Анализ линейных электрических цепей с негармоническими периодическими напряжениями и токами (90
..pdf
UÑ(k)m |
|
XÑ(k) I(k)m |
|
[1/(kC )]I(k)m |
|
1 |
I(k)m |
. |
(20) |
|
UÑ(1)m |
XÑ(1) I(1)m |
[1/(C )I(1)m |
k I(1)m |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, кривая напряжения на емкостном элементе меньше искажена, чем кривая тока.
Приведенные соотношения можно наглядно проиллюстрировать с помощью диаграмм амплитудно-частотного спектра (АЧС) (рисунок 12).
а) |
б) |
в) |
Рисунок 12
Пусть АЧС тока цепи рисунка 11 характеризуется диаграммой, приведенной на рисунке 12 а, то есть ток содержит, кроме основной, вторую и третью гармоники.
Напряжение на индуктивном элементе имеет амплитудно-частотный спектр (рисунок 12 б), характеризующийся тем, что относительные значения амплитуд второй и третьей гармоник этого напряжения соответственно в 2 и 3 раза больше относительных значений амплитуд второй и третьей гармоник тока.
Диаграмма АЧС напряжения на емкостном элементе (рисунок 12 в) показывает, что "удельный вес" высших гармоник в напряжении uC значительно меньше, чем в токе.
Задача 7. Напряжение на входе схемы рисунка 13 задано рядом Фурье u(t) (105sin t 4,2sin 3 t 2,14sin 7 t) B.
21
Рисунок 13
Определить процентное содержание высших гармоник относительно основной для напряжений и токов ветвей, если R = 8 Ом, L = 25,5 мГн, С = 398 мкФ, ω = =314 рад/с. Ответы приведены в таблице 3.
Таблица 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Процентное |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Абсолютные значения величин |
содержание гармоник |
|
|||
Электрическая |
относительно |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
основной |
|
|
|
величина |
|
|
|
|
|
|
1-я |
3-я |
7-я |
3-я |
7-я |
|
|
|
|
|||||
|
гармоник |
гармоник |
гармоник |
|
||
|
а |
гармоника |
гармоника |
а |
а |
|
U(k )m , B |
105 |
4,2 |
2,14 |
4 |
2,04 |
|
X L(k ) , Ом |
8 |
24 |
56 |
- |
- |
|
X С(k ) , Ом |
8 |
2,66 |
1,14 |
- |
- |
|
I R(k )m , A |
13,12 |
0,525 |
0,267 |
4 |
2,04 |
|
I L(k )m , A |
13,11 |
0,175 |
0,038 |
1,33 |
0,29 |
|
IC(k )m , A |
13,12 |
1,58 |
1,88 |
12,04 |
14,27 |
|
Процентное содержание высших гармоник относительно основной, в кривых тока iR и напряжения и одинаково, следовательно, кривая тока на резистивном элементе совпадает по форме с кривой напряжения. Процентное содержание высших гармоник тока индуктивного элемента ниже, чем напряжения, следовательно, кривая тока "сглажена" по сравнению с кривой напряжения. Кривая тока в емкостном элементе более "искажена", чем кривая напряжения.
7 Мощность при несинусоидальных напряжениях и токах.
Эквивалентная синусоида
22
Ваттметр измеряет среднее значение мощности за период, то есть
|
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
1 |
|
T |
|
|
|
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P |
|
0 |
p dt |
|
0 |
u i dt |
0 |
( uk )( ik )dt |
|||||||||||||||||||||||
T |
T |
T |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
k 0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
(u |
|
u u |
|
... u |
k |
)(i |
|
i |
i |
|
... i |
k |
)dt |
||||||||||||||
T |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
0 |
( uk ik |
ug is )dt |
0 |
( uk ik )dt |
|||||||||||||||||||||||||
T |
T |
T |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k 0 |
|
g 0 |
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
0, g s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
uk ik dt |
|
1 |
|
ug is dt Pk 0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
T |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
k 0 T |
|
|
|
g 0 |
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 0, g s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(21) |
|
|
|
( |
ug is )dt |
|
0g 0
s 0, g s
Таким образом, активная мощность в цепи с несинусоидальным источником ЭДС равна сумме мощностей отдельных гармоник, включая постоянную составляющую
|
|
|
|
P Pk P0 |
Pk U0 I0 |
Uk Ik cos k , |
(22) |
k 0 |
k 1 |
k 1 |
|
где φk – угол сдвига между напряжением и током k-ой гармоники. Аналогично вводится понятие реактивной мощности
|
|
|
|
Q Qk |
U k Ik sin k . |
(23) |
|
k 1 |
k 1 |
|
|
Полная мощность равна |
|
|
|
|
|
|
|
S U I |
Uk2 |
Ik2 . |
(24) |
|
k 0 |
k 0 |
|
Сравнивая выражения (22), (23), (24) с выражением для полной мощности в цепи с источниками синусоидального тока и напряжения ( S 2 P2 Q2 ), нужно
23
отметить, что в цепях с несинусоидальными источниками ЭДС
S 2 P2 Q2 . |
(25) |
Поэтому в цепях с несинусоидальными напряжениями и токами вводят еще один вид мощности, мощность искажения Т (физический смысл которой обусловлен наличием высших гармоник)
S 2 T 2 P2 Q2 ; |
T 2 S 2 P2 Q2 ; |
|
|
Т |
S 2 P2 Q2 , единицы измерения [вар] . |
(26) |
|
Можно ввести понятие коэффициента мощности для несинусоидальной цепи
|
P |
|
P |
|
. |
(27) |
|
S |
U |
I |
|||||
|
|
|
|
Действующее значение этих величин определяется по показаниям приборов или расчетным путем.
С точки зрения потребителя (например, для расчета за электроэнергию), можно представить несинусоидальный ток и напряжение эквивалентными синусоидами, действующее значение которых равны действующим значениям несинусоидальных токов и напряжений. В этом случае коэффициент мощности равен cos ý , где φэ – угол сдвига между фазами напряжения и тока (рисунок
14).
Рисунок 14
24
В этом случае можно ввести понятие эквивалентной реактивной мощности
Qý U Isin ý è S2 P2 Qý2 , P2 Q2 T2 P2 QÝ2 , |
Qý Q2 T2 . |
(28) |
Появление высших гармоник в кривых напряжения и тока приводит к увеличению эквивалентной реактивной мощности и уменьшению cos φэ. Кроме эквивалентных значений U, I, Q, cos φэ, для оценки степени отличия несинусоидальных кривых от синусоидальных, вводят дополнительные величины (см. раздел 4).
7 Особенности резонансных режимов в цепях при
несинусоидальных напряжениях и токах
При наличии высших гармоник резонанс в цепи может возникнуть на любой гармонике. Рассмотрим цепь последовательного соединения элементов R, L,C (рисунок 15).
Рисунок 15
Полное сопротивление ветви равно
zk R j(k L |
1 |
) |
( 29) |
|
k Ñ |
||||
|
|
|
Условие резонанса на k-ой гармонике (Х=0)
k L |
1 |
0 . |
(30) |
|
k Ñ |
||||
|
|
|
То есть, zk рез zmin R, сопротивление цепи для k-ой гармоники
25
минимально, следовательно, значение тока максимально. Эта гармоника более выражена.
9 Высшие гармоники в трехфазных цепях
Предположим, что фазные ЭДС симметрично устроенного трехфазного генератора содержат высшие гармоники, значения которых равны
|
|
sink t |
|
e(k)A Em(k) |
|
||
e(k)B Em(k) |
sin(k t 120) |
(31) |
|
|
|
sin(k t 120). |
|
E |
|
||
e |
|
||
(k)C |
m(k) |
|
|
На частоте k-ой гармоники сдвиг по фазе увеличивается в k раз.
Выделим по действию гармоники, для которых k=1, 4, 7, 10,..., (k-1) делится на три. Получим систему прямой последовательности (рисунок 16).
|
A |
|
|
EA |
|
|
EC |
|
C |
EB |
B |
|
Рисунок 16
Для гармоник, у которых k=2, 5, 8, 11…, то есть, (k+1) делится на три, полу-
чим систему ЭДС обратной последовательности (рисунок 17)
|
|
sink t |
|
|
e(k)A Em(k) |
|
|||
e(k)B Em(k) |
sin(k t 1200 ) |
(32) |
||
|
E |
sin(k t 1200 ). |
||
|
||||
e |
|
|||
(k)C |
m(k) |
|
|
|
26
A
EA
EB
B 
EC 
C
Рисунок 17
Для гармоник, у которых k=3, 6, 9, 12 (кратные 3) получается система ЭДС нулевой последовательности (рисунок 18).
e(k) A
e(k)B
e(k)C
Em(k) sink t
Em(k) sink t |
(33) |
Em(k) sink t. |
|
EA EB EC
Рисунок 18
Наличие высших гармоник приводит к появлению симметричных составляющих прямой, обратной и нулевой последовательности. Поэтому все особенности расчета трехфазных цепей при наличии высших гармоник обусловлены появившимися симметричными составляющими ЭДС и напряжений.
9.1 Расчет несинусоидального режима в трехфазных цепях
Рассмотрим некоторые отдельные схемы соединения, характерные для трехфазных цепей.
Обмотки трехфазного генератора в режиме холостого хода соединены треугольником (рисунок 19).
27
Рисунок 19
Определим суммарную ЭДС контура для гармоник прямой, обратной и нулевой (третьей) последовательностей соответственно:
eÏ .n eA eB eC 0, |
|
|
e0.n eA e eÑ 0, |
|
(34) |
e(3) 3e(3) . |
|
|
Мгновенное значение ЭДС нулевой последовательности равно |
|
|
å 3å(3) 3å(6) 3å(9) ... 3(å(3) å(6) å(9) |
...). |
(35) |
|
||
Действующее значение ЭДС равно |
|
|
E 3 E(23) E(26) E(29) ... . |
|
(36) |
Гармоники прямой и обратной последовательности дают суммарную контурную ЭДС равную нулю, а сумма гармоник нулевой последовательности (кратных 3) не равна нулю, поэтому действующие значения токов этих гармоник определяются по формулам
|
|
3 E (3) |
|
E (3) |
; |
I |
|
3E(6) |
; …, |
(37) |
|
|
|
||||||||
I (3) |
|
3Z (3) |
|
Z (3) |
|
(6) |
|
3Z (6) |
|
|
где Z(3), Z(6) … – комплексные сопротивления одной фазы генератора гармоник кратных трем.
28
Действующее значение несинусоидального тока равно
I I 2 |
I 2 |
I 2 |
... . |
(38) |
(3) |
(6) |
(9) |
|
|
В линейном напряжении гармоники кратные трем будут отсутствовать, так как линейное напряжение, например, для третьей гармоники равно
U AB,(3) U A(3) U B(3) 0 . |
(39) |
Обмотки генератора соединены звездой (рисунок 20), режим холостого хода.
0
Рисунок 20
Пусть, например, ЭДС каждой фазы содержит различные гармоники (в реальных трехфазных цепях постоянной составляющей нет), для фазы А
UA U(1) U(2) U(3) U(4) U(5) U(6) .... |
(40) |
Фазное напряжение содержит все гармоники,
UA U2 |
U2 |
U 2 U2 |
U2 |
U2 |
... . |
(41) |
(1) |
(2) |
(3) (4) |
(5) |
(6) |
|
|
В линейном напряжении гармоники кратные трем будут отсутствовать
29
Uë |
3 U(21) U(22) U(24) U(25) ... . |
(42) |
Признак наличия высших гармоник U л 
3Uф (так как фазное напряжение содержит гармоники кратные трем, а линейное напряжение их не содержит).
Соединение звезда-звезда без нулевого провода при симметричной нагрузке (рисунок 21). Расчет схемы можно выполнить в среде MathCAD.
Рисунок 21
Заданы фазное напряжение Uф и сопротивления нагрузки ZН . Определить: линейное напряжение Uл, напряжение смещения U0,0 и ток I. На основании вышесказанного, и используя формулу 42, делаем вывод, что в
линейном напряжении отсутствуют гармоники кратные трем.
Так как нагрузка симметричная, то напряжение смещения для прямой и обратной последовательностей равно нулю, U0’0=0.
Величину напряжения смещения для нулевой последовательности рассмотрим на примере третьей гармоники
|
|
|
E |
Y H E |
Y H E |
|
Y H |
|
|
|
|
U |
|
|
|
(3) |
(3) |
(3) |
|
E |
3 |
. |
(43) |
|
|
3Y H |
|
|
|||||||
|
0 0(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогичные рассуждения позволяют определить напряжение смещения для остальных гармоник кратных трем : U00(6) E(6) , U00(9) E(9) и так далее.
30