Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки (90

1011 12

13 1415

1617 18

19 2021

Рисунок 2 – Начальное положение точки

11

2223 24

25 2627

2829 30

Рисунок 3 – Начальное положение точки

Определить закон движения точки и закон изменения ее скорости. Определить скорость точки в момент времени t1 1 с.

С помощью системы Mathcad проверить правильность определения скорости в момент времени t1. Построить график изменения скорости точки в период времени

с начала движения до момента времени t2 3 с. Также построить траекторию движения точки в данный период времени и вектор скорости точки в момент времени

t1.

12

3 Пример выполнения лабораторной работы

Материальная точка массой m=3 кг движется под действием сил F1 =40 Н,

F2 =5 Н и F3 =20 Н, постоянных по модулю и направлению. В начальный момент

своего движения точка имеет скорость v0 = 2 м/с. Начальное положение точки пред-

ставлено на рисунке 4.

Определить закон движения точки и закон изменения ее скорости. Определить скорость точки в момент времени t1 0,5 с.

С помощью системы Mathcad проверить правильность определения скорости в момент времени t1. Построить график изменения скорости точки в период времени

с начала движения до момента времени t2 2 с. Также построить траекторию движения точки в данный период времени и вектор скорости точки в момент времени

t1.

Рисунок 4 – Начальное положение точки

Дано: m=3 кг, F1 =40 Н, F2 =20 Н, F3 =5 Н, v0 = 2 м/с.

x x(t)

Найти: y y(t), v(t), v(t1)

13

Решение:

1 Изобразим материальную точку в произвольном промежуточном положении

и приложим действующие на нее силы F1 , F2 и F3 (рисунок 5).

Рисунок 5 – Произвольное положение точки

Запишем основное уравнение динамики материальной точки:

m a F1 F2 F3.

2 Проецируя основное уравнение динамики на ось x, получим дифференци-

альное уравнение движения материальной точки:

m x F1 F2 Sin300 F3 Cos300 .

Дважды интегрируем полученное уравнение в соответствии с главой 1.

x F1 F2 Sin300 F3 Cos300 ,

m

14

y F2 Cos300 F3 Sin300 . m

dy B; dt

dy B dt ;

y B t C3 ;

dy B t C3 ; dt

dy (B t C3)dt ;

t2

y B 2 C3 t C4 ;

4 Определив постоянные интегрирования, найдем закон движения точки:

v0 Sin300 A 0 C1 C1 ,

16

02

0 A 2 C1 0 C2 C2 ,

v0 Cos300 B 0 C3 C3 ,

скорости на оси и закон движения материальной точки будут иметь вид:

x 6,73 t 1,

y 1,88 t 1,73,

x 3,37 t2 t

y 0,94 t2 1,73 t .

5 Закон изменения скорости точки будет иметь вид:

v(t) (6,73 t 1)2 (1,88 t 1,73)2 .

Скорость точки в момент времени t1 0,5 с:

v(t1) (6,73 0,5 1)2 (1,88 0,5 1,73)2 5,121м/c.

17

6 С помощью системы Mathcad проверим правильность определения скорости в момент времени t1 (рисунок 6).

Рисунок 6 – Определение скорости точки

Построим график изменения скорости точки в период времени с начала дви-

жения до момента времени t2 2 с (рисунок 7).

Построим траекторию движения точки и вектор скорости точки в момент вре-

мени t1(рисунки 8 и 9).

18

0

Рисунок 9 – Траектория и вектор скорости точки

20