Волновое уравнение (96

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

где tg α =

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

504.49 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

Ю.И. Малов, М.М. Сержантова, А.В. Чередниченко

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Методические указания к выполнению типового расчета по курсу «Уравнения математической физики»

Под редакцией Г.П. Стась

М о с к в а Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2 0 0 6

УДК 517.9 ББК 22.161.6

М18

Рецензент Л.К. Мартинсон

Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В.

М18 Волновое уравнение: Метод. указания к выполнению типового расчета по курсу «Уравнения математической физики» / Под ред. Г.П. Стась. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2006. – 47 с.: ил.

Рассмотрено волновое уравнение и некоторые его частные решения в виде плоской, сферической и цилиндрической монохроматических волн. Приведены решения уравнений Лапласа и Пуассона в классе обобщенных функций с использованием функции Грина – функции источника.

Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс «Уравнения математической физики». Может быть полезна студентам старших курсов, изучающим соответствующую дисциплину.

Ил. 4. Библиогр. 5 назв.

УДК 517.9 ББК 22.161.6

Предисловие

Данное пособие содержит краткое изложение теории уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа, а именно уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца.

Первая глава посвящена выводу волнового уравнения колебаний струны и электромагнитных колебаний. Вывод уравнения Лапласа приведен во второй главе. Также во второй и третьей главах рассмотрены решения волновых уравнений с помощью функции Грина.

Применение метода функции Грина вызвано необходимостью использования обобщенных функций, а именно дельта-функции и ее свойств [1], при решении различных задач физики, например задач электродинамики [2], в расчетах оптико-электронных систем [3] или при описании установившихся колебаний гибкой мембраны, закрепленной по контуру [4].

1.ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

1.1.Механическая модель волнового процесса. Уравнение колебаний струны

Струной называется натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу, но сопротивляющаяся растяжению. Отсутствие сопротивления изгибу математически выражается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю.

Будем рассматривать плоское движение струны, когда смеще-

ние находится в плоскости (x, u),	а вектор смещения в каждый
момент времени перпендикулярен	оси Ox. Пусть в	плоскости
(x, u) струна совершает малые поперечные колебания		около сво-

его положения равновесия, совпадающего с осью Ox. Величину отклонения (смещения) струны от положения равновесия в точке x в момент времени t обозначим как u(x, t).

Рис. 1

Так как струна не сопротивляется изгибу, ее натяжение T (x,t) в момент t направлено по касательной к профилю струны в точке x. Любой участок струны (x1, x2 ) после отклонения от положения

равновесия в рамках нашего приближения не изменит своей длины. Действительно, длина

x2		∂u	2	x2
l = ∫			dx ≈	∫ dx = x2 − x1.
	1+
x1		∂x		x1

Следовательно, по закону Гука, натяжение T (x, t) будет оставаться постоянным, не зависящим от x, t : T (x, t) =T0.

Пусть ρ(x) – линейная плотность струны в точке х, так что

ρ(x)∆x – масса элемента ∆x струны M1M2.

Составим уравнение движения струны. На ее элемент M1M2

действуют силы натяжения T2 (x + ∆x,t) =T0 и T1(x, t) =T0 , сумма которых, согласно второму закону Ньютона, равна произведению массы этого элемента на его ускорение. Проектируя это векторное равенство на ось u, получим

T	sin α		−T	sin α		=ρ(x)∆x ∂2u ,	(1.1)

0		x+∆x	0		x	∂t2

= ∂∂ux

Поделим уравнение (1.1) на ∆x :

ρ(x) ∂2u T0

∂t2

1+ ∂u 2∂x

Перейдем в выражении (1.2) к пределу при ∆x →

ρ(x) ∂2u =T0 ∂2u .

∂t2 ∂x2

≈ ∂∂ux .

0 :

(1.2)

(1.3)

Делением уравнения (1.3) на T0

получим уравнение свобод-

ных, не зависящих от внешних сил колебаний струны:

∂2u

∂

(1.4)

∂t2

∂x2

Поясним смысл отношения T0 / ρ,

исходя из единиц измерения

рассматриваемых величин:

u измеряется в метрах;

ut′– в метрах в секунду;

utt′′

– в метрах в секунду в квадрате;

′

– безразмерная;

u′xx

измеряется в метрах в минус первой степени.

Таким образом, величина

T0 / ρ

имеет размерность квадрата

скорости.

Обозначим T / ρ = v 2. Тогда (1.4) перепишется в виде

1 ∂

∂

v 2 ∂t2

∂x2

или

∂2u = v 2 ∂2u

(1.5)

∂t2

∂x2

Получим уравнение свободных колебаний струны, или одно-

мерное волновое уравнение.

Покажем, что если ϕ(x) – дважды дифференцируемая функция, то уравнению (1.5) удовлетворяет функция u(x, t) = ϕ(x −vt),

или u(x, t) = u(w) = ϕ(w),

w = x − vt.

Действительно,

u′

= ϕ′

w′

= −vϕ′

′′

= v

′′

w t

utt

ϕww,

v 2ϕ′′ww = ϕ′′ww,

′

′′

= ϕ

w x

uxx = ϕww,

что и требовалось доказать.

Рис. 2

Частное решение уравнения колебаний струны имеет вид u(x, t) = ϕ(x −vt).

Дадим геометрическую интерпретацию решения. Пусть в начальный момент времени t = 0 был известен профиль струны. Посмотрим, что будет со струной в следующие моменты времени (рис. 2). Точка М на струне движется со скоростью v вправо, при этом ее отклонение остается во все моменты времени постоянным. Это движение называется также плоской волной, которая также движется со скоростью v. Сам процесс колебаний струны описывается волновым уравнением (1.5).

1.2. Волновое уравнение для электромагнитных волн

Электромагнитное поле характеризуется напряженностью E(M , t) электрического и H (M , t) магнитного полей, где M (x, y, z) – точка пространства; t – время. Эти величины удовле-

творяют следующим уравнениям Максвелла для непроводящей среды (σ = 0) при отсутствии объемных электрических зарядов:

div

= 0,

rot

= −µµ0 ∂H

∂t

(1.6)

∂

div H

= 0,

rot H

= εε0

∂t

где ε, µ – диэлектрическая и магнитная проницаемости; ε0 , µ0 –

электрическая и магнитная постоянные в единицах СИ.

Введем векторно-дифференциальный оператор Гамильтона, обозначаемый знаком «набла» :

	∂		∂		∂

=		,		,		.
	∂x		∂y
					∂z

Тогда система уравнений Максвелла перепишется в следующем виде:

∂H

E = 0,

×E = −µµ0

∂t

(1.7)

∂

H = 0,

×H = εε0

∂t

К последним двум уравнениям применим операцию векторного

умножения на оператор слева и получим систему

∂H

×( × E ) = −µµ0 ×

∂t

∂E

×( × H ) = εε0 × .

∂t

Воспользуемся формулой

векторного

анализа

(1.8)

a ×(b ×c ) =

= b (a c ) −c (a b ). Тогда левые части уравнений будут состоять

из двух слагаемых, а операцию дифференцирования и взятия век- торного-дифференциального оператора в правой части можно поменять местами:

∂

( E ) −

E = −

E = −µµ0

( × H ),

∂t

(1.9)

(

) −

∂

(

= −

= εε0

∂t

Дифференциальный оператор

2 =

∂2

на-

∂x2

∂y2

∂z2

зывают оператором Лапласа и обозначают как 2 ≡ ∆.

Так как первые слагаемые в (1.9) равны нулю, выражение (1.9) сократится до вида

∂

−∆E = −µµ0

εε0

∂t

(1.10)

∂

∂H

−∆H = εε0

−µµ0

∂t

Окончательно имеем

∂

E ,

∆

= εε0µµ0

∂t

(1.11)

∂2H

∆H = εε0µµ0

∂t

Два векторных уравнения (1.11) эквивалентны шести скаляр-

ным уравнениям относительно компонент векторов E и H. Все шесть уравнений имеют одинаковый вид. Обозначим через u(M , t) какую-нибудь компоненту какого-либо вектора. Тогда эта

скалярная величина будет удовлетворять уравнению

∆u(M ,t) = εε0µµ0	∂2u	.	(1.12)
	∂t2

	Заметим, что			1		= c 3 108 м/ c		–	скорость света. Пусть
	Заметим, что					= c 3 108 м/ c		–	скорость света. Пусть
				ε0µ0
v =		c	. Тогда уравнение (1.12) для u(M ,						t) примет вид
v =		εµ	. Тогда уравнение (1.12) для u(M ,						t) примет вид
		εµ
					∆u(M , t) =		1 ∂2u	.	(1.13)

							v 2 ∂t2
							v 2 ∂t2

Уравнение (1.13) – волновое уравнение для электромагнитных волн. Решение уравнения (1.13) будем называть волной.

Волновое уравнение (1.13) является математической моделью различных физических процессов. Рассмотрим в качестве примера некоторые из них.

1.Пусть точка M (x) принадлежит одномерному пространству

–прямой Ox, тогда однородное волновое уравнение имеет вид

utt′′ (x, t) = v 2u′′xx

(1.14)

и описывает свободные поперечные колебания струны или свободные продольные колебания стержня. Если же на струну или стержень кроме упругих сил действуют внешние возмущающие силы F(x, t), то уравнение колебаний называется неоднородным:

					utt′′ (x, t) = v 2u′′xx + f (x, t),	(1.15)
где	f (x, t) =	v	2F(x, t)	;	ρ(x) – плотность струны или стержня.
где	f (x, t) =		ρ(x)	;	ρ(x) – плотность струны или стержня.
			ρ(x)

Получающееся при этом решение называют вынужденными колебаниями. Если струна или стержень ограничены, то задаются граничные условия на обоих концах, а также начальные условия. Начальные условия задаются, например, в виде начального профиля u(x, 0) и начального импульса ut′(x, 0) в момент t = 0. В

этом случае уравнения (1.14) и (1.15) называют уравнениями ги-

перболического типа.

2.Пусть точка M (x, y) принадлежит двумерному пространству

–плоскости xOy. Тогда однородное волновое уравнение

utt′′ (x, y, t) = v 2 (uxx′′ +u′′yy )	(1.16)
	9

можно рассматривать как уравнение свободных колебаний плоской мембраны, а неоднородное уравнение

utt′′ (x, y, t) = v 2 (u′′xx +u′′yy ) + f (x, y, t)

(1.17)

рассматривать как уравнение вынужденных колебаний мембраны. При этом начальные условия задают начальное положение мембраны и распределение начальных скоростей на ней, а граничные условия задаются способами закрепления границ мембраны.

Если же струна, стержень или мембрана неограниченны, то в качестве граничных условий задают поведение решения на бесконечности, которое, как правило, на бесконечности должно стремиться к нулю.

3. Пусть точка M (x, y, z) принадлежит трехмерному про-

странству. Тогда волновое уравнение можно рассматривать как уравнение малых колебаний газа, заключенного в сферическую оболочку с соответствующими начальными условиями в момент времени t = 0 и граничными условиями на сфере, или как уравнение электромагнитных колебаний, свободных или вынужденных, по аналогии с изложенным в пп. 1 и 2.

Основная проблема, возникающая при исследовании всех этих уравнений и многих других, – это построение решения. Опустим вопрос построения корректного решения [1] и просто перечислим некоторые методы нахождения решения дифференциальных уравнений в частных производных: метод разделения переменных Фурье, метод нахождения обобщенного решения с помощью интегральных преобразований Фурье и Лапласа, метод функции Грина или источника, приближенные методы, например сеточные, и т. д.

Вданном пособии рассматривается, в основном, метод решения с помощью функции Грина.

Метод разделения переменных можно применять, когда функции, входящие в уравнение, в граничные и начальные условия, могут быть разложены в ряд Фурье по собственным функциям, т. е. функции должны, например, удовлетворять условиям Дирихле и быть периодическими, при этом допускается конечное число точек разрыва у функций с конечными скачками.

Вслучае бесконечного скачка в точке x0 , как, например, в

случае с дельта-функцией, приходится пользоваться интегральным

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]