Интегральные преобразования в уравнениях с частными производными (110

дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, выражается через эти условия и функции из основной системы решений следующим образом:

решение рассматриваемого дифференциального уравнения.

Пример 11.1. Найти основную систему решений и построить общее решение следующего дифференциального уравнения: (4) + 2 ′′′ + 3 ′′ + 2 ′ + = 0

Решение: Реализуем описанный выше алгоритм в системе Mathematica.

1=x’’’’ [t]+2*x’’’ [t]+3*x’’ [t]+2*x’ [t]+x[t];

L=Expand[LaplaceTransform[1,t,p]];

Д0=-Coeffiicient[L,x[0]];

Д1=- Coeffiicient[L,x’[0]];

Д2=- Coeffiicient[L,x’’[0]];

Д3=- Coeffiicient[L,x’’’[0]];

fo=InverseLaplaseTransform[Д0/Д, p,t]

f1=InverseLaplaseTransform[Д1/Д, p,t]

f2=InverseLaplaseTransform[Д2/Д, p,t]

f3=InverseLaplaseTransform[Д3/Д, p,t]

f=x0*f0+x1*f1+x2*f2+x3*f3

30

И будем искать его решение, удовлетворяющее начальным условиям: при

= 0

Аналогичным образом можно доказать, что если все начальные данные равны нулю:

f=c0*f0+c1*f1;

f1= FullSimplify [InverseLaplaseTransform[Д1/Д, p,t]] f1=f1/.t→t-ф

Integrate[Sin[ф]^2*f1, { ф,0,t};

F=f+%

Пример 1 1 . 3 . Найти решение дифференциального уравнения ′′ − 3 ′ +

x[0]=1;

x’ [0]=3;

1=x’’[t]-3*x’[t]+2*x[t]-t*Sin[3*t];

L=[LaplaceTransform[ 1, t, p ]

L=L/.[LaplaceTransform[x[t],t,p]→X

G = So l ve [ L= = 0 ,X] ;

x = InverseLaplaseTransform[Replace[X,G[[1]]],p,t]

Пример 1 1 . 4 . Найти решение дифференциального уравнения

′′′ + 6 ′′ + 11 ′ + 6 = ′′ + 5 ′ + 6 где = , 00 = 1, 0′ = −3, 0′′ = 3.

Ре ше н ие . Поступим в данном случае так же, как и при решении предыдущего примера.

G=UnitStep[t];

1=x’’’ [t]+6*x’’[t]+11*x’[t]+6*x[t]-D[g,{t,2}]-5*D[d,t]-6*g; L=LaplaseTransform[l,t,p]; L=L/.{x[0]→1,x’[0]→-3,x’’[0]→9}; L=L/.(LaplaseTransform[x[t],t,p])→X; G=Solve[L==0,X];

X=X/.G[[1]];

X=InverseLaplaseTransform[X,p,t] Null

1 + e−3t − e−t

33

Предположим, что многочлен ∆( ) имеет простые корни , , … , . Тогда, пользуясь теоремой, мы можем записать

Подставляя найденные значения в формулу (11.4), мы после элементарных преобразований найдем

где константы линейно выражаются через начальные условия. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами имеет вид

Если в (11.18) заменить начальные значения произвольными постоянными, то мы получим общее решение рассматриваемой системы.

Пример 1 1 . 5 . Найти решение системы дифференциальных уравнений

Р е ш е н и е . Находим изображающую систему, определяем изображения неизвестных функций, а затем находим их оригиналы.

34

A={{2,4},{-1,2}}; f={Cos[t],Sin[t]);

X0={-2,1};n=2;

T=Table[y[i]’[t]-Sum[A[[I,j]]*y[j][t],{j,1,n}]-f[[i]],{I,1,n}];

T1=Table[LaplaceTransform[T[[i]],t,p],{I,1,n}];

X1=Table[y[i][0]→x0[[i]],{I,1,n}];

T1=T1/.x1;

X2=Array[x,n];

X=Table[LaplaceTransform[y[i][t],t,p]→x2[[i]],{I,1,n}];

T1=T1/. x;

T2=Table[T1[[i]]=0, {I,1,n}];

R=Solve[T2,x2];

X=x2/.R[[1]];

X=Table[InverseLaplaceTransform[x[[i]],p,t],{I,1,n}]

Преобразование Лапласа дает возможность интегрировать линейные дифференциальные уравнения, коэффициенты которых представляют собой степени или в более общем случае некоторые полиномы от . Тогда отдельные члены такого уравнения будут иметь вид

, 2 , … ; ′, ′, 2 ′, … ; ′′, ′′, 2 ′′

Заменим в рассматриваемом уравнении каждое слагаемое его преобразованием Лапласа. Если обозначить общий член рассматриваемого

Отсюда следует, что преобразование исходного уравнения с переменными коэффициентами приводит в общем случае к дифференциальному уравнению относительно изображения также с переменными коэффициентами. Порядок этого уравнения равен наивысшей степени , встречающейся в коэффициентах исходного уравнения. Если изображающее уравнение решается, то, применяя затем рассмотренные выше способы отыскания оригинала по заданному изображению, мы решим поставленную задачу.

Пример 1 1 . 6 Найти решение уравнения

′′ + 1 − ′ + 4 = 0

35

Ре ш е н и е . Применим описанный выше алгоритм, используя систему Maple.

>restart:with(inttrans): >l:t*diff(x(t),t$2)+(1-t)*diff (x(t) , t)+4x(t): >L:=laplace(l,t,p):

>L1:=subs(laplace(x(t) , t, p)=y(p), L):

>Y:=dsolve(L1=0, y(p)): >Y:=rhs(Y): >invlaplace(Y, p, t);

Предложенный подход к решению дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами позволяет находить изображения некоторых функций. С этой целью решается дифференциальное уравнение при помощи стандартных функций систем компьютерной математики, а затем находится изображение решения этого дифференциального уравнения описанным методом.

12. Преобразование Лапласа обобщенных функций.

Пусть а- произвольное вещественное число. Обозначим через La множество функций, удовлетворяющих следующим условиям:

Функция ц(t), принадлежащая рассматриваемому множеству, в каждой точке вещественной оси имеет производные всех порядков.

Для каждого целого неотрицательного k функция exp(at) ц(k)(t) ограничена на на положительной полуоси.

Обозначим через сa,k(ц) следующее число

сa,k(ц)= sup exp(at) (k ) (t) .

0 t

Определение 12.2. Обобщенной функцией на пространстве La называется всякий линейный непрерывный функционал на этом пространстве, т.е. линейный функционал f , обладающий свойством: если последовательность функций n=1,2, … сходится к нулю в La, то и числовая последовательность (t, ц) также сходится к нулю.

36

Для преобразования Лапласа обобщенных функций имеет место следующая теорема обращения.

Теорема 12.2. Пусть f(t) F( p) при Re(p)> д . Тогда

где s – произвольное число, удовлетворяющее соотношению s > д , а сходимость понимается в смысле сходимости в пространстве обобщенных функций.

Определение 12.4. Пусть f(t) и g(t) – две обобщенные функции. Сверткой этих функций f*g называется обобщенная функция, определяемая соотношением

( f * g, (t)) ( f (t), (g( ), (t ))).

Из этого определения следует, что любой обобщенной функции f(t) выполняется соотношение f* д=f . Действительно,

( f * , (t)) ( f (t), ( ( ), (t ))) ( f (t), (t)) f .

Кроме этого можно доказать, что имеют место соотношения

(k ) * f f k

(t ) * f f (t ).

Теорема 12.3. Пусть f(t) F( p) , g(t) G( p). Тогда f * g F( p)G( p).

Пример 12.2. Дана функция F(p)= p 2 1. Показать, что эта функция является изображением для некоторой обобщенной функции и найти ее оригинал.

Решение. Функция F( p) является аналитической в полуплоскости Re(p)> 0

и удовлетворяет там соотношению F( p) p 1. Следовательно, эта

функция является изображением для некоторой обобщенной функции . Имеет место равенство

38

Воспользуемся следующими соотношениями, полученными в системе

Mathematica.

D[BesselJ[0,t],t]

- BesselJ[1,t]

D[BesselJ[0,t], {t, 2}]

-1/2 (BesselJ[0, t] – BesselJ[2, t])

Таким образом, мы получим

p2 1 12 h t J0 t t J0 t 2 J1 t 12 h t J2 t .

По определению умножения обобщенной функции на обычную функцию, мы получим

t J1 t , t t , t J1 t 0 J1 0 0;