Математика. Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование (110

1.4. Сравнение бесконечно малых величин

1º. Бесконечно малые.

Если

lim (x) 0, т.е. если

x a

(x)

при

0

x a

( ) , то

функция

(x)

называется

бесконечно малой при x a .

Пусть

(x)

и

(x)

бесконечно малые

при

x a . Если

lim (x)

1,

( 12 )

x a (x)

то бесконечно

малые

называются

эквивалентными. Пишут:

эквивалентной ей бесконечно малой, то есть если lim m, ~

, ~

1

,

x a

1

то

lim

1

lim

m .

( 13 )

x a

1

x a

Полезно использовать эквивалентность следующих бесконечно малых:

если 0 , то

sin ~ ,

tg ~ ,

arcsin ~ , arctg ~ ;

ln 1 ~ ,

1 m 1 ~ m ;

( 14 )

a 1 ~ ln a,

а также значения некоторых пределов:

lim

ln(1 )

1 ,

( 15 )

0

lim

a 1

ln a ,

( 16 )

0

lim 1 m 1 m .

( 17 )

0

Здесь (x) - бесконечно малая функция.

Пример 15.

Найти

lim

sin x 3

.

x 3 x2 4x 3

Решение.

При x 3,

x 3 0 , следовательно,

sin(x 3) ~ x 3

lim

sin x 3

lim

x 3

lim

1

1

.

x2 4x 3

x 3 x 1

x 3

x 3

x 3

x 1 2

Пример 16. Найти

lim

cos4x cos2x

.

x 0

arcsin2 3x

13

2. Производная и дифференциал

2.1.

Определение производной

Производной функции y f (x)

в точке

x

называется конечный

предел

при

x 0

отношения приращения

функции в этой точке к

приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

lim

f x x f (x)

lim

f f / (x) .

( 1 )

x 0

x

x 0

x

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Пример 1.

Найти производную функции f (x) x2 .

Решение.

Давая

аргументу

x

приращение

x . Найдем

соответствующее приращение функции

f f (x x) f (x) (x x)2 x2 x2 2x x ( x)2

Составим отношение

f

2x x ( x)2

x

x

Найдем предел этого отношения при x 0 .

lim

f

lim

2x x ( x)2

2x .

x

x

x 0

x 0

Следовательно, производная функции

f (x) x2

равна 2x , что можно

записать так: (x

2

) 2x.

и ее график. Путь точка

— фиксированная

точка графика функции, соответствующая

значению

аргумента

; точка

— соответствует значению аргумента

.

Проведем через точки

прямую и назовем ее секущей.

Определение. Касательной к графику функции

y f (x)

в точке

будем называть предельное положение секущей M0 M при стремлении точки

M графика функции к точке

M0 или, что то же самое, при стремлении

x к

нулю (если оно существует).

Уравнение секущей, проходящей через две точки,

M и M0 имеет вид:

y f (x )

f

x0 x f (x0 )

(x x

)

.

0

x

0

Если

функция

y f (x)

дифференцируема в

точке

(x x0 ) ,

то

предельное положение секущей

M0 M ,

при стремлении точки M к точке

M0 (при

x 0 ) существует,

и ее уравнение (уравнение касательной к

графику функции y f (x) в точке M0

следующее

y f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) .

равна

угловому коэффициенту касательной

Итак, производная f (x0 )

к графику функции y f (x) в точке M0

, т.е. тангенсу ее угла наклона к оси

Ox.

1º. Основные правила нахождения производной.

Пусть C const, u u(x), v v(x)

- дифференцируемые функции.

Тогда:

2) Cu /

3) u v /

1) C / 0;

Cu / ;

u /

v/ ;

/

/

/

u

/

u / v uv

/

4) uv

u

v uv

;

5)

;

v2

v

6)

если

y f (u),

u u(x),

имеют

производные,

то

y / (x) y / (u) u / (x)

(правило дифференцирования сложной функции).

7)

Пусть y f (x)

и

x ( y) - взаимно обратные функции, y f (x)

имеет

производную

( f

тогда

обратная

функция имеет

(x) 0),

производную xy

1

.

yx

2.

1

(x 0) .

( x )

2 x

1

5.

(tgx)

cos2 x .

1

6.

(ctgx)

sin 2 x .

7.

(arcsin x)

1

(| x | 1) .

1

x2

8.

(arccosx)

1

(| x | 1) .

1 x2

1

x2 .

9.

(arctgx) 1

1

x2 .

10. (arctgx) 1

1

(x 0) .

13.

(ln x)

x

,

14.

(log a x)

1

, (x 0,

a 0) .

x ln a

1

17.

(thx) ch2 x .

1

18.

(cthx) sh 2 x .

1

19.

( Arshx)

x2

1

1

(| x | 1),

20.

( Archx)

x2 1

,

1

(| x | 1) .

1 x2

21.

( Arthx)

,

1

x2

1

(| x | 1).

22.

( Arcthx)

,

16

3º. Производная степенно-показательной функции.

uv /

v uv 1 u / uv ln u v/ ,

( 2 )

y

f (x)

(ln y)

y

f (x)

( 3 )

Пример 2.

y x3 cos x .

Решение. Применим формулу для производной произведения

y

(x

3

3

3x

2

cosx x

3

sin x .

) cosx x

(cosx)

Пример 3.

y

2x2

1

.

cos x

2

2

2

(2x

1) cos x (2x

1)(cosx)

2x cos x (2x

1)sin x

Решение. y

.

cos2 x

cos2 x

y 3

2

.

Пример 4.

x2

x

1

2

1

2

1

3

2

1

2

Решение.

y 3

x

2

x 3

2 x

2

x 3

x

2

.

x

3

33 x x x

Пример 5.

y cos2 x .

Решение.

Это сложная функция, ее можно представить в виде: y u 2

, где

Пример 6.

y earcsinx

Решение. u arcsin x,

y eu ;

y eu u

earcsinx

1 x2

Пример 7.

y ctg 3 x4

5 .

17

Решение.

y u3 , u ctgv;

v

w, w x4

5.

Следовательно,