Интегральные преобразования в уравнениях с частными производными (110
..pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” (ФГБОУ ВПО «ВГУ»)
Интегральные преобразования в уравнениях с частными производными
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель: Ю.Б. Савченко С.А. Ткачева
Воронеж
2012
Утверждено научно-методическим советом математического факультета
14 декабря 2012 года протокол № 0500-09
Рецензент: к.ф-м. н., доцент Леженина И.Ф.
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета
Воронежского государственного университета
Рекомендуется для студентов 1 курса магистратуры очной формы обучения математического факультета, обучающихся по направлению:
010100 Математика
1
1. Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение.
Пусть |
−интегрируемая |
на (0,T) при любом Т>0 функция, равная нулю |
|||
при >0: [ ] =0 при <0. Если эта функция при >0 удовлетворяет оценке |
|||||
|
[ ] |
≤ , > 0, ≥ 0, > 0, |
|
(1.1) |
|
то можно рассмотреть интеграл |
|
|
|||
|
= |
∞ [ ] − , = у + о, у > , о . |
(1.2) |
||
|
|
0 |
|
|
|
Действительно, справедлива оценка |
|
|
|||
[ ] ≤ |
∞ [ ] −у = |
∞ [ ] − − у− ≤ |
∞ |
− у− = |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
у− <∞. |
|
|
|
|
(1.3) |
При выводе (1.3) была использована оценка (1.1). Из оценки (1.3), в частности, следует, что [ ] → 0 у = → ∞.
Функция [ ]является аналитической функцией комплексной переменной p в плоскости > . Для того чтобы это проверить, находим пока формально
|
= |
∞ (− ) − . |
(1.4) |
|
|||
|
0 |
|
Как и при выводе (1.3), находим
|
|
≤ ∞ − |
− у− ≤ ∞ − у− = |
− |
∞ − у− = |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
у− |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
− |
|
− у− |
− − у− = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
у− |
|
|
у− 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Последнее означает, что интеграл равномерно |
по > сходится |
и, |
|||||||||||||||
следовательно, производная |
|
|
существует при > , и формула (1.4) |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
справедлива при > . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Интеграл (1.2) |
называется преобразование |
Лапласа |
функции |
и |
|||||||||||||
обозначается . |
В этом случае функция |
называется оригиналом, |
а |
||||||||||||||
функция = − изображением. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Преобразование Лапласа можно связать с преобразованием Фурье.
Действительно, |
из |
|
(1.2) |
имеем |
||
= |
∞ − у+ о = |
∞( −у ) − о dt= |
∞ |
|
[ ] − о , |
где = |
|
0 |
0 |
−∞ |
|
|
[ ] −у при ≥ 0 и = 0 при < 0 (преобразование Фурье берѐтся со знаком -).
В дальнейшем все приводимые в тексте примеры будут отмечаться знаком
" ".
Найти преобразование Лапласа |
функции Хэвисайда и |
= 1 при ≥ |
0 и и = 0 при < 0. Заметим, что |
оценка (1.1) для функции |
Хэвисайда |
и выполняется при = 1 и = 0. Следовательно, преобразование Лапласа функции Хэвисайда существует и является аналитической функцией при
> 0.
и = |
∞ и − = |
∞ − = |
1 |
|
||
|
||||||
|
0 |
0 |
|
|||
В пакете Mathematica функции Хэвисайда и |
обозначается UnitStep[t]. |
Для нахождения преобразовании Лапласа функции используется команда LaplaceTransform[ , , ]. Здесь через обозначается аргумент оригинала, через -аргумент изображения. Найдѐм, например, преобразование Лапласа функции Хэвисайда
LaplaceTransform[UnitStep , , ]
1.
2. Свойства преобразования Лапласа
2.1.Линейность
1 1 + 2 2 = 1 1 + 2 2 , 1 = . , 2 = .
2.2.Дифференцирование изображений
|
= |
∞ (− ) − , = 1,2, … . ; > . |
|
||
|
0 |
2.3. Преобразование Лапласа производных
= − ( −1 +0 + −2 1 +0 + +
−1 +0 )
2.4.Сдвиг преобразование Лапласа
|
− |
= 0 |
, > + |
|
0 |
|
0 |
2.5. Интегрирование оригинала в преобразовании Лапласа
3
[ 0 ф ф] = 1 [ [ ][ ]
2.6. Преобразование Лапласа свѐртки f*g.
|
= |
, где |
|
= |
0 − ф ф ф |
|||||||||||||
2.7. Преобразование Лапласа и преобразование подобия |
|
|
|
|||||||||||||||
При любом к>0 справедливо тождество |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
∞ − = |
1 |
|
∞ − ф |
ф = |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
2.8. Сдвиг оригинала в преобразовании Лапласа |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
− |
= |
− 0 , > 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
− |
= ∞ − − ф− |
0 ф = |
− 0 |
|
|
|||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.9. Преобразование Лапласа от дроби |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
[ 0 ф ф = |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычисление преобразования Лапласа основных функций
3.1. |
= л . > л, л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
л − = |
−( −л) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
− л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.2. |
= щ , щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
По формулам Эйлера имеем щ |
= |
1 |
|
( щ - − щ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому с помощью 3.1. щ |
= |
|
1 |
щ |
|
|
|
− − щ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 1 |
− |
1 |
|
= |
щ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2й − щ |
+ щ |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
щ |
= |
|
|
|
щ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.3. |
= щ , щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
По определению гиперболических функций щ |
= |
|
щ − |
−щ |
|
. Поэтому |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щ |
= |
|
1 |
|
щ − −щ |
= |
1 |
|
|
1 |
|
− |
|
1 |
|
= |
|
|
щ |
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
2 −щ |
+щ |
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−щ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щ |
= |
|
щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.4. |
= л . > л, л , = 1,2, …. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
По свойству 2.2 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ л |
− = (−1) ∞(− ) л − |
= −1 |
|
|
|
1 |
= |
||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
−л |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
!( −л) +1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( −л) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В частности, |
= |
! |
(л = 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти преобразование Лапласа [ 6 cos[щ ]] и [ 6 sin[щ ]] . Для этого
воспользуемся формулами [ cos щ |
|
|
= ! [ |
|
+ щ +1 |
] и |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
|||
[ sin щ |
|
|
= ! [ |
|
+ щ +1 |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ComplexExpand [ |
|
+ щ 7 |
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
+щ |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
7 |
|
− |
21 5щ2 |
|
+ |
35 3щ4 |
|
− |
|
|
|
7 щ6 |
+ |
|
|
7 6щ |
|
− |
35 4щ3 |
+ |
21 2щ5 |
− |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
+щ |
2 7 |
|
2 |
+щ |
2 7 |
|
|
|
2 |
|
|
2 7 |
|
2 |
|
|
2 7 |
|
|
2 |
2 7 |
|
2 |
2 7 |
2 |
2 7 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
+щ |
|
||||||||||||||||
щ7 2+щ27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
[ 6 cos щ |
|
|
= 6! ( |
|
|
|
|
7 |
|
|
− |
|
|
21 5щ2 |
+ |
|
35 3щ4 |
− |
|
|
7 щ6 |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
7 |
2 2 7 |
2 2 7 |
|
|
2 2 7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
[ 6 sin щ |
|
|
= 6! |
|
|
|
|
7 6щ |
|
|
|
− |
|
|
35 4щ3 |
|
+ |
|
21 2щ5 |
− |
|
|
|
|
щ7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
2 |
|
2 |
7 |
|
2 |
|
2 7 |
|
|
2 |
|
|
2 7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
|
|
Этот же результат получается с помощью команды LaplaceTransform пакете
Mathematica
[ щ , , ]
[ щ , , ]
(720 6 − 21 4щ2 + 35 2щ4 − 7щ6 )/ 2 + щ2 7 − (720щ −7 6 +
35 4щ2−21 2щ4+щ6)/ 2+щ27
Сравним полученные ответы
5
|
|
|
|
7 |
|
|
5 |
щ |
2 |
|
|
|
3 |
щ |
4 |
|
7 |
6 |
|
|
|
|
[6! |
|
|
|
− |
21 |
|
+ |
|
35 |
|
− |
щ |
|
− (720 6 |
− |
|||||||
|
2 |
|
2 7 |
2 |
|
2 |
7 |
|
2 |
2 |
7 |
2 |
2 |
7 |
||||||||
|
|
+щ |
+щ |
|
|
|
+щ |
|
|
+щ |
|
|
|
|||||||||
21 4щ2+35 2щ4−7щ6)/ 2+щ27] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 6щ |
35 4щ3 |
21 2щ5 |
|
|
щ7 |
|
|
|
||||||||||||
[6! |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
2 |
|
2 7 |
2 |
|
|
2 |
7 |
|
2 |
|
2 |
7 |
2 |
2 |
7 |
|
|||||
|
|
+щ |
|
+щ |
|
|
|
|
+щ |
|
|
|
+щ |
|
|
|
||||||
720щ −7 6+35 4щ2−21 2щ4+щ6 |
] 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2+щ2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.5. Пусть функция |
= 0 при < 0 и является периодической с периодом |
|||||||||||||||||||||
> 0 при > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обозначим |
= |
при 0 ≤ ≤ Ф и |
= 0 при < 0. Очевидно, = |
|||||||||||||||||||
+ − Ф . |
= |
|
+ [ − Ф = |
+ |
||||||||||||||||||
− Ф [ ][ ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда находим |
1 − − Ф |
|
= |
|
|
|
|
=
=
1− − Ф
1 |
Ф [ ] − Ф |
|
1− − Ф |
||
0 |
3.6. Найти изображение функции , определяемой следующим образом:
|
a |
ïðè |
t |
|
; |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
a2 |
ïðè |
1 t 2; |
|||
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðè |
t n 1. |
||
|
an |
|||||
Здесь |
a1 , a2 , ... , an |
- заданные вещественные постоянные, |
||||
1 , 2 |
, ... , n 1 - заданные положительные числа. |
Функция f(t) называется ступенчатым ходом.
Решение. Используя единичную функцию Хевисайда , мы можем представить f(t) следующим образом :
f (t) a1 (t) (a2 a1 ) (t ) (a3 a2 ) (t 2 ) ... (an an 1 ) (t n 1 ).
Пользуясь свойством 2.8, находим преобразование Лапласа этой функции
6
F ( p) |
a1 |
|
|
a2 a1 |
exp( p |
|
) |
a3 |
a2 |
exp( p |
|
) ... |
an an 1 |
exp( p |
|
) |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n 1 |
|||||||||||
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Графически f(t) |
изображается |
ступенчатой |
|
линией. Если |
|
|
|||||||||||||||||
a1 1, a2 |
1, a3 |
1, ... ,1 , 2 2 , ... , |
мы |
|
получим |
|
|
||||||||||||||||
бесконечный ступенчатый ход, преобразование Лапласа |
|
|
|||||||||||||||||||||
которого равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
(1 exp( p ) exp( 2 p ) ...) |
1 |
(1 cth( |
p |
)). |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p |
2 |
|
|
|
|
a3
a2
a1
4. Обратное преобразование Лапласа
Теорема 4.1(основная). Пусть функция удовлетворяет условию (1.1) иеѐ изображение. Тогда в любой точке > 0, в которой функция дифференцируема, справедлива формула представления
= |
1 |
у+ ∞ [ ] , у > |
(4.1) |
|
2р |
||||
|
у− ∞ |
|
Доказательство. Рассмотрим функцию = −у у > . Очевидно, функция интегрируема на (0, ∞) и дифференцируема в точке > 0. Рассматривая как преобразование Фурье функции , применим формулу обращения преобразование Фурье
|
1 |
∞ |
|
1 |
у+ о |
|
= |
|
у + о о о = |
−у |
|||
2р −∞ |
2р |
|||||
|
|
у− о |
После умножения последнего равенства на у получаем (4.1).
7
Формула (3.1) называется формулой обратного преобразования Лапласа или формулой Меллина.
Теорема 4.1 обладает тем недостатком ,что для еѐ применения требуется предварительно обладать информацией о свойствах исходного оригинала[ ]. В следующей теореме устанавливается формула обращения при достаточных условиях только на изображение [ ].
Теорема 4.2. Пусть [ ] аналитическая в полуплоскости > б функция, удовлетворяющая условиям
4.2.1. При любом у > б существует интеграл 1 = −∞∞ [у + о] о.
4.2.2. Для Г = |
; |
|
= ; ≥ у ≥ у0 > -дуги окружности радиуса |
|
R с центром в точке (у, 0) |
|
|
||
|
|
= |
[ ] → 0 при → ∞ |
|
|
|
|
Г |
|
Тогда [ ] есть изображение функции [ ], представленной формулой (4.1)
(у ≥ у0 > )
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный контур Г[у1, у2, ]. По теореме
Коши интеграл J[у1, у2, ] по контуру Г[у1, у2, ] |
равен нулю. Перейдѐм к |
пределу в J[у1, у2, ] при → ∞.Легко убедиться, что интегралы по верхней |
|
и нижней сторонам прямоугольника стремятся |
к нулю при → ∞, а |
интегралы по боковым сторонам в пределе оказываются равными по величине. Таким образом. Интеграл (4.1) не зависит от выбора у ≥ у0 > .
Докажем. Что построенная по формуле (4.1) функция [ ] действительно является оригиналом заданной функции [ ] .Прежде всего заметим, что для интеграла (4.1) справедлива оценка
|
|
|
|
у ∞ |
|
|
|
|
|
|
[ ] ≤ |
|
−∞ [у + о] о |
|
|
|
|
|
2р |
|
|
||
Отсюда следует, что интеграл (4.1) равномерно по (0, Ф) сходится. |
|
||||||
Докажем, |
что = 0 при < 0 .Для этого рассмотрим |
интеграл |
по |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
замкнутому контуру г |
в полуплоскости ≥ у0(у0 > ) |
.состоящему из |
|||||
дуги окружности ГR |
радиуса R и отрезка прямой.По |
теореме |
Коши |
||||
г |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу леммы Жордана интеграл по дуге окружности стремится к нулю при
8
< 0 и → ∞. Оставшийся интеграл в пределе переходит в интеграл по прямой = у, равный нулю при < 0. Следовательно, = 0 при < 0.
Покажем, наконец, что преобразование Лапласа в точке = ( > ) совпадает с [ ].С помощью формулы Коши находим при < <
0∞ − =
0∞12р у− ∞у+ ∞ − =12р у− ∞у+ ∞ 0∞ − =12р у−
∞у+ ∞ − =12р г − = [ ] При выводе мы учли, что интеграл по прямой можно заменить на интеграл по замкнутому контуру г ,так как
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2р |
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
≤ |
|
|
→ 0 при → ∞ |
2р |
г − |
2р |
г |
− |
2р( − ) |
Замечание 4.1. Мы используем лемму Жордана в следующей формулировке
Лемма |
|
Жордана. |
|
Пусть |
|
|
> 0 и + |
-полуокружность |
|
радиуса |
|
в |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полуплоскости ≥ 0. Если функция [ ] удовлетворяет условиям |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
функция [ ] |
непрерывна при ≥ 0 , |
≥ 0 > 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
= |
|
+ [ ] |
|
|
→ 0 , → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
+ [ ] − → 0 при → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Сделаем замену переменной |
интегрирования |
= |
||||||||||||||||||||||||||
ц (− |
р |
≤ ц ≤ |
р |
) |
|
.Тогда справедлива оценка интеграла |
|
+ [ ] − |
≤ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2р − cos[ц] ц = 2 |
2р − sin[ц] ц |
|
|
||||||||||
|
2р − cos[ц] ц = 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как известно, при 0 ≤ ц ≤ |
2 |
ц |
.Продолжим оценку интеграла |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
р |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ [ ] − |
|
|
|
|
|
|
р |
|
− 2ц |
|
|
р |
|
− ) ≤ |
р |
|
|
|
|
|||||||||
≤ 2 |
|
2 |
|
р |
ц = |
|
|
|
(1 − |
|
|
→ 0 при → ∞ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма доказана.
5. Пример на вычисление преобразования Лапласа
Задача. Найти преобразования Лапласа функции f[t]=t−в, 0 < в<1
L[f[t]][p]= |
Г[1−в] |
(5.1) |
p1−в |
Здесь введена гаммафункция Г[z]= 0∞ z-1 e−t dt, Rez>0.
9