Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 111 ИЗУЧЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ СТОЯЧИХ ВОЛН В НАТЯНУТОЙ СТРУНЕ

Методические указания

Казань Издательство КНИТУ

2017

1

УДК 53(075.8)

ББК 22.3я7

Г14

Печатаются по решению методической комиссии факультета наноматериалов и нанотехнологий

Рецензенты: доц. И. П. Анашкин доц. А. В. Малыгин

Составители:

проф. Н. К. Гайсин, доц. Е. А. Цветков

Лабораторная работа 111. Изучение образования стоячих волн

Г14 в натянутой струне: методические указания / сост.: Н. К. Гайсин, Е. А. Цветков; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2017. – 20 с.

Кратко рассмотрены основные понятия о колебательных процессах. Приведен порядок выполнения лабораторной работы, структура ее оформления, расчетные формулы.

Предназначены для бакалавров при изучении раздела «Механика и молекулярная физика» дисциплины «Физика».

Подготовлены на кафедре физики.

УДК 53(075.8)

ББК 22.3я7

2

колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровня морей и океанов, вызываемое притяжением Луны, биение пульса – периодические сокращения сердечной человека, смена бодрствования и сна, труда и отдыха, зимы и лета. Даже наше каждодневное хождение на работу и возвращение домой попадает под определение колебаний, которые трактуются как процессы, точно или приближенно повторяющиеся через равные промежутки времени

Наиболее распространенным видом колебаний являются механические и электромагнитные колебания. Несмотря на разнообразие видов колебаний все они имеют между собой много общего и поэтому описываются одними и теми же уравнениями.

б) Определение

Часто встречающиеся определения колебательного движения как движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки времени, то есть отражающие лишь характеристику возвратности, является не совсем корректным, так как под это определение подпадает и вращательное движение.

Можно определить колебательный процесс как движение, при котором периодически изменяются скорость, ускорение и энергия (кинетическая и потенциальная).

Колебание будет полным, если за кратчайшее время система полностью повторит свое движение. Время Т, в течение которого совершается одно полное колебание, является периодом колебания. Число полных колебаний в единицу времени называется частотой колебаний.

(2)

В. Гармонические колебания

Среди разнообразных колебаний, встречающихся в природе, основную и очень важную роль играют гармонические колебания (рис. 1). Они представляют периодический процесс, в котором

4

изменение наблюдаемой величины описывается функцией синуса (или косинуса) с периодом Т.

x = ACos(ωt +ϕ) ,

где x – отклонение (смещение ) механической системы от положения равновесия. Наибольшее смещение А называется амплитудой колебаний. Аргумент

синуса или косинуса (ωt + φ) определяет смещение в любой момент времени и называется фазой колебаний; φ – начальная фаза (в момент t = 0). Величина ω, равная числу колебаний за 2π

единиц времени, называется циклической (или круговой) частотой. Она в 2π раз больше обычной частоты ν:

Амплитуду А и начальную фазу φ можно определить по значениям смещения в отдельные моменты времени.

Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Для описания его колебаний составляют дифференциальное уравнение движения и, решая его, находят закон этих колебаний – зависимость смещения от времени.

Система, выведенная из положения равновесия и предоставленная самой себе, совершает свободные (или собственные) колебания, то есть колебания, происходящие благодаря начальному запасу энергии, приданному колеблющемуся телу. При гармонических колебаниях полная энергия системы (складывающаяся из кинетической и потенциальной) сохраняется.

Колебания с уменьшающейся энергией называются свободными затухающими. Колебания, совершаемые системой под воздействием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными.

5

II . Свободные колебания

Рассмотрим простейшую систему, совершающую свободные, незатухающие гармонические колебания.

Пружинный маятник – тело массой m, способное совершать колебания под действием силы абсолютно упругой невесомой пружины, в среде без сопротивления (рис. 2).

При смещении тела на расстояние Х от положения равновесия на него действует сила упругости пружины, направленная к положению равновесия:

где k – коэффициент упругости (жесткость) пружины. Уравнение второго закона Ньютона для тела имеет вид

где x – ускорение тела, равное второй производной смещения по

времени (a = d 2 x = x ). dt2

Обозначив положительную величину k/m через ω2o , получим

Следовательно, движение тела под действием силы упругости описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение вида (7) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Решение дифференциального уравнения (7)

представляет собой уравнение гармонического колебательного движения с собственной частотой

6

Таким образом, гармонические колебания возникают под действием сил, которые пропорциональны по величине и противоположны смещению тела от положения равновесия.

Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону (5), то ее называют «квазиупругой силой» (как бы упругой).

III. Вынужденные колебания

А. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Если на тело с массой m действуют, кроме силы упругости

Fу = -kx и силы трения FT = −rx , и внешняя периодическая сила

F=F0Cosωt, то оно совершает вынужденные колебания. В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид

пропорционально скорости. Поэтому устанавливается равновесиый

процесс колебаний. В таком состоянии движение тела будет гармоническим с частотой, равной частоте внешней возбуждающей силы, но вследствие инерции тела его колебания будут сдвинуты по

7

фазе по отношению к мгновенному значению внешней периодической силы:

где φ – сдвиг фаз между вынуждающей силой и вынужденными колебаниями.

В отличие от свободных колебаний амплитуда А и фаза ϕ вынужденных колебаний будут определяться только свойствами колеблющейся системы, амплитудой и частотой вынуждающей силы:

Видно, что амплитуда и сдвиг по фазе зависят от частоты вынуждающей силы (рис. 4 и 5).

Б. Явление резонанса

Характерной особенностью вынужденных колебаний является наличие явления резонанса. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте системы носит название механического резонанса. Амплитуда колебаний тела при резонансной частоте

8

Заметим некоторые особенности резонансных кривых (см. рис. 4). Если ω→ 0, то все кривые (см. также (13)) принимают одно и тоже, отличное от нуля, предельное значение

A0 = mFω002 ,

так называемое статическое отклонению. Если ω→ ∞, то все кривые асимптотически стремятся к нулю.

При условии малого затухания (β2 ‹‹ω02) резонансная частота ωрез примерно равна ω0 и резонансная амплитуда (см.(15)) принимает значение

При этом условии отношение резонансного смещения к статическому отклонению выразится следующим образом:

колебаний при резонансе определяется величиной Q, называемой добротностью колебательной системы. Добротность является, по сути, коэффициентом усиления отклика

A0 = mFω002

системы и при малом затухании может достигать больших значений. Это обстоятельство обусловливает огромное значение явления резонанса в физике и технике. Например, его используют в акустике – для усиления звучания музыкальных инструментов, в радиотехнике – для выделения нужного сигнала из множества других, отличающихся

по частоте.

Если резонанс может привести к нежелательному росту колебаний, пользуются системой с малой добротностью.

9