Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика (110

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

638.6 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство сельского хозяйства РФ

ФГБОУ ВПО «Самарская государственная сельскохозяйственная академия»

Кафедра «Высшая математика»

Г. В. Сичинава, Г. З. Алмасова

МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для выполнения контрольной работы по теме

«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии»

Кинель РИЦ СГСХА

2012

УДК 517.3(07) ББК 22.11 р

С-41

Сичинава, Г. В.

С-41 Математика : методические указания для выполнения контрольной работы / Г. В Сичинава, Г. З. Алмасова. – Кинель : РИЦ СГСХА, 2012. – 32 с.

Издание содержит краткие указания к выполнению контрольной работы, а также решения некоторых задач, тщательный разбор которых поможет выполнить соответствующую контрольную работу.

Методические указания предназначены для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 110400.62 «Агрономия».

©ФГБОУ ВПО «Самарская ГСХА», 2012

©Сичинава Г.В, Алмасова Г.З., 2012

ПРЕДИСЛОВИЕ

Методические указания составлялись в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и Примерной программы дисциплины «Математика».

Цель методических указаний – помочь студентам-бакалаврам, в освоении темы «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» и в подготовке к экзаменам, а также при выполнении контрольной работы по данной теме.

Издание содержит указания для выполнения контрольной работы, пример решения типового варианта, задания для контрольной работы и вопросы для самопроверки, что дает возможность систематизировать имеющиеся знания и ликвидировать пробелы в них.

УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Контрольная работа "Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии" содержит 4 задания. В нее включены следующие разделы высшей математики: матрицы, определители и их свойства, системы линейных уравнений, векторы, скалярное и векторное произведения векторов, уравнение линии на плоскости, кривые второго порядка.

К выполнению контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала курса, также следует внимательно разобрать решения тех задач, которые приводятся в данном издании. При этом следует руководствоваться следующими указаниями.

1. Работу следует выполнять в тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, полный шифр, номер контрольной работы и дата ее отправки в академию. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа.

Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 2 – 3 см.

2. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

3.Контрольная работа должна выполняться самостоятельно. Если будет установлено, что контрольная работа выполнена не самостоятельно, то она не будет зачтена, даже если в этой работе все задания решены верно.

4.В период экзаменационной сессии студент обязан представить прорецензированную и зачтенную контрольную

работу. При необходимости (по требованию преподавателя) студент должен давать на экзамене устные пояснения ко всем или некоторым задачам, содержащимся в работе.

5. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с двумя последними цифрами его учебного шифра. Если две последние цифры шифра 03, то номера задач для соответствующего варианта будут следующими: 1.3, 2.3, 3.3, 4.1.3 и т.д.; если же последние цифры 26, то номера задач для

соответствующего	варианта	будут	следующими:
1.26, 2.26, 3.26, 4.1.26 и т.д.

6. Если в процессе изучения материала или при решении той или иной задачи у студента возникают вопросы, на которые он сам не может ответить, то можно обратиться к преподавателю для получения консультации. Консультации проводятся в первую и третью субботы каждого месяца, исключения составляют праздничные дни.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

Задание 1. Даны векторы

a 4i 4k , b i 3 j 2k , c 3i 5 j.

Необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех

векторов

5c ; б)

найти площадь

параллелограмма,

b ,

построенного

на

векторах

3c, b ; в)

вычислить

скалярное

произведение

двух

векторов

a, 3b ; г) проверить, будут ли

коллинеарными

или

ортогональными

два

вектора a, b ;

д) проверить, будут ли компланарны три вектора a, b ,

c .

Решение .

а) Так как

5c 15i

25 j , то смешанное произведение трех

векторов a,

b , 5c равно

100 180 200 480.

б) Поскольку 3c 9i 15 j , то


		i		j	k

3c	b	9	15 0			30i	27k 15k 18 j 30i 18 j 42k ,
		1	3		2

тогда площадь параллелограмма, построенного на векторах 3c, b будет равна

S 3c b 302 18 2 422 2988.

в) Находим: 3b 3i 9 j 6k , тогда скалярное произведение двух векторов a, 3b равно

a 3

4 ( 3) 0 9 4 6 12

г) Так

как

a (4, 0, 4),

то

( 1,3, 2)

векторы a,

не коллинеарны.

Поскольку

4 ( 1) 0 3 4 2 4 0 ,

то векторы

не ортогональны.

д) векторы

компланарны,

если

их

смешанное

a, b , c

произведение равно нулю, т.е.

c 0 . Вычислим смешанное

произведение векторов

c 1 3

2 20 36 40 0,

35 0

т. е. векторы a, b, c не компланарны.

Задание 2. Даны вершины треугольника

A(4,3), B( 3, 3), C(2,7) .

Найти:

а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН; в) уравнение медианы АМ;

г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;

е) расстояние от точки C до прямой AB.

Решение .

а) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки

	x x1		y y1			,
	x	x	y	2	y

2		1			1
получим уравнение стороны АВ:

				x 4								y 3				.
				3 4												.
Откуда				3 4							3 3
Откуда
6(x 4) 7( y 3)									или				6x 7 y 3 0 .
б) Используя уравнение прямой,													y kx b найдем угловой
коэффициент прямой АВ:				y	6		x			3		,	тогда				k				6	.	С учетом
коэффициент прямой АВ:				y			x					,	тогда				k	АВ				.	С учетом
			7					7										АВ		7
			7					7												7
условия перпендикулярности прямых АВ и СН (k k																			2	1) угловой
																		1	2
коэффициент высоты СН равен							kCH								7 .
							kCH								6
															6
Используя уравнение прямой, проходящее через точку с
угловым коэффициентом			y y0				k(x x0 ) ,										составим уравнение
высоты СН.
По точке С(2, 7)				и угловому коэффициенту																			kCH	7
																							kCH	6
																								6
составляем уравнение высоты СН:
7							или 7x 6 y 56 0 .
y 7	6		(x 2)
в) По формулам координат середины отрезка
x		x1 x2							, y					y1 y2
x									, y
			2												2
находим координаты x, у середины М отрезка ВС:
x 3 2						1	,		y				3 7				2.
x 3 2							,		y								2.
2			2												2

Теперь по двум известным точкам A и М составляем уравнение медианы AM:

x 4		y 3	или	2x 9 y 19 0.

1 2	4	2 3

г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы AM и высоты СН составляем систему уравнений

7x 6 y 56 0,2x 9 y 19 0.

Решая ее, получаем N (265, 4915).

д) Так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны, т.е. k 76 .

Тогда, согласно уравнению

y y0 k (x x0 ) ,

по точке С и угловому коэффициенту составляем уравнение прямой CD:

y 7 76 (x 2) или 6x 7 y 37 0.

е) Расстояние от точки С до прямой АВ вычисляем по формуле:

Ax0 By

0 C

A2 B2

тогда

6 2 7 7 3

4,4.

62 ( 7)2

Задание 3. Составить канонические уравнения:

а) эллипса; большая полуось которого равна 3, а фокус

находится в точке F(

5 , 0). Т.е. a = 3,

F( 5 , 0);

б)

гиперболы

мнимой полуосью,

равной 2, и

фокусом

F(–

13 , 0). Т.е. b = 2,

F(– 13 , 0);

в) параболы, имеющей директрису x = – 3, т.е. D: x = – 3,

где

– фокус,

a –

большая

(действительная)

полуось,

b – малая (мнимая) полуось, D – директриса кривой;

г) записать уравнение окружности, проходящей через фокусы

эллипса

x 2 4 y 2 4, и,

имеющей центр в его верхней вершине.

Решение .

а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид

По условию задачи большая полуось

a 3, c

5 . Для

эллипса выполняется равенство

b2 a2

c2 . Подставив в него

значения а и с,

найдем

(

5)2 4 .

Тогда

искомое

уравнение эллипса

y 2

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

y 2

По условию мнимая полуось b 2,

13 . Для гиперболы

справедливо равенство b2

c2 a2 . Поэтому b2

( 13)2 22 9 .

Записываем искомое уравнение гиперболы:

y 2

в) Каноническое уравнение параболы в данном случае должно

иметь вид

y2 2 px, а уравнение ее директрисы

x p 2 . Но по

условию

задачи

уравнение

директрисы

x 3.

Поэтому

p 2 3 ,

т.е.

p 6

искомое

каноническое

уравнение

параболы имеет вид

12x .

г)

Для данного

эллипса

y 2

вершина

имеет

координаты

A(0, 1), a 2,

b 1. Поэтому

c a2 b2 4 1 3

и фокусы находятся в точках

F1 ( 3, 0),

F1 (

3, 0) .

Радиус R

искомой окружности вычисляем по формуле расстояния между двумя точками: R AF1 AF2 3 0 2 0 1 2 2 .

В соответствии с каноническим уравнением окружности

x x0 2 y y0 2 R2

записываем искомое уравнение окружности:

x 0 2 y 1 2 22 или

x 2 y 1 2 4 .

Задание 4.

х1 2х2 3х3 5

4.1. Найти решение системы уравнений 3х1 2х2 5х3 2

2х1 х2 2х3 7

а) методом Крамера; б) методом обратной матрицы.

	1	2	3
Решение. а)	3	2	5	4 9 20 12 12 5 20 0 ,
	2	1	2

следовательно, система уравнений совместна и имеет единственное решение.

				5	2	3
1				2 2		5			20 6 70 42 25 8 3
				7	1	2
					5	3
			1		5	3
2			3 2			5		4 63 50 12 35 30
			2		7	2
51 50 93 92
					2	5
				1	2	5
	3			3 2		2	14 15 8 20 2 42 37 64 27 .
	3
				2	1	7
х1		1				3	; х2			2	92		; х3			3			27	.
х1		1				20	; х2				20		; х3							.
						20					20						20
		Решение системы:										3		;	92	;	27	.
		Решение системы:												;		;		.
											20				20		20
															10

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022261.96 Кб5Маркс К.. Манифест Коммунистической партии (Пер. М.Бакунина).pdf
#
15.11.2022385.84 Кб2Масалов В.В.. Влияние глицината цинка на продуктивность и антиоксидантную защиту кур.pdf
#
15.11.2022653.7 Кб3Массаж (90..pdf
#
15.11.2022555.1 Кб2Массовая неприязнь к милиции (66..pdf
#
15.11.2022308.71 Кб12Мастерство концертмейстера в классе оркестровых инструментов Учебно-методическое пособие..pdf
#
15.11.2022638.6 Кб2Математика (110..pdf
#
15.11.2022762.14 Кб1Математика (90..pdf
#
15.11.2022975.01 Кб6Математика. Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование (110.pdf
#
15.11.2022670.87 Кб2Математика. Ч. III. Теория вероятностей. Тема III. Дискретная случайная величина (110.pdf
#
15.11.2022300.86 Кб11Математическая логика и теория алгоритмов (120..pdf
#
15.11.20221.04 Mб5Математическая логика и теория алгоритмов (90..pdf