Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Волновое уравнение (96

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

504.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

или

	A				2πν
u(M , t) =		exp	−i	2πνt −		r .
u(M , t) =	r	exp	−i	2πνt −		r .
	r				v

Обозначая длину волны как λ = νv , запишем решение

	A				2π
u(M , t) =		exp	−i	2πνt −		r .	(3.7)
u(M , t) =	r	exp	−i	2πνt −	λ	r .	(3.7)
	r				λ

Решение (3.7) (частное решение уравнения (3.5)) носит назва-

ние сферической монохроматической волны. Это расходящаяся волна от источника излучения, расположенного в начале системы координат.

Замечание. Можно непосредственно подстановкой показать,

что решение u (M , t) =	A	exp	−i	2πνt +	2π	r	также удовлетво-

1	r				λ

ряет волновому уравнению. Это решение – тоже сферическая волна, но сходящаяся к началу координат, что не имеет физического смысла.

3.3. Комплексная амплитуда монохроматической волны

Обратимся к волновому уравнению (3.1). Для этого уравнения мы рассмотрели два частных решения в виде плоской и сферической монохроматических волн:

			2π
uпл(M , t) = Aexp	−i	2πνt −		r e	,
uпл(M , t) = Aexp	−i	2πνt −	λ	r e	,
			λ

uсф(M , t) =	A			−i		2πνt −	2π
		exp						r	.
	r	exp					λ	r	.
	r						λ
Представим (3.8) и (3.9) в другом виде:
			2π
uпл(M , t) = Aexp i					r e exp(−i2πνt),
uпл(M , t) = Aexp i				λ	r e exp(−i2πνt),
				λ

(3.8)

(3.9)

(3.10)

	A		2π
uсф(M , t) =		exp i		r exp(−i2πνt).	(3.11)
uсф(M , t) =	r	exp i	λ	r exp(−i2πνt).	(3.11)
	r		λ

Эти два выражения представляют собой комплексные гармонические функции вида

u(M , t) = u(M )exp(−i2πνt),

(3.12)

где u(M ) – комплексная амплитуда, которая для плоской монохроматической волны имеет вид

u	(M ) = Aexp	i	2π	r e	,	(3.13)

пл			λ

а для сферической монохроматической волны – вид

u		(M ) =			A		exp	i	2π	r .	(3.14)
u		(M ) =					exp	i		r .	(3.14)
сф					r
					r				λ
Введем волновое число		2π	= k. Тогда
Введем волновое число		λ	= k. Тогда
		λ
uпл(M ) = Aexp(i k r e ),											(3.15)
u	(M ) =			A		exp(i k r).					(3.16)
u	(M ) =					exp(i k r).					(3.16)
сф				r
				r

Если амплитуда комплексной гармонической функции (3.12) представлена в виде (3.15) или (3.16), то комплексная гармониче-

ская функция u(M , t) = u(M )exp(−i2πνt) есть решение волнового уравнения (3.5).

3.4. Уравнение Гельмгольца

Поставим задачу: каким свойством должна обладать комплексная амплитуда u(M ), чтобы комплексная гармоническая функция

(3.12) была решением волнового уравнения. Пусть u(M , t) = u(M )exp(−i 2πνt) – решение волнового уравнения. Подставим это решение в уравнение (3.1):

1u(M )(−i 2πν)2 exp(−i 2πνt ) = ∆u(M )exp(−i 2πνt ).

v 2

После сокращения данного выражения на exp(−i 2πνt) ≠ 0 по-

	2πν 2
лучим −		u(M ) = ∆u(M ) или

	v

	2πν 2
∆u(M ) +		u(M ) = 0.

	v

Помня, что	2πν	=	2π	= k, окончательно записываем
Помня, что		=	λ	= k, окончательно записываем
	v		λ
				∆u(M ) + k2u(M ) = 0.	(3.17)

Уравнение (3.17) называется уравнением Гельмгольца.

Итак, гармоническая функция u(M , t) = u(M )exp(−i 2πνt) является решением волнового уравнения, если амплитуда u(M )

удовлетворяет уравнению Гельмгольца.

Замечание. Пусть u(M ) – комплексная амплитуда в решении волнового уравнения. Обозначим a(M ) = u(M ) , a(M ) ≥ 0,

ϕ(M ) = Argu(M ). Тогда u(M ) = a(M )exp(i ϕ(M )) . Подставим это выражение в u(M , t) :

u(M , t) = a(M )exp(−i(2πνt −ϕ(M ))).

(3.18)

Полученное решение волнового уравнения есть монохроматическая волна с амплитудой a(M ), полной фазой (2πνt −ϕ(M )), зависящей как от времени ϕ(t) = 2πνt, так и от координат ϕ(M ).

Поверхность постоянной фазы в любой точке M, в которой в данный момент времени t = t фаза волны ϕ(M ) постоянна и одинакова для всех точек (ϕ(M ) = const), называется волновым фрон-

том.

Замечание. Рассмотрим решение волнового уравнения (3.1) в виде (3.18) в комплексной форме:

u(M , t) = a(M )(cos(2πνt −ϕ(M )) −i sin (2πνt −ϕ(M ))).

Если u(M ) – решение (3.1), то и действительная и мнимая части u(M ) – тоже решения. Поэтому за решение (3.1) можно при-

нять функцию u1(M , t) = Reu(M , t) = a(M )cos(2πνt −ϕ(M )) , ко-

торую называют временным гармоническим сигналом.

Замечание. В общем случае поверхность постоянной фазы ϕ(M ) = const не совпадает с поверхностью постоянной амплиту-

ды, при этом говорят, что такая волна неоднородна.

3.5. Решение уравнения Гельмгольца

Пусть уравнению Гельмгольца (3.17) удовлетворяют решения u(M ) и u1(M ), которые являются амплитудами сферической монохроматической волны:


u(M ) =	A		exp(i k r),		(3.19)

	r
u (M ) =		A		exp(−i k r )	(3.20)

1		r

для расходящейся и сходящейся волн соответственно.

Это решение непрерывно в пространстве, где r > 0. Аналогично можно показать, что решение

	u(rM0M ) =			A		exp(± i k rM0M ),
	u(rM0M ) =		rM0M			exp(± i k rM0M ),
			rM0M
где r	= (x − x	)2 + ( y − y		0	)2	+(z − z	0	)2	, также удовлетворяет
M0M	0			0			0

уравнению Гельмгольца. Решения (3.19)–(3.20) называют фунда-

ментальными решениями уравнения Гельмгольца в пространстве r (M ) > 0 или rM0M ≥ 0.

3.6. Обобщенное фундаментальное решение уравнения Гельмгольца

Обобщенным	фундаментальным решением в			области
rM0M ≥ 0 вида	u(M ) =	1	exp(i k rM0M ) называется	решение

rM0M

неоднородного уравнения Гельмгольца:

∆u(M ) + k2u(M ) = −4πδ (M , M0 ),

где δ(M , M

0 )

– дельта-функция. Если ввести сферическую систе-

му координат

центром в точке M0 ,

то в этом случае

∆ =

2 d

∆u(M ) + k

u(M ) =

и решение уравнения

= −4πδ(r) примет более простой вид:

u(r) =	1	exp(ik r)	для r ≥ 0.
	2

Воспользуемся тем, что v (r ) =			1	, r ≥ 0, – это обобщенное
			r

фундаментальное решение уравнения Пуассона ∆v(r) = −4πδ(r ).

Так как u(r) =	1	exp(ik r),	v (r ) =	1	, то v (r ) = u(r)exp(−ik r ) и
				r
	r

полученное решение для v (r ) удовлетворяет уравнению Пуассона

∆ (u(r)exp(−ik r)) = −4πδ(r),					r ≥ 0.
	1	d		2	d
Действительно,			r			(u(r)exp(−ik r))	= −4πδ(r).
	r2				dr
		dr

Вычислим левую часть этого соотношения:

1	d		2 du(r)
		r			exp(−ik r ) − iku(r)exp(−ikr )	=
r2				dr
	dr

1 d

2 du(r)

− iku(r) exp(−ikr )

= exp(−i k r )

2 du(r)

− iku(r)

2u(r)

du(r)

− ik

− iku(r)

= exp(−i k r )

2u(r)

2 du(r)

− k2u(r) − i2k

du(r)

i2k

−

u(r)

exp(

−

i k r )

u(r) +

2 du(r) +

−

u(r)

r dr

−2k2u(r) −i2k du(r) − i2k u(r) = dr r

(∆u(r) + k

u(r))

i2k

du(r)

= exp(−i k r )

−

−ik ru(r) +u(r)

(

)

i2k

= exp(−i k r )

∆u(r) + k

2u(r)

−

d (u(r)r )

−ik (u(r)r )

w= u(r)r , w = exp(ikr )

=ddr(w) −ikw = ik exp(ikr ) −exp(ikr ) = 0 =

=exp(−ikr )(∆u(r) + k 2u(r)).

Приравниваем полученную левую часть правой и получаем

(∆u(r) + k 2u(r))exp(−i k r) = −4π δ(r)

или

∆u(r) + k 2u(r) = −4π δ(r)exp(ik r) .

Так как f (x) δ(x, x0 ) = f (x0 ) δ(x, x0 ), то

exp(ik r )	M =M0	δ(M , M0 ) =1 δ(M , M0 ) = δ(r )


и
	∆u(r) + k2u(r) = −4π δ(r ).
Это означает, что амплитуда u(M ) =			1	exp(ik rM0M ) –
Это означает, что амплитуда u(M ) =			rM0M	exp(ik rM0M ) –
			rM0M

обобщенное фундаментальное решение неоднородного уравнения Гельмгольца ∆u(M ) + k2u(M ) = −4π δ(M , M0 ) при rM0M ≥ 0.

3.7.Неоднородное уравнение Гельмгольца

Кнему приводит рассмотрение волнового уравнения при наличии в среде источников возбуждения электромагнитного происхождения. В этом случае

1	∂2u	= ∆u (M , t ) + F (M , t ),	(3.21)
v 2	∂t2

где F (M , t) – функция, определяющая мощность распределенных

источников.

Рассмотрим источники, которые имеют гармонический

характер

с постоянной

частотой

ν = const,

т. е.

F (M , t ) =

= f (M )exp(−i 2πνt ).

Будем искать решение уравнения (3.21)

виде u(M , t) = u (M )exp(−i 2πνt). Подставив F (M , t)

и u(M , t)

(3.21), получаем

u(M )(−i 2πν)2 exp(−i 2πνt ) =

v 2

= ∆u(M )exp(−i 2πνt ) + f (M )exp(−i 2πνt ).

После сокращения на

exp(−i 2πνt) ≠ 0, учитывая,

что

2πν

2π

= k,

получаем

неоднородное уравнение

Гельмгольца

∆u(M ) + k2u(M ) = − f (M ).

3.8. Интегральное представление решения

уравнения Гельмгольца

Рассмотрим первую формулу Грина для

решений u(M )

v(M ) :

∂v

∂u

∫∫∫

(u∆v −v∆u)d

w∫∫

∂n

− v

∂n

ω.

(3.22)

dσ =

∑

Ω

Используя

тождество

u∆v − v∆u ≡ u (∆v + k2v )− v (∆u + k 2u),

получим вторую формулу Грина

∂v

∂u

∫∫∫

w∫∫

∂n

− v

∂n

(u (∆v + k

v )− v (∆u

+ k u))dω,

(3.23)

∑

dσ =

Ω

где u(M ) – решение неоднородного уравнения Гельмгольца

∆u + k 2u = − f (M ), M Ω;

(3.24)

v(M ) =

exp(i k rM0M )

–

обобщенное

фундаментальное ре-

rM0M

шение уравнения

∆v + k2v = −4π δ(M , M

)

≥ 0,

M Ω.

(3.25)

M0M

Учитывая (3.24) и выражение для v(M ),

(3.23) переписываем в

виде

∂

exp (i k rM0M )

exp

(i k rM0M ) ∂u

(P)

w∫∫

u (P)

−

dσP =

∂n

∑

exp(i k rM0M )

= ∫∫∫

(−4πδ(M , M0 ))u (M ) + f (M )

dω.

(3.26)

rM0M

Ω

По свойству дельта-функции получаем

∫∫∫(−4πδ(M , M0 ))u (M ) dω = −4πu (M0 ).

(3.27)

Ω

С учетом (3.26) и (3.27),

если P ∑,

M Ω, получим инте-

гральное представление решения неоднородного уравнения Гельмгольца, или формулу Кирхгофа:

u (M0 ) =

exp(i k rM0M ) ∂u (P)

w∫∫

−

4π

∂n

∑

M0M

∂

exp(i k rM0M )

−u (P)

dσP +

∂n

	1
			f (M )	exp(i k rM0M )
+		∫∫∫			dω.	(3.28)
	4π			rM0M
		Ω
Формула Кирхгофа определяет решение u(M ) неоднородного
уравнения Гельмгольца (3.24) в любой точке					M0 ,	если известны

значения искомого решения u(P) и его нормальной производной

∂u(P)

на границе области Ω, т. е. на ∑.

∂n

Если в пространстве отсутствуют источники, т. е. f (M ) ≡ 0, то

решение уравнения

∆u (M ) + k 2u (M ) = 0,

M Ω,

представляется

выражением

u (M0 ) =

w∫∫

exp(i k rM0M ) ∂u (P)

−u (P)

∂ exp(i k rM0M )

4π

rM M

∂n

rM M

dσP , (3.29)

∑

которое также называют формулой Кирхгофа.

3.9. Функция Грина для уравнения Гельмгольца

Рассмотрим вторую формулу Грина, в которой u(M ) – решение неоднородного уравнения Гельмгольца (3.24), а v(M ) – реше-

ние однородного уравнения ∆v (M ) + k2v (M ) = 0, M Ω. Тогда формула (3.23) примет вид

		∂v (P)		∂u (P)
w∫∫	u (P)		− v (P)			dσP −
w∫∫	u (P)	∂n	− v (P)		∂n	dσP −
∑		∂n			∂n
−∫∫∫ f (M )v (M )dω= 0.						(3.30)
Ω
						39

rM0M

Домножим (3.30) на 41π и вычтем (3.30) из (3.28) – первой

формулы Кирхгофа. Тогда получим

exp(ikrM0M )

∂u (P)

u (M0 ) =

+ v (P)

−

4π w∫∫

∂n

∑

∂

−u (P)

exp(ikrM0M )

+ v (P) dσP +

∂n

exp(ikrM0M )

∫∫∫

+ v (M )

(M )dω.

4π

rM0M

Ω

Введем функцию Грина для уравнения Гельмгольца:

G (M , M0 ) = exp(i k rM0M ) + v (M ).

(3.31)

(3.32)

Тогда решение (3.31) уравнения (3.24) через функцию Грина запишется как

u (M0 ) =	1	w∫∫	∂u (P)	G (P, M0 ) −u (P)	∂G (P, M0 )

	4π		∂n		∂n
		∑

+ 41π ∫∫∫Ω f (M )G (M , M0 )dω.

dσP +

(3.33)

	Функция Грина (3.32) состоит из двух слагаемых, где
	exp(ik rM0M )	– обобщенное фундаментальное решение уравнения
	rM0M

Гельмгольца (3.25); v (M ) – решение однородного уравнения

Гельмгольца ∆v (M ) + k2v (M ) = 0, а сама функция Грина удовлетворяет уравнению

∆G (M , M0 ) + k 2G (M , M0 ) = −4π δ(M , M0 ) , rM0M ≥ 0.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]