Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 1. Надежность

К показателям ремонтопригодности относятся:

–вероятность восстановления работоспособного состояния в течение заданного времени;

–среднее время восстановления работоспособного состояния.

2.1.4. Сохраняемость

Сохраняемость – это свойство технического объекта сохранять свои характеристики (показатели безотказности, долговечности и ремонтопригодности) в процессе хранения и транспортировки и сразу после них.

По существу, сохраняемость – это свойство надежности в условиях хранения и транспортировки, т.е. в условиях, когда объект активно не используется, или в тех случаях, когда коэффициент его использования мал. К таким объектам можно отнести законсервированные технические объекты, сельскохозяйственную и другую сезонно используемую технику, периодически используемые приборы. К хранящимся относятся и технические объекты разового использования: системы вооружения, а также запасные устройства и их элементы на складе.

В процессе хранения техника не работает. В связи с этим основным видом ее отказа является отказ постепенный, возникающий вследствие старения материалов. При транспортировке возможны повреждения объекта, не связанные с его активной эксплуатацией, но приводящие к потере надежности.

Показатели сохраняемости – это те же показатели надежности объекта, но оценить их по экспериментальным данным практически невозможно, так как обычно сложно получить достаточное число однородных статистических данных для оценки времени отказа.

2.2. Числовые показатели надежности

Каждая из качественных характеристик надежности может быть представлена набором числовых показателей, которые позволяют оценивать надежностьобъекта с количественной точкизрения.

21

Ниже приведены основные качественные характеристики надежности и соответствующие им числовые показатели.

Для каждого из числовых показателей необходимо дать определение, указать точную формулу для расчета и, при необходимости, формулу длястатистическойоценкинаоснове опытных данных.

Контрольные вопросы

1.Перечислите качественные характеристики надежности.

2.Что такое безотказность? Укажите числовые показатели безотказности.

3.Дайтеопределение вероятности безотказнойработыобъекта.

4.Что такое средняя наработка до отказа и как ее оценить?

5.Что такое средняя наработка на отказ? Как ее оценить?

6.Что такое интенсивность отказов и как она вычисляется?

22

7.Что такое долговечность?

8.По каким числовым показателям можно оценить долговеч-

ность?

9.Чем отличаются назначенный ресурс и назначенный срок службы объекта?

10.Что такое ремонтопригодность, по каким числовым показателям можно ее оценить?

11.Что такое сохраняемость? Какие числовые показатели используют для ее оценки?

23

3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Теория надежности использует два типа случайных величин – непрерывные и дискретные. Например, число отказов объекта за заданное время – дискретная случайная величина. Время восстановления объекта после отказа – пример непрерывной случайной величины. Задать случайную величину означает: указать множество ее возможных значений и закон (функцию) распределения вероятностей.

3.1. Законы распределения случайных величин

Дискретную случайную величину можно задать, указав для каждого из ее значений вероятность, с которой это значение может быть принято. Но этот способ непригоден для непрерывных случайных величин. Универсальный способ задания случайной величины (и непрерывной и дискретной) – с помощью интегральной функция распределения. А если эта функция является дифференцируемой, то это автоматически означает, что рассматриваемая случайная величина является непрерывной и ее можно задать с помощью плотности распределения вероятностей..

3.1.1. Понятие закона распределения случайной величины

Закон распределения вероятностей любой случайной величины можно задать с помощью (интегральной) функции распределения. Множеством значений (областью определения) одномерной случайной величины является любое множество действительных чисел. Для непрерывных случайных величин примерами области определения могут быть: вся ось действительных чисел (–∞, ∞), полуось [0, ∞), интервал (a, b), а для дискретных величин – дискретное множество, например {0; 1; 2;…}или {x1, x2, …, xk}, где xi – действительные числа.

24

Функция распределения FX одномерной случайной величины X для каждого фиксированного значения x из области ее определения определяется как вероятность P события {X < x}, т.е.:

Например, если областью определения случайной величины X является вся ось действительных чисел (–∞, ∞), то значение FX(x) функции распределения FX в точке x – это вероятность попадания случайных значений величины X в интервал (–∞, x).

Пусть X – дискретная случайная величина, для которой область определения – дискретный набор чисел {xi} (конечный или бесконечный), тогда закон распределения можно задать следующим образом: значение функции распределения F в точке xi определяется как вероятность того, что случайное значение величины X окажется равным xi, т.е.

вобозначении функциираспределениячасто опускают длякраткости.

3.1.2. Плотность распределения вероятностей

Если F – непрерывная функция, то говорят, что X – непре-

рывная случайная величина.

Если, кроме того, функция F является дифференцируемой, то закон распределения можно задать с помощью плотности распределения вероятностей (дифференциальной функции) случайной величины X.

Плотность f(x) распределения вероятностей (дифферен-

циальная функция) случайной величины X определяется как первая производная F′(x) (интегральной) функции распределения F(x):

Законы распределения используют, например, для вычисления вероятности попадания значений случайной величины в заданный промежуток.

3.1.3.Вероятность попадания случайной величины

взаданный промежуток

Вероятность того, что значения x случайной величины X попадут в промежуток [a, b), вычисляется через разность значений функции F(x) распределения вероятностей по следующей формуле:

Для непрерывной случайной величины X вероятность того, что ее значения x попадут в промежуток [a, b), можно вычислить также через интеграл от плотности f(x) распределения вероятностей по следующей формуле:

Для непрерывной случайной величины X вероятность попадания в отдельную точку xi равна нулю: P(X = xi) = 0, поэтому для нее справедливы следующие равенства:

P{x [a,b)} = P{x (a, b)} = P{x (a, b]} = P{x [a, b]}.

3.2. Начальные моменты случайных величин

Моменты распределения – важнейшие числовые характеристики случайных величин. Два первых начальных момента – это математическое ожидание MX случайной величины X – момент первого порядка и дисперсия DX – момент второго порядка.

Двух числовых характеристик случайных величин – математического ожидания MX и дисперсии DX – достаточно для характеристики многих случайных величин и задания большинства известных законов распределения в теории надежности.

26

Дисперсию можно вычислить также по следующей формуле:

Для непрерывной случайной величины указанные формулы для вычисления дисперсии принимают следующий вид:

(i = 1, 2, …, n) случайной величины X можно оценить по следующей формуле:

Дисперсия характеризует рассеяние значений x случайной величины X вокруг ее математического ожидания MX.

Для характеристики рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания используют также средне-

квадратичное отклонение σX:

σX = DX ,

которое, в отличие от дисперсии, имеет одинаковую размерность

ссамой случайной величиной X.

Втеории надежности функцию распределения случайной величины и ее характеристики MX и DX используют для оценки вероятности безотказной работы, для оценки средней наработки до отказа, а также других случайных параметров, характеризующих процессы изменения работоспособности технических объектов в процессах их эксплуатации.

28

Контрольные вопросы

1.Дайте определение функции распределения и плотности распределения вероятностей одномерной случайной величины.

2.Напишите формулу для вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный промежуток (a, b).

3.Напишите формулу для вычисления математического ожи-

дания

а) дискретной; б) непрерывной случайной величины.

4.В чем разница между математическим ожиданием и средним значением случайной величины?

5.Как можно интерпретировать дисперсию с точки зрения опытных данных?

29

4. ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

Числовые показатели надежности можно вычислить на основании вероятностных моделей надежности. На практике их оценку приходится выполнять на основании опытных данных, поэтому необходимо учитывать случайный характер получаемых статистических оценок.

4.1. Показатели безотказности и их оценка

Пусть T ≥0 – момент наступления отказа технического объекта, а t > 0 – заданная наработка. Момент отказа T является случайной величиной, распределение времени отказа может быть как непрерывным, такидискретным, взависимостиоттипатехническогообъекта.

4.1.1. Вероятность безотказной работы

Вероятность P(t) безотказной работы объекта – это веро-

ятность того, что в пределах заданной наработки t, т.е. на промежутке времени [0, t], отказа объекта не произойдет:

Отказ объекта на промежутке времени [0, t] и отсутствие отказа – противоположные события. Поэтому вероятность Q(t) отказа объекта на промежутке [0, t] вычисляется по формуле:

Q(t) ≡ F(t) – это (интегральная) функция распределения времени T до наступления первого отказа.

Функция P(t) монотонно не возрастает с ростом t. Она удовлетворяет двум следующим соотношениям: P(0) = l и P(t)→0 при t→∞. Если P(t) – дифференцируемая функция, то P′(t) ≤ 0,

а Q′(t) = f(t) > 0.

30