Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование (110

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

975.01 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” (ФГБОУ ВПО «ВГУ»)

МАТЕМАТИКА

Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование

Учебно-методическое пособие для вузов

Составители: Ю.Б. Савченко С.А. Ткачева

Воронеж

2012

Утверждено научно-методическим советом математического факультета

14 декабря 2012 года протокол № 0500-09

Рецензент: д.ф-м. н., проф. Костин В.А.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета

Воронежского государственного университета

Рекомендуется для студентов 1 курса очной формы обучения геологического факультета, обучающихся по специальностям:

020700 – геология

1. Предел переменной величины.

1.1. Предел числовой последовательности.

Число a называется пределом последовательности x1 , x2 ,...,xn ,…:

lim xn a ,

если для любого 0 существует число N N( ) такое, что

xn a при n N .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность n называется бесконечно малой, если

lim n 0

Последовательность xn называется бесконечно большой, если

Для любого	числа	E 0	существует номер N	такой, что при n N
выполняется	неравенство		\| xn \| E .
Теорема 1.1.		Если xn - бесконечно большая		последовательность, то

	1	,	(xn 0) - бесконечно малая последовательность,


xn

	1			( n 0)
бесконечно малая последовательность, то	1		,
бесконечно малая последовательность, то			,
		n
		n

если n -

- бесконечно

большая последовательность.

1.2.

Предел функции.

Число A называется пределом функции

f (x)

при x a ,

если для любого

сколь

угодно

малого

найдется

такое

0 , что

при

x a

f (x) A

. Пишут lim

f (x) A .

x a

Аналогично

lim

f (x) A,

f (x) A

при | x | N( ) .

если

lim f (x) означает,

f (x)

x a

(E), где E

Запись

что

при

x a

- произвольное положительное число.

Односторонние пределы.

Если

x a и

x a , то

условно пишут

x a 0 ; аналогично, если

x a

x a ,

то

это

записывают

как

x a 0. Числа

f (a 0) lim

f (x)

и f (a 0) lim f (x)

x a 0

называются соответственно пределом слева функции

f (x)

в точке

a и

пределом справа функции

f (x)

в точке a (если эти числа существуют).

Для существования предела функции

f (x) при

x a

необходимо и

достаточно, чтобы имело место равенство

f (a 0) f (a 0) .

Пример 1. Доказать, что

lim

0 .

При каких значениях

n N будет

n n

выполнено неравенство

0,001?

Решение. Неравенство

будет выполняться, когда n

. В

числа

качестве N

можно взять целую часть

. Таким образом,

для

любого 0

можно указать N

, такое что для всех n

будет

выполняться

неравенство

Таким

образом,

согласно

определению,

последовательность

является

бесконечно малой.

Пусть 0,001,

неравенство

будет иметь

место, когда

n 1000 , следовательно,

1000

N 1000.

Пример 2.

Доказать, что lim

4 .

Решение. Возьмем произвольное число 0 и составим разность

a 4

была меньше ,

Потребуем, чтобы эта разность по абсолютной величине

т.е.,

3n .

Логарифмируя обе части неравенства,

получим

n lg 3 ,

откуда

В качестве числа N можно взять меньшее из

lg 3

двух целых чисел, между которыми заключено число

. Тогда при всех

lg 3

n N

указанное

неравенство будет

выполняться,

это

значит,

что

lim xn lim

4 .

Замечание.

Одновременно

доказано,

что

lim

0 , т.е.

величина

n 3n

есть бесконечно малая величина lim

0 .

n 3n

Пример 3.

Доказать, что lim

3x 7

Решение. Для доказательства достаточно убедится, что разность между

переменной

величиной y

3x 7

постоянной

при

x есть

величина бесконечно малая.

Преобразуем эту разность

3x 7

3x 7 3x

Так

как

величина

при

x является бесконечно малой, то

3x 7

где - бесконечно малая.

Контрольные примеры

Начиная с какого номера значения каждой из последовательностей:

;

3) z

, ( n 1,2,3,...)

становятся

остаются

меньше

0,0001?

Показать,

что

каждая

последовательность имеет пределом нуль.

Доказать, что каждая из последовательностей

( 1)n

имеет пределом нуль. Начиная с какого

номера значения каждой из них по

абсолютной величине остаются меньше 0,001?

Даны три последовательности:

;

( 1)n

Доказать, что:

lim xn 2 ;

2) lim yn

3 ;

3) lim zn 7 .

4. Доказать, что:

1) lim

4x 5

;

2) lim (4x 7) 5 ;

x 3

lim (5x 8) 3 ;

4) lim (3x2 4x 6) 10

x 1

x 2

Найти

односторонние

пределы

при

x 2

слева и

справа для

следующих функций:

						6
1)	f (x)	8	;	2)	f (x)	4		;

		2 x				(x 2)2
		1					1

3)	f (x) 2 2 x ;			4)	f (x) arctg				.

							x
						2	x

1.3.Нахождение пределов

Практическое вычисление пределов основывается на следующих

теоремах:

Если существуют конечные пределы lim f (x)

и lim g(x) , то

lim f (x) g(x) lim

x a

f (x) lim g(x);

x a

lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) ;

x a

lim

c f (x) c lim f (x) ,

(c const );

x a

lim f (x) n lim f (x) n ,

( n - целое число,

n 0 );

x a

f (x)

lim f (x)

lim

x a

(при lim g(x) 0 );

g(x)

lim g(x)

x a

lim n f (x) n lim f (x) ;

x a

lim c c

(c const ) .

x a

Пример 4. Найти lim (3x2 2x 4) .

x 1

Так как предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов, и константу можно выносить за знак предела, то

lim (3x2 2x 4) = 3lim x2			2lim x lim 4= 3 ·12 +2·1-4=1.
x 1		x 1	x 1	x 1
Замечание 1.		Чтобы вычислить предел многочлена
P (x) b b x b x2 ... b xn
n	0 1	2	n
при x a	достаточно найти Pn (a) , например,

lim (3x5 4x4 3x3 2x2 4) =

x 1

= 3( 1)5 4( 1)4 3( 1)3 2( 1)2 4 3 4 3 2 4 4.

Пример 5.

Найти lim

5x2 4x 7

x2 2x 3

x 1

Так

как

предел

частного

равен

частному

пределов, то

4x 7

lim (5x2 4x 7)

1 7

lim

x 1

5 1

2 .

x 1

2x 3

lim (x2 2x 3)

2 1 2

x 1

Замечание 2. Если P(x)

и Q(x)

целые многочлены и

P(a) 0

Q(a) 0 ,

то

предел

рациональной

дроби

lim

P(x)

находится

Q(x)

x a

непосредственно,

т.е. lim

P(x)

P(a)

x a

Q(x)

Q(a)

Если же

P(a) Q(a) 0

, то дробь

P(x)

рекомендуется сократить

Q(x)

один или несколько раз на x a .

Пример 6.

lim

x2 4

lim

(x 2)(x 2)

lim

x 2

(x 2)(x 1)

x 2 x2 3x

x 2

x 2 x 1

Замечание 3. При отыскании предела отношения многочленов

относительно x ,

при

x оба члена отношения разделим на

xn , где

n -

наивысшая степень этих многочленов.

a x a

... a

lim R(x)

, n

b0 b1x b2 x

bm x

x a

n m

Предел частного

двух

многочленов

при

x равен

отношению

коэффициентов при старших членах,

если

степени числителя

знаменателя равны;

предел этот равен

или

если степень числителя

соответственно меньше или больше степени знаменателя.

Пример 7.

Найти

lim

2x 3 (3x 5)(4x 6) .

3x3 x 1

Решение.

2x 3 (3x 5)(4x 6)

)(4

)

2 3 4

lim

= lim

8 .

3x3 x

Выражения, использующие иррациональности, приводятся к

рациональному виду путем введения новой переменной

Пример 8.

Найти

lim

1 x

x 0 3

1 x 1

Решение. Полагая

1 x y6 ,

Имеем:

3 1

y 11

lim

1 x 1

= lim

lim

y 1

3 1 x 1

x 0

y 1

yx 1

Пример 9.

Найти

lim

sin 2 x

cos3

x 1

Решение.

Разлагая числитель и знаменатель на множители, сокращая

на множитель 1 cosx 0 , получим

lim

sin 2

lim

1 cos2

lim

(1 cos x)(1 cos x)

cos3

cos x)(1 cos x cos2

x 1

x (1

lim

1 cos x

1 ( 1)

( 1) ( 1)2

x 1 cos x cos2

Пример 10.

Найти

lim

1 3 5 ... (2n 1)

1 2 3 ... n

Решение. Числитель и знаменатель дроби являются суммой n членов соответствующих арифметических прогрессий. Находя эти суммы, получим

1 (2n 1)

1 3 5 ... (2n 1)

1 (2n 1)

lim

1 n

1 2 3 ... n

1 n

lim

2 lim

x n 1

Имеют место два замечательных предела

lim

sin

( 8 )

lim 1

( 9 )

При нахождении пределов вида

( x)

( 10 )

lim (x)

x a

следует иметь в виду, что:

1) если существуют конечные пределы lim (x) A и

x a

2) lim (x) B ,

x a

то C AB ;						(11)
3) если lim (x)	A 1 и	lim (x) , то вопрос о нахождении
x a		x a
предела (10) решается непосредственно;
4) если lim (x)	1 и lim (x)			, то полагают		(x) 1 (x),
x a	x a
где (x) 0 при x a и, следовательно,
	( x) ( x)			lim ( x) ( x)	lim ( x) 1 ( x)
C lim 1 (x) 1 ( x)			ex a		ex a	.
x a

Пример 11.

Найти

lim

sin x

x 0

Решение. Положим

x , откуда

. Если

x 0 ,

то и 0 ,

поэтому lim

sin x

lim

sin

a lim

sin

a 1 a .

x 0

Пример 12.

Найти

lim

sin x

x 0 sin bx

Решение.

Разделив числитель и знаменатель на

x ,

(см.

пример 11)

получаем

sin x

lim

sin x

lim

x 0

x 0 sin bx

lim

sin bx

x 0

Пример 13.

Найти

lim 1

Решение.

При

выражение

получаем

неопределенность 1 .

Введем новую переменную по формуле

, откуда

Если x , то 0 , поэтому

lim 1

lim

Пользуясь свойством (4) и формулой (9), получим

lim 1

Следовательно, lim 1

В частности, при k 3 , lim 1

e 2 .

при k 2 получаем lim 1

Пример 14.

Найти

lim

ln(1 x)

x 0

ln(1 x)

Решение.

Так как

ln(1 x) ln(1 x) x

то на основании

формулы (9) находим

ln(1 x)

lim

lim ln(1

x) x

ln lim (1

x) x

ln e 1.

x 0

sin 3x x 2

Пример 14.

Найти

lim

x 0

Решение. Это предел вида (10), где (x)

sin 3x

(x) x 2 . Так как

sin 3x

(см. пример

11),

lim

и lim (x 2) 2 ,

то в соответствии с

x 0

формулой (11) получаем

sin 3x x 2

9 .

lim

x 0

Контрольные примеры

Найти пределы:

ln(1 4x)

lim 1

2. lim 1

3x x

lim

x 0

lim x ln(1 x) ln x

x 1 x

lim

x x

x n x

sin

lim

7. lim

8. lim xsin

x x m

x 0

9. lim

arctgx

10. lim

sin ax

11. lim

arctgx

x 0

tgbx

x 0

sin

3 x

sin( x 1)

1 cos x tg 2 x

12. lim

13. lim

14. lim

x3 1

xsin x

x 0

x x 3

sin

2x 1

lim

15.

16. lim

17. lim

x 0

4x 3

3x 4

18.

lim cos x

19. lim cos x

20. lim 1 sin x

x 0

2ctg

x 0

sin x

lim sin x tg

22. lim 1 tg 2 x

21.

23. lim

x 0

x 9 3

x 2

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022653.7 Кб3Массаж (90..pdf
#
15.11.2022555.1 Кб2Массовая неприязнь к милиции (66..pdf
#
15.11.2022308.71 Кб12Мастерство концертмейстера в классе оркестровых инструментов Учебно-методическое пособие..pdf
#
15.11.2022638.6 Кб2Математика (110..pdf
#
15.11.2022762.14 Кб1Математика (90..pdf
#
15.11.2022975.01 Кб6Математика. Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование (110.pdf
#
15.11.2022670.87 Кб2Математика. Ч. III. Теория вероятностей. Тема III. Дискретная случайная величина (110.pdf
#
15.11.2022300.86 Кб11Математическая логика и теория алгоритмов (120..pdf
#
15.11.20221.04 Mб5Математическая логика и теория алгоритмов (90..pdf
#
15.11.2022371.86 Кб6Математическая статистика в геофизике (110..pdf
#
15.11.2022540.23 Кб11Математические методы защиты информации. Ч. 2 (90.pdf