Лабораторная работа 105. Изучение вращательного движения твердого тела методические указания

УДК 53(075.8)

ББК 22.3я7

Л12

Печатаются по решению методической комиссии факультета наноматериалов и нанотехнологий

Рецензенты: доц. И. П. Анашкин доц. А. В. Малыгин

Составители:

проф. Н. К. Гайсин, доц. Е. А. Цветков, ассист. Т. Ю. Старостина

Лабораторная работа 105. Изучение вращательного движения

Л12 твердого тела : методические указания / сост. : Н. К. Гайсин, Е. А. Цветков, Т. Ю. Старостина; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ,

2017. – 20 с.

Изложены основные положения кинематики и динамики вращательного движения. Описаны эксперимент по проверке основного закона динамики вращательного движения твердого тела, методика проведения эксперимента на приборе «маятник Обербека» и обработка результатов измерений.

Предназначены для бакалавров при изучении раздела «Механика и молекулярная физика» дисциплины «Физика».

Подготовлены на кафедре физики.

УДК 53(075.8)

ББК 22.3я7

2

Введение Кинематика вращательного движения

угла поворота откладывается на оси вращения, и его направление определяется правилом правого винта: если на окружность посмотреть с конца этого вектора, то вращение должно казаться происходящим по часовой стрелке. Векторы, которые откладываются на оси вращения и направление которых связывается с направлением вращения, называются аксиальными векторами. Их также называют псевдовекторами. Такие векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Отношение угла поворота к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью ω. Угловая скорость – векторная величина, равная первой производной угла

Вектор ω направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, то есть так же, как и вектор dϕ. Единица измерения угловой

скорости – 1 радиан в секунду (рад/с).

Модуль линейной скорости точки определяется как

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен ωRsin(ωR ), а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от ω к R .

Если ω=const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т – временем, за которое точка совершает один полный оборот, то есть поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени t = Т соответствует угол φ=2π, то

ω=2π/Т, откуда: Т=2π/ω.

В системе СИ единица измерения периода вращения – 1 секунда

(с).

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени, называется

частотой вращения n: n=1/T=ω/2π, откуда ω=2πn.

В системе СИ единица измерения частоты – 1 Герц (Гц) или 1с-1. При неравномерном движении материальной точки по окружности вместе с линейной скоростью изменяется и угловая скорость. Поэтому можно ввести понятие углового ускорения. Отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, называется угловым ускорением ε

. Угловое ускорение – это векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой,

называемой осью вращения.

Для описания вращательного движения вводятся следующие динамические параметры: момент инерции, момент силы, момент импульса тела. Аналогами их в поступательном движении являются масса, сила, импульс тела.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-

либо оси называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния ее от оси:

J=mr2. (11)

Момент инерции – величина скалярная. Единица измерения – 1 кг·м2. В динамике вращательного движения момент инерции играет ту же роль, что и масса в динамике поступательного движения: определяет величину углового ускорения, получаемого телом под действием данного момента силы.

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до

рассматриваемой оси: J= ∑n miri2 .

i=1

Вслучае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к

интегралу J = ∫r2dm , где интегрирование производится по всему

объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

объем 2πrhdr. Если ρ – плотность материала, то dm = 2πrhρdr и dJ = 2πhρr3dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

6

но, так как πR2h – объем цилиндра, а его масса m = πR2hρ, то момент

инерции J = 12 mR2.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции JC относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстоянии а между осями: J = JC+ma2.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела мы получаем из уравнения, связывающего кинетическую энергию вращательного движения твердого тела и работы, совершаемой при вращении твердого тела.

Кинетическая энергия вращающегося тела

одинакова:

ω=v1/r1=v2/r2=…= vn/rn.

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

7

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела:

Эта формула справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например, цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, или движения маятника Максвелла (лабораторная работа 109), энергия движения складывается из энергии поступательного движения и

энергии вращения: T = mv2C 2 + JC2ω2 , где m – масса катящегося тела;

vC – скорость центра масс тела; JC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс; ω – угловая скорость тела.

совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от вектора r к вектору F .

Модуль момента силы М=Fr·sinα=Fl , где α – угол между r и F ; r∙sinα=l – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О называется плечом силы.

Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, α – угол между направлением силы и радиус-вектором r . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ

8

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, снабженный электронным секундомером и фотоэлектрическим датчиком положения платформы с тросом; набор добавочных грузов.

1. Краткая теория

Проверка основного закона динамики вращательного движения

ε = MJ

сводится к установлению прямой пропорциональности углового ускорения тела моменту сил, приложенных к телу, при постоянном значении момента инерции тела относительно оси вращения и обратной пропорциональности ее моменту инерции тела при постоянном значении вращающего момента приложенных сил.

Для наглядности на рисунках 7 и 8 эти зависимости представлены графиками.

Момент инерции J, входящий в формулу (15), складывается из моментов инерции частей, составляющих систему, вследствие аддитивности этой величины.

В данной работе момент инерции маятника J складывается из момента инерции крестовины, состоящей из стержней, шкивов и оси J0 и момента инерции грузов, закрепленных на стержнях (см. описание установки). Поскольку размеры грузов m1 малы, их можно рассматривать как точечные тела и выразить момент инерции маятника в виде: