ, выраженной в процентах.
Гамма-процентный срок tγ сохраняемости определяется из следующего уравнения:
1−F |
(t |
γ |
) ≡1 |
−∫tγ f |
X |
(t)dt = |
1 |
, |
(4.19) |
|
|||||||||
X |
|
|
0 |
100 γ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
где функция fχ – плотность распределения вероятностей случайной величины Χ – срока сохраняемости; Fχ – (интегральная) функция распределения этой величины.
Контрольные вопросы
1.По какой формуле вычисляется вероятность безотказной работ и как оценить ее по опытным данным?
2.Как оценить частоту отказов и среднюю наработку до отказа по опытным данным?
3.Что такое гамма-процентная наработка до отказа?
4.Как вычисляется средняя наработка на отказ? Чем отличаются средняя наработка до отказа и средняя наработка на отказ?
38
5.Как определяется интенсивность отказов и как она оценивается по опытным данным?
6.Что такое ресурс объекта и как его оценить?
7.Как определяется гамма-процентный ресурс?
8.Чем отличаются назначенный ресурс и назначенный срок службы?
9.Как определяется и вычисляется вероятность восстановления объекта в заданное время?
10.Что такое среднее время восстановления?
11.Как определяется интенсивность восстановления и как она оценивается по опытным данным?
12.Перечислите показатели сохраняемости.
13.Как оценить средний срок сохраняемости по опытным
данным?
39
5. ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Распределение Бернулли и биномиальное распределение часто используются для оценки дискретных характеристик надежности, таких как число отказов технических систем. Предельный случай распределения Бернулли – распределение Пуассона – используется в тех случаях, когда система состоит из большого числа элементов.
Законы распределения непрерывных случайных величин (нормальный, показательный, Вейбулла – Гнеденко и другие) используются как модели времени безотказной работы и других непрерывных характеристик надежности.
5.1. Законы распределения дискретных случайных величин
5.1.1. Распределение Бернулли
Рассматривается испытание, в котором возможны лишь два взаимоисключающих исхода: некоторое событие A либо наступает с вероятностью p(A) = p, либо не наступает (с вероятностью q = 1 – p). Тогда число появлений события A в этом испытании есть случайная величина X, имеющая всего лишь два возможных значения: либо X = x1 = 0 с вероятностью q = 1– p, либо X = x2 = 1 с вероятностью p. Распределение такой случайной величины X называется распределением Бернулли.
Математическое ожидание MX = p, дисперсия DX = pq.
5.1.2. Биномиальное распределение
Проводится серия n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие A либо наступает с вероятностью p, либо
40