Интегральные преобразования в уравнениях с частными производными (110

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

В пакете Mathematica функции Хэвисайда и

обозначается UnitStep[t].

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” (ФГБОУ ВПО «ВГУ»)

Интегральные преобразования в уравнениях с частными производными

Учебно-методическое пособие для вузов

Составитель: Ю.Б. Савченко С.А. Ткачева

Воронеж

2012

Утверждено научно-методическим советом математического факультета

14 декабря 2012 года протокол № 0500-09

Рецензент: к.ф-м. н., доцент Леженина И.Ф.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета

Воронежского государственного университета

Рекомендуется для студентов 1 курса магистратуры очной формы обучения математического факультета, обучающихся по направлению:

010100 Математика

1. Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение.

Пусть	−интегрируемая		на (0,T) при любом Т>0 функция, равная нулю
при >0: [ ] =0 при <0. Если эта функция при >0 удовлетворяет оценке
	[ ]	≤ , > 0, ≥ 0, > 0,			(1.1)
то можно рассмотреть интеграл
	=	∞ [ ] − , = у + о, у > , о .			(1.2)
		0
Действительно, справедлива оценка
[ ] ≤	∞ [ ] −у =		∞ [ ] − − у− ≤	∞	− у− =
	0		0	0
у− <∞.					(1.3)

При выводе (1.3) была использована оценка (1.1). Из оценки (1.3), в частности, следует, что [ ] → 0 у = → ∞.

Функция [ ]является аналитической функцией комплексной переменной p в плоскости > . Для того чтобы это проверить, находим пока формально

=	∞ (− ) − .	(1.4)

	0

Как и при выводе (1.3), находим

≤ ∞ −

− у− ≤ ∞ − у− =

−

∞ − у− =

у−

−

− у−

− − у− =

у−

у− 2

Последнее означает, что интеграл равномерно

по > сходится

и,

следовательно, производная

существует при > , и формула (1.4)

справедлива при > .

Интеграл (1.2)

называется преобразование

Лапласа

функции

обозначается .

В этом случае функция

называется оригиналом,

функция = − изображением.

Преобразование Лапласа можно связать с преобразованием Фурье.

Действительно,		из		(1.2)		имеем
=	∞ − у+ о =	∞( −у ) − о dt=	∞		[ ] − о ,	где =
	0	0	−∞

[ ] −у при ≥ 0 и = 0 при < 0 (преобразование Фурье берѐтся со знаком -).

В дальнейшем все приводимые в тексте примеры будут отмечаться знаком

" ".

Найти преобразование Лапласа	функции Хэвисайда и	= 1 при ≥
0 и и = 0 при < 0. Заметим, что	оценка (1.1) для функции	Хэвисайда

и выполняется при = 1 и = 0. Следовательно, преобразование Лапласа функции Хэвисайда существует и является аналитической функцией при

> 0.

Для нахождения преобразовании Лапласа функции используется команда LaplaceTransform[ , , ]. Здесь через обозначается аргумент оригинала, через -аргумент изображения. Найдѐм, например, преобразование Лапласа функции Хэвисайда

LaplaceTransform[UnitStep , , ]

2. Свойства преобразования Лапласа

2.1.Линейность

1 1 + 2 2 = 1 1 + 2 2 , 1 = . , 2 = .

2.2.Дифференцирование изображений

	=	∞ (− ) − , = 1,2, … . ; > .

		0

2.3. Преобразование Лапласа производных

= − ( −1 +0 + −2 1 +0 + +

−1 +0 )

2.4.Сдвиг преобразование Лапласа

	−	= 0	, > +
	0		0

2.5. Интегрирование оригинала в преобразовании Лапласа

[ 0 ф ф] = 1 [ [ ][ ]

2.6. Преобразование Лапласа свѐртки f*g.

, где

0 − ф ф ф

2.7. Преобразование Лапласа и преобразование подобия

При любом к>0 справедливо тождество

∞ − =

∞ − ф

ф =

2.8. Сдвиг оригинала в преобразовании Лапласа

−

− 0 , > 0

−

= ∞ − − ф−

0 ф =

− 0

2.9. Преобразование Лапласа от дроби

[ 0 ф ф =

3. Вычисление преобразования Лапласа основных функций

3.1.

= л . > л, л

∞

л − =

−( −л) =

− л

3.2.

= щ , щ

По формулам Эйлера имеем щ

( щ - − щ )

Поэтому с помощью 3.1. щ

− − щ

2й

1 1

−

2й − щ

+ щ

2 2

+щ

3.3.

= щ , щ

По определению гиперболических функций щ

щ −

−щ

. Поэтому

щ − −щ

−

2 −щ

+щ

−щ

3.4.

= л . > л, л , = 1,2, ….

По свойству 2.2 имеем

∞ л

− = (−1) ∞(− ) л −

= −1

−л

!( −л) +1 .

( −л)

В частности,

(л = 0).

Найти преобразование Лапласа [ 6 cos[щ ]] и [ 6 sin[щ ]] . Для этого

воспользуемся формулами [ cos щ

= ! [

+ щ +1

] и

2 +1

+щ

[ sin щ

= ! [

+ щ +1

]

2 +1

+щ

ComplexExpand [

+ щ 7

]

+щ

−

21 5щ2

35 3щ4

−

7 щ6

7 6щ

−

35 4щ3

21 2щ5

−

+щ

2 7

+щ

2 7

+щ

щ7 2+щ27

[ 6 cos щ

= 6! (

−

21 5щ2

35 3щ4

−

7 щ6

)

2 2 7

+щ

[ 6 sin щ

= 6!

7 6щ

−

35 4щ3

21 2щ5

−

щ7

2 7

+щ

Этот же результат получается с помощью команды LaplaceTransform пакете

Mathematica

[ щ , , ]

(720 6 − 21 4щ2 + 35 2щ4 − 7щ6 )/ 2 + щ2 7 − (720щ −7 6 +

35 4щ2−21 2щ4+щ6)/ 2+щ27

Сравним полученные ответы

[6!

−

− (720 6

−

2 7

+щ

21 4щ2+35 2щ4−7щ6)/ 2+щ27]

7 6щ

35 4щ3

21 2щ5

щ7

[6!

−

2 7

+щ

720щ −7 6+35 4щ2−21 2щ4+щ6

] 0

2+щ2 7

3.5. Пусть функция

= 0 при < 0 и является периодической с периодом

> 0 при > 0.

Обозначим

при 0 ≤ ≤ Ф и

= 0 при < 0. Очевидно, =

+ − Ф .

+ [ − Ф =

− Ф [ ][ ]

Отсюда находим

1 − − Ф

1− − Ф

	1	Ф [ ] − Ф
	1− − Ф	Ф [ ] − Ф
	1− − Ф	0

3.6. Найти изображение функции , определяемой следующим образом:

	a		ïðè	t		;
		1			1
	a2		ïðè	1 t 2;
	f (t)
	...
			ïðè	t n 1.
	an		ïðè	t n 1.
Здесь	a1 , a2 , ... , an	- заданные вещественные постоянные,
1 , 2	, ... , n 1 - заданные положительные числа.

Функция f(t) называется ступенчатым ходом.

Решение. Используя единичную функцию Хевисайда , мы можем представить f(t) следующим образом :

f (t) a1 (t) (a2 a1 ) (t ) (a3 a2 ) (t 2 ) ... (an an 1 ) (t n 1 ).

Пользуясь свойством 2.8, находим преобразование Лапласа этой функции

F ( p)

a2 a1

exp( p

)

exp( p

) ...

an an 1

exp( p

)

n 1

Графически f(t)

изображается

ступенчатой

линией. Если

a1 1, a2

1, a3

1, ... ,1 , 2 2 , ... ,

мы

получим

бесконечный ступенчатый ход, преобразование Лапласа

которого равно

(1 exp( p ) exp( 2 p ) ...)

(1 cth(

)).

2 p

4. Обратное преобразование Лапласа

Теорема 4.1(основная). Пусть функция удовлетворяет условию (1.1) иеѐ изображение. Тогда в любой точке > 0, в которой функция дифференцируема, справедлива формула представления

=	1	у+ ∞ [ ] , у >	(4.1)
	2р
		у− ∞

Доказательство. Рассмотрим функцию = −у у > . Очевидно, функция интегрируема на (0, ∞) и дифференцируема в точке > 0. Рассматривая как преобразование Фурье функции , применим формулу обращения преобразование Фурье

После умножения последнего равенства на у получаем (4.1).

Формула (3.1) называется формулой обратного преобразования Лапласа или формулой Меллина.

Теорема 4.1 обладает тем недостатком ,что для еѐ применения требуется предварительно обладать информацией о свойствах исходного оригинала[ ]. В следующей теореме устанавливается формула обращения при достаточных условиях только на изображение [ ].

Теорема 4.2. Пусть [ ] аналитическая в полуплоскости > б функция, удовлетворяющая условиям

4.2.1. При любом у > б существует интеграл 1 = −∞∞ [у + о] о.

4.2.2. Для Г =	;		= ; ≥ у ≥ у0 > -дуги окружности радиуса
R с центром в точке (у, 0)
		=		[ ] → 0 при → ∞
			Г

Тогда [ ] есть изображение функции [ ], представленной формулой (4.1)

(у ≥ у0 > )

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный контур Г[у1, у2, ]. По теореме

Коши интеграл J[у1, у2, ] по контуру Г[у1, у2, ]	равен нулю. Перейдѐм к
пределу в J[у1, у2, ] при → ∞.Легко убедиться, что интегралы по верхней
и нижней сторонам прямоугольника стремятся	к нулю при → ∞, а

интегралы по боковым сторонам в пределе оказываются равными по величине. Таким образом. Интеграл (4.1) не зависит от выбора у ≥ у0 > .

Докажем. Что построенная по формуле (4.1) функция [ ] действительно является оригиналом заданной функции [ ] .Прежде всего заметим, что для интеграла (4.1) справедлива оценка

			у ∞
		[ ] ≤		−∞ [у + о] о
		[ ] ≤	2р	−∞ [у + о] о
Отсюда следует, что интеграл (4.1) равномерно по (0, Ф) сходится.
Докажем,	что = 0 при < 0 .Для этого рассмотрим				интеграл	по

замкнутому контуру г		в полуплоскости ≥ у0(у0 > )			.состоящему из
дуги окружности ГR		радиуса R и отрезка прямой.По			теореме	Коши
г	= 0 .
г	= 0 .

В силу леммы Жордана интеграл по дуге окружности стремится к нулю при

< 0 и → ∞. Оставшийся интеграл в пределе переходит в интеграл по прямой = у, равный нулю при < 0. Следовательно, = 0 при < 0.

Покажем, наконец, что преобразование Лапласа в точке = ( > ) совпадает с [ ].С помощью формулы Коши находим при < <

0∞ − =

0∞12р у− ∞у+ ∞ − =12р у− ∞у+ ∞ 0∞ − =12р у−

∞у+ ∞ − =12р г − = [ ] При выводе мы учли, что интеграл по прямой можно заменить на интеграл по замкнутому контуру г ,так как

1		1						2р
		≤				≤			→ 0 при → ∞
2р	г −	≤	2р	г	−	≤	2р( − )		→ 0 при → ∞

Замечание 4.1. Мы используем лемму Жордана в следующей формулировке

Лемма

Жордана.

Пусть

> 0 и +

-полуокружность

радиуса

полуплоскости ≥ 0. Если функция [ ] удовлетворяет условиям

функция [ ]

непрерывна при ≥ 0 ,

≥ 0 > 0 .

+ [ ]

→ 0 , → ∞

Тогда

+ [ ] − → 0 при → ∞

Доказательство. Сделаем замену переменной

интегрирования

ц (−

≤ ц ≤

)

.Тогда справедлива оценка интеграла

+ [ ] −

≤

2р − cos[ц] ц = 2

2р − sin[ц] ц

2р − cos[ц] ц = 2

−2

Как известно, при 0 ≤ ц ≤

.Продолжим оценку интеграла

+ [ ] −

− 2ц

− ) ≤

≤ 2

ц =

(1 −

→ 0 при → ∞

Лемма доказана.

5. Пример на вычисление преобразования Лапласа

Задача. Найти преобразования Лапласа функции f[t]=t−в, 0 < в<1

L[f[t]][p]=	Г[1−в]	(5.1)
	p1−в

Здесь введена гаммафункция Г[z]= 0∞ z-1 e−t dt, Rez>0.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]