Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Волновое уравнение (96

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

504.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Формула (3.33) определяет решение неоднородного уравнения Гельмгольца в любой точке M0 (x0 , y0 , z0 ) через значения реше-

ния u(M ) и функции Грина G и их нормальных производных на

поверхности∑ (границе области Ω), т. е. формула (3.33) позволяет построить решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца.

3.10. Метод функции Грина решения первой краевой задачи для уравнения Гельмгольца

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Гельмгольца при f (M ) ≡ 0:

	2	u	(M ) = 0,	M Ω,
∆u (M ) + k
	u		= ϕ(P),	P ∑.

		∑

Функцию Грина построим таким образом, чтобы она была решением этой задачи:

∆G (M , M		) + k2G (M , M	) = −4π δ(M , M			)	, r	≥ 0,
	0	0			0		M0M
			G		= 0.
			G		= 0.
				∑
				∑

Решением задачи может служить функция G (M , M0 ), опреде-

ленная, как было показано			в (3.32), в виде G (M , M0 ) =
=	exp(i k rM0M )	+ v(M ), M Ω,	если функция v (M ) будет удов-

	rM0M

летворять решению однородного уравнения Гельмгольца и гра-

ничному условию v	∑ = −	exp(i k rM0M )	. Тогда, учитывая, что

		rM0M

u ∑ = ϕ(P), G ∑ = 0, f ≡ 0, из формулы (3.33) получим решение первой краевой задачи

u (M0 ) = −	1	w∫∫	ϕ(P)	∂G (P, M0 )
					dσP .	(3.34)
	4π			∂n	dσP .	(3.34)
	4π	∑		∂n
						41

Замечание. Известны функции Грина, полученные методом отражений для шара, полупространства, симметричного относительно плоскости, для двугранного угла, для телесного угла ит. д. [5].

3.11. Цилиндрическая волна

Рассмотрим волновое уравнение

1	∂2u	= ∆u (M , t ).	(3.35)
v2	∂t2

Было установлено, что его решение можно записать в виде (3.12):

u(M , t) = u(M )exp(−i 2πνt),

ν = const,

где

амплитуда

u(M )

должна удовлетворять однородному уравнению Гельмгольца.

Пусть

u(M ) обладает

осевой

симметрией,

u(M ) = u(r),

r =

x2 + y2 ,

z – любое, на поверхности цилиндра r = R.

Тогда в

момент времени t = t и при r = R и u(M , t ) = const

получим ци-

линдрическую монохроматическую волну.

Введем цилиндрическую систему координат (r, ϕ, z) , в кото-

рой

∂

∂2

∆ =

∂ϕ2

∂z2

∂r

Так

как

u(r) = u(M ) не

зависит

от

координат

и z, то

∆ =

1 d

, и уравнение Гельмгольца получит вид

r dr

1 d

+ k

u = 0,

(3.36)

r dr

или

d 2u

+ k 2u = 0.

(3.37)

dr2

r dr

Выражение (3.37) в виде u′′ + 1r u′ + k2u = 0 есть частный слу-

чай уравнения Бесселя:

	1			m		2
y′′ +		y′ +	λ −

	x			x	2

y = 0,

		= I0 (
y1
		= N		(
y	2		0

λx),

для случая m = 0 λ = k 2.

Решениями (3.37) являются функции Бесселя и Неймана: u1 (r) = I0 (kr), u2 (r) = N0 (kr).

Поставим задачу нахождения такого частного решения уравнения (3.37), при котором решение волнового уравнения (3.35) представляло бы собой расходящуюся цилиндрическую волну.

Для этого воспользуемся асимптотикой частных решений уравнения Бесселя нулевого порядка:

y1 (x) = I0 (

λ x) =

cos x −

+ 0

πx

y′′ +

y′ + y = 0,

y2 (x) = N0 (

λ x) =

sin x −

1+ 0

πx

Построим частные решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения Бесселя нулевого порядка в виде

y3 (x) = y1 (x) + i y2 (x),y4 (x) = y1 (x) − i y2 (x).

Эти частные решения – функции Ханкеля (Ганкеля):

H0(1) (x) = I0 (x) + i N0 (x),H0(2) (x) = I0 (x) − i N0 (x).

Для них асимптотика примет вид

(1)

(x) =

cos

x −

+ i sin x

−

+ 0

πx

i x−

πx

cos

x − π

− isin x

− π 1

H (2)

(x) =

+ 0

πx

−i x−

1+ 0

πx

или

(x) = e−i

1+ 0

H (1)

eix

πx

1+ 0

H0(2)

(x) = e

e−ix

πx

1 , x

Выберем в качестве u(M ) функцию y3 (kr) = H0(1) (kr). Тогда решение

u(r, t) = H0(1) (kr)exp(−i 2πνt) = r R ≈

≈exp −i π 2 exp(ikr)exp(−i 2πνt),

4 πx

u(r, t) = exp −i π 2 exp(−i(2πνt − kr)).

4 πx

Это частное решение – расходящаяся монохроматическая цилиндрическая волна.

Список литературы

1.Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000. 400 с.

2.Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. 366 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XII).

3.Мосягин Г.М., Немжинов В.Б., Лебедев Е.Н. Теория оптико-

электронных систем. М.: Машиностроение, 1990. 432 с.

4.Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 700 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIII).

5.Сборник задач по уравнениям математической физики / В.С. Владимиров, А.А. Вашарин, Х.Х. Каримова и др. М.: Физматлит, 2001. 288 с.

	Оглавление
Предисловие.....................................................................................................		3
1.	Волновое уравнение.....................................................................................	3
2.	Решение уравнений Лапласа и Пуассона методом функции Грина......	11
3.	Некоторые частные решения волнового уравнения ...............................	27
Список литературы........................................................................................		45

Для заметок

Методическое издание

Юрий Иванович Малов Маргарита Михайловна Сержантова Александр Всеволодович Чередниченко

Волновое уравнение

Редактор А.В. Сахарова Корректор Л.И. Малютина

Компьютерная верстка О.В. Беляевой

Подписано в печать 29.09.2006. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.

Печ. л. 3,0. Усл. печ. л. 2,73. Уч.-изд. л. 2,55. Изд. № 140. Тираж 500 экз.

Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]