Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторные работы и методические указания по теме Функции многих переменных (110

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

552.81 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕМЕ

«ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

Учебно-методическое пособие

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета

2012

Утверждено научно-методическим советом математического факультета 25 октября 2012 г., протокол № 0500-07

Составители: А.Д. Баев, М.Ш. Бурлуцкая, М.Б. Давыдова, И.В. Колесникова

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 2 курса дневного отделения математического факультета по курсу «Математический анализ».

Для направлений: 010100 – Математика, 010200 – Математика и компьютерные науки, 00701 – Фундаментальная математика и механика

Содержание

Лабораторные работы	4
Лабораторная работа № 1
Предел и непрерывность функции многих переменных . . .	4
Лабораторная работа № 2
Дифференцирование функции многих переменных . . . . . .	8
Лабораторная работа № 3
Неявные функции и их приложения . . . . . . . . . . . . .	11
Лабораторная работа № 4
Экстремум функции многих переменных . . . . . . . . . .	16
Методические указания	18
Лабораторная работа № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
Лабораторная работа № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	21
Лабораторная работа № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	26
Лабораторная работа № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	36
Список литературы	42

2: u = psin xy x2 + y2

x2y + xy2 4: u = x2 ¡ xy + y2

x!0 y!0

y!0 x!0

x!0 y!0

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

Лабораторная работа № 1

Предел и непрерывность функции многих переменных

Задание 1. Найти и изобразить область определения функции

многих переменных:

1: u = p

2: u = p

(x2 + y2 ¡ 2)(4 ¡ x2 ¡ y2)

4x2 ¡ x3 ¡ 4x

3: u = p

4: u = p

(x2 + y2 + 1)(¡2 ¡ x2 ¡ y2)

1 ¡ jxj ¡ jyj

5: u = ln(y2 ¡ 4x + 8)

u = p

y sin x

u = ln x ¡ ln sin y

8: u = p

log2(2 ¡ x2 ¡ y2)

u = arccos (x + y)

10:

u = log 5(4

y2)

0:x

11:

u = xy

12:

u = arcsin

+ p

13:

u =

pln x ln y ¡

14:

u =

x2 + y2 1

16(y2 + 1)

15:

u =

16:

u = arcsin

x + y

1 ¡ x ¡ y

Задание 2. Для заданной функции u = u(x; y):

а) Вычислить повторные пределы lim lim u(x; y), lim lim u(x; y);

б) Вычислить двойной предел lim u(x; y) или доказать, что он не су-

ществует.

x3 ¡ y 1: u = x3 + y

y2 ¡ x2 3: u = x2 + y2

x2y2

5: u =

6: u = (1 + x)

(x+yx2)

+2(x ¡ y)

sin(x + y)

u =

y ¡ 2x

8: u =

y ¡ x2

2x + 3y

u = x + y sin

10: u = x sin

+ y sin

11: u =

12: u = log1+x (1 + x + y)

x + y

13: u =

ax ¡ by

14: u =

x2y

ax + by

x2 + y2

15: u =

ln(x + ey)

16: u =

sin jxj ¡ sin jyj

x + y

px2 + y2

Задание 3. Для заданной функции u = u(x; y) :

а) Вычислить повторные пределы

lim

lim u(x; y),

lim

lim u(x; y);

x!+1 y!+1

y!+1 x!+1

б) Вычислить двойной предел

lim

u(x; y)или доказать, что он не

x!+1

y!+1

существует.

u =

x2 + y2

x2 + y3

3: u = sin

¼y2

x2 + 3y2

u =

x2 + y2

+ y6

7: u = (x

+y2

+ y

)e¡

9: u = µx23+ y2

¡x2

11: u =

¡ y2

¡ y4

x2 + y2

13: u = 1 + (x ¡ y)4

15: u = tg x2 + y2

x3 + y2x 2: u = x2 + y4

4: u = (x2 + y2)®e¡x2¡y2

ax + by 6: u = x2 ¡ xy + y2

x + y

8: u = x2 + xy + y2

µ x2y ¶y

10: u = x4 + y4

12: u = arcsin x +x y

14: u = (x + y)e¡x2¡y2

16: u = xy sin xy¼

Задание 4. Исследовать функцию на непрерывность по отдельным переменным и по совокупности переменных в точках О(0,0) и А(x0; y0) :

x2y2

;

если

x4 + y4 6= 0

u =

+ y4

если

+ y

= 0

;

если

x4 + y4 6= 0

u =

+ y4

если

+ y

= 0

+ y

u =

: x

;

если

x + y 6= 0

x + y

если

x + y = 0

¡ y

;

x2 + y2 = 0

u =

8 x2

+ y2

если

+ y

= 0

: sin x + sin y

u =

;

если

x + y 6= 0

x + y

если

x + y = 0

> cos x

cos y

;

если

y = 0

u =

x ¡ y

если

y = 0

если

= 0

u =

;

8 y2

+ x2

если

¡ y2

6= 0

x + y

если

x + y 6= 0

u =

8 x3 + y3 ;

если

x + y = 0

A(1; 2)

A(10¡4; 10¡5)

A(1; ¡1)

A(0; 1)

A³¼3 ; ¡¼3 ´

A³¼4 ; ¼4 ´

A(1; 0)

A(1; ¡1)

+ y2

9: u =

8 x2

+ y2 ;

если x2

+ y2 6= 0

если x

+ y = 0

: x

+ y

= 0

10: u =

если x

8 x3

+ y3 ;

если x3

+ y3

6= 0

+ y

: x

11: u =

8 x2 + y ;

если x2 + y 6= 0

если x

+ y = 0

12: u =

+ y2 ; если

x2 + y2 6= 0

+ y

= 0

< p

если

+ y

;

если x

+ y

6= 0

13: u =

x2 + y2

если x2 + y2 = 0

14: u =

8 e¡x2 + y2 ; если

x2 + y2 = 0

+ y

= 0

если

;

если x2 ¡ 2y 6= 4

15: u =

если x

2y = 4

если

6= 0

x2 + y2 ;

16: u =

8 sin

+ y

p0;

если

+ y

= 0

A(1; ¡1)

A(1; 1)

A(1; ¡1)

A(1; 0)

A(2; 0)

A(1; 1)

Лабораторная работа № 2 Дифференцирование функции многих переменных

Задание 1. Исследовать, имеет ли функция u=u(x,y) частные

производные в точке O(0,0) и дифференцируема ли она в этой точке:

1: u = p3

7: u = p

x2 + y2

x4 + y4

2: u = p4

8: u = p3 xy

3: u = p

9: u = p3

x4 + y4

u = p3 x sin y

10: u = px3 + y3

u = p3 y tg x

11: u = arcsin (xy3

+ px3

+ y3)

u = 2y + x cos p3 xy

12: u = y + cos px2 + y2

13: u =

; если

8 e¡x2 + y2

+ y2 = 0

+ y

: x

+ y = 0

если

14: u =

+ y2

;

если

+ y2 6= 0

если

+ y = 0

	<		x3		+ y3				;
15: u =	<		x		0;		y
15: u =	8		x	j	+	j	y	j
	> j			j	xy	j		j
	>				xy
	:
	<				0;
16: u =	8	j x j + j y j							;
	:

если j x j + j y j6= 0

если j x j + j y j= 0

если j x j + j y j6= 0

если j x j + j y j= 0

Задание 2. Используя определение дифференциала, вычислить

приближенно:

ln(p

0:97

1:02

+ 1)

:05)2 + (2:93)2

p(4

1:97

3: (1:94)2e0:12

arctg µ

¡ 1¶

1:02

6: (0:95)2:03

6:032 + 8:042

8: (p

1:03)(p3

7: sin (1:49) arctg (0:07)

0:98)

9: (1:003)2:07

10:

arcsin µ

3:03

4:98

(3:17)cos 0:14

11:

1:023 + 1:973

12:

13:

sin (1:51) arctg (0:05)

14:

arctg

1:97

22:95

:02

15:

(2:68)sin 0:05

16:

1:03

q3 0:98

(1:05)3

Задание 3. Вычислить частные производные:

@nu

;

m+k = n:

@xm@yk

u(x; y) = ln(1 + 2x + 3y);

m = 2

k = 2

x2+y2

cos xy;

m = 2

k = 1

u(x; y) = e

3: u(x; y) = xy + yx;

m = 2 k = 1

u(x; y) = sin

µy ¶ + xpy;

m = 3

k = 1

5: u(x; y) = xy ln (xy);

m = 2

k = 3

u(x; y) = e2x sin p3

m = 2

k = 4

u(x; y) = ey sin x¡x2y3;

m = 2

k = 3

u(x; y) = x2 arctg

y + 1

;

m = 3

k = 2

9: u(x; y) = arcsin

m = 2

k = 1

+ y2 ;

10: u(x; y) = tg (x + y)e

;

m = 2

k = 2

11: u(x; y) = ( xy )x+y;

;

m = 5

k = 1

12: u(x; y) = µ

m = 2 k = 2

x + 1

13: u(x; y) = ³x

;

m = 2 k = 3

+ y2

14: u(x; y) = arcsin

¡ y2

;

m = 2

k = 3

15: u(x; y) =

arctgp

m = 3 k = 2

1 + p

x3y

);

16: u(x; y) = cos (x + 2y

m = 4

k = 4

Задание 4. Найти частные производные первых двух порядков

сложной функции u, если ' дважды дифференцируемая функция:

1: u = '(x2 + y2; x2 ¡ y2)		2: u = '(x2 + y2; xy)
3:	u = '(x2 ¡ y2; y2 ¡ z2; z2 ¡ x2)	4:	u = '(xy; x ¡ y; x + y)
5: u = '(x + z2; y + x2; z + y2)		6:	u = '(xy; yz)
7:	u = '(sin xz; sin yz; sin xy)	8:	u = '(x2; y2; z2)

9: u = '(x2 + y2; y2 + z2; x2 + z2)					10: u = '(xez; yez; zex¡y)
11: u = '(x ¡ y2; y ¡ x2; xy)					12: u = '(x + y; x2 + y2)
x2			y			x			y
13: u = ' µ		;		¶	14: u = ' µ		;			; xy¶
	y		x2			y		x
15: u = '(sin x + sin y; cos x ¡ cos y; tg y)					16: u = ' µ	x	;		y	¶

						y		x

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]