
Дифференциальные уравнения первого порядка (96
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Задача 6. Решить задачу Коши: xy′− y = x tg |
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y |
, |
y (1)= π2 . |
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x |
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Решение. Это однородное уравнение первого измерения, так |
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как функции M (x, |
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y)= x и |
N (x, y)= y + x tg |
y |
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являются одно- |
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x |
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y |
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y′ = dy = |
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родными |
первого |
измерения. |
Положим |
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= t , |
тогда |
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x |
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dx |
||||
=1+ x |
dt |
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dt |
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dt |
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dx |
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||||||
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и x t + x |
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= tx + x tg t |
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= |
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ln |
sin t |
= ln |
x |
+C |
||||||||||
|
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||||||||||||||||||
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dx |
|
|
dx |
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tg t |
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x |
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|||||
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или |
sin |
y |
= Cx . Тогда частное решение, |
отвечающее |
начальным |
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x |
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данным, имеет вид
sin xy = x .
11. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Проинтегрировать дифференциальные уравнения, приведенные в табл. 11.1.
Таблица 11.1
№ |
Уравнение |
Ответ |
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п/п |
|||
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1 |
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x + xy + yy′ 1+ x |
) |
= 0 |
x + y = ln |
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C |
( |
x +1 y +1 |
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|||||||||
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( |
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)( |
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) |
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|||
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2 |
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2 yy′ = x(y′+4) |
y = Cx |
2 |
+ |
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1 |
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; y = ±2x |
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||||||||
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C |
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3 |
x 1+ y2 + y 1+ x2 y′ = 0 |
1+ x2 + 1+ y2 = C |
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|||||||||||||||
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2 |
) |
|
2 |
|
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C |
|
1+ x2 |
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||||
4 |
1 |
+ x |
|
y′+ y 1+ x = xy |
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|||
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y = |
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||||||||
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( |
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x + |
|
1+ x2 |
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||||||
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41

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Продолжение табл. 11.1 |
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№ |
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Уравнение |
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Ответ |
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п/п |
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x |
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|
x |
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|
x |
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||||||
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y |
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|
y |
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x + ye |
x / y |
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5 |
1 |
+ e |
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dx + e |
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1 − |
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dy |
= 0 |
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=1 |
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y |
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6 |
3x2e y +( x3e y −1) y′ = 0 , y (0)=1 |
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x3e y −1 = −1 |
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7 |
|
(x2 + y2 )dx − xydy = 0 |
y2 = x2 (ln |
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x |
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−C) |
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8 |
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yy′ = 2 y − x |
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|
x |
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|
y − x = Ce |
y−x |
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||
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(1− x)dy − ydx = 0 ; |
|
y |
( |
0 |
) |
=1 |
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1 |
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|||||||||||||||||||||
9 |
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|
y = 1− x |
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|||||
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y |
|
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y |
− x |
|
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|
y |
+ln |
|
|
x |
|
= C |
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10 |
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xy′cos x |
= y cos x |
|
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sin x |
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11 |
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y = −xy′+ y′2 |
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x = |
C |
− p , y = −xp + p2 |
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p |
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12 |
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xdy = ( y + |
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x2 + y2 )dx |
Cx2 = y + |
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x2 + y2 |
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13 |
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xy′ = y ln |
x |
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y = xeCx+1 |
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y |
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||||||
14 |
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4 |
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2 |
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1 |
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4 |
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( x +1)dy −(2 y +( x + |
1) |
)dx = 0 |
y = C( x +1) |
+ 2 ( x + |
1) |
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15 |
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y′+ |
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1 |
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= 0 |
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x = 2 y − y2 −2 +Ce−y |
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x + y |
2 |
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16 |
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y′x + y = −xy2 |
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y = |
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1 |
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x ln |
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Cx |
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||||||
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5 |
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2 |
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|
y |
= − |
|
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1 |
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||||||||
17 |
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xdy = ( x |
y |
−2 y)dx |
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1 x5 +Cx2 |
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3 |
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42 |
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Продолжение табл. 11.1
№ |
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Уравнение |
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Ответ |
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|||||||||||||||
п/п |
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y′ = xy + x |
3 |
y |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
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|
2 |
|
+Ce |
− |
x2 |
|
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||||||||||||||||||
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18 |
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y = 2 − x |
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2 |
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||
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yy′−4x − y |
2 |
|
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x = 0 |
|
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|
x = |
|
y4 |
|
|
|
|
2 |
|
Cx |
|
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|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
19 |
|
|
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4 ln |
|
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||||||||||||||||||||||
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20 |
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(12x +5y −9)dx +(5x +2y −4)dy =0 |
6x2 +5xy + y2 −9x −4y =C |
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21 |
(3xy2 − x2 )dx +(3x2 y −6 y2 −1)dy = 0 |
6y +12y3 −9x2 y2 +2x3 =C |
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22 |
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(ln y −2x)dx +( |
x |
−2 y)dy = 0 |
x ln y − x2 − y2 = C |
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y |
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23 |
( |
sin 2x |
+ x)dx +( y − |
sin2 x |
)dy = 0 |
sin2 x |
+ |
x2 |
|
+ y2 |
= C |
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y |
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y2 |
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y |
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2 |
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x |
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ydy |
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24 |
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− |
1 dx − |
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= 0 |
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x2 − y2 − x = C |
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2 − y2 |
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x2 − y2 |
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x |
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25 |
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y = xy′− y′ |
2 |
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y = Cx −C |
2 |
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, |
|
y |
= |
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x2 |
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4 |
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26 |
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y = xy′+ y′+e y′ |
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y = Cx +C +eC , |
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y = ( x +1) ln(−x −1) − x −1 |
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27 |
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(1+ y2 )dx = xydy , |
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y (2)=1 |
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x2 = 2 +2 y2 |
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28 |
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sec2 x tg ydx +sec2 y tg xdy = 0 |
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tg x tg y = C |
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29 |
sin x sin ydx +cos x cos ydy = 0 |
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sin y |
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cos x = C |
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−y |
x |
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y |
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(1)= 0 |
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1 |
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30 |
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y′ = e |
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+ |
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, |
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y |
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y = x ln(1+ln x) , |
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x > e |
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x |
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31 |
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xdy −( x + y)dx = 0, |
|
y(e) = 0 |
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y = −x + x ln |
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x |
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43 |

Продолжение табл. 11.1
№ |
Уравнение |
Ответ |
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п/п |
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32 |
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3 |
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2 |
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1 |
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2 |
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y′+ x y = x3 , y (1)=1 |
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y = − x3 + x2 |
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33 |
xy′ = x +2 y , y (2)= 2 |
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|
y = x2 − x |
|
|
|
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34 |
xdx + ydy |
+ |
xdy |
− ydx |
= 0 |
1+ x2 + y2 +arc tg |
y |
= C |
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1+ x2 + y2 |
2 |
2 |
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x |
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x |
+ y |
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35 |
y = x 1 |
+ y′ |
) |
+ |
( |
y′ |
) |
2 |
|
|
x = Ce− p −2 p +2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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y = x(1+ p) + p2 |
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( |
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36 |
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1 |
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xy′ = x + 2 y , y (1)=1 |
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y = − |
x |
+2x |
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37 |
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y′ = e |
y |
x |
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y |
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−y |
x |
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+ x |
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ln Cx = −e |
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38 |
xy ' = x − y , |
|
y(2) =1 |
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1 |
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y = 2 x |
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39 |
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2 |
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1 |
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xy '+ y = y |
|
ln x , |
y(1) =1 |
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y = ln x +1 |
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40 |
y '−9x2 y = (x5 + x2 )y2 3 , |
|
2 |
|
e |
x3 |
− |
1 |
x |
3 |
− |
2 |
|
3 |
|
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|
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y (0)= 0 |
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y = |
9 |
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|
9 |
|
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|
9 |
, y = 0 |
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|
( x +2 y)dx + ydy |
= 0 , |
ln( x + y) − |
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y |
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|
=1 |
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41 |
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( x + y)2 |
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x + y |
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y(e) = 0 |
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2x(1−e y ) |
+ |
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e y |
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dy = 0 , |
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e y − |
1 |
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42 |
(1+ x |
2 |
) |
2 |
|
1 |
+ x |
2 |
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|
= e |
|
−1 |
|
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1+ x2 |
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y (0)=1 |
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|
xdx + ydy + ydx2 |
− xdy2 = 0 , |
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
x |
|
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43 |
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x |
|
|
+ y |
|
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+2arctg y |
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y (0)=1 |
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44

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Окончание табл. 11.1 |
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№ |
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Уравнение |
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Ответ |
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п/п |
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x |
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|
ydy |
|
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||||
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− |
1 dx − |
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= |
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44 |
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2 |
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2 |
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|
2 |
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|
2 |
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x2 − y2 − x = C |
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|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
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|
x |
− y |
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
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x = |
C |
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y = |
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Cp2 |
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2 y (y′+2) = xy′2 |
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, |
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, |
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45 |
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( p +2)4 |
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2( p +2)5 |
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y = 0 , |
y = −4x |
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xy |
′ = |
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y |
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( ) |
= e |
− |
1 |
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− |
x |
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, |
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2 |
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46 |
y 1+ln |
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y 1 |
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2 |
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y |
= xe |
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x |
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y |
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2 |
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1 |
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3 |
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C |
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47 |
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y′+ |
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|
= x |
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y = |
4 x |
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+ |
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|
x |
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|
x |
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||||
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y |
= x , y (1) |
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|
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y |
|
y |
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48 |
( xy′− y)arctg |
= 0 |
|
x2 + y2 |
|
= e |
|
arctg |
|
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x |
x |
|
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|
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|
x |
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49 |
|
y |
2 |
+ x |
2 |
|
y′ = xyy′, |
|
y 3 = 4 |
|
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|
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|
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|
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|
3 y−4 x |
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|
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|
( ) |
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y = 4e |
|
|
3x |
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2x |
dx + |
y2 −3x2 |
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|
x2 |
|
|
1 |
|
= C |
|
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50 |
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y3 |
|
|
|
y4 |
|
|
dy = 0 |
|
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|
y3 − y |
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||||
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dy = |
|
( x |
2 |
+2x −2 y)dx |
|
|
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|
y = Ce |
−2 x |
|
1 |
|
(2x |
2 |
+2x −1) |
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51 |
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+ 4 |
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52 |
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|
x2 y′+ y = 0 |
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|
y = Ce1 x |
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53 |
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y′ = 2 y ln x , y (e) =1 |
|
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y = x ln |
|
x |
|
− x +1 |
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45
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференци-
альные уравнения: Учебник для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 336 с.
2.Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциаль-
ные уравнения первого порядка: Метод. указания по курсу «Высшая математика». М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1989. 32 с.
3.Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифферен-
циальные уравнения первого порядка: Метод. указания по курсу «Высшая математика». М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 37 с.
4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: Т. 2. М.: Наука, 1985. 560 с.
5.Филиппов А.В. Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учеб. для вузов. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 238 с.
46
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение ..................................................................................................... |
3 |
|
1. |
Основные понятия.................................................................................. |
4 |
2. |
Уравнения с разделяющимися переменными...................................... |
6 |
3. |
Однородные уравнения ......................................................................... |
9 |
4. |
Линейные уравнения.............................................................................. |
13 |
5. |
Уравнение Бернулли.............................................................................. |
17 |
6. |
Уравнения в полных дифференциалах................................................. |
22 |
7. |
Уравнения Лагранжа и Клеро............................................................... |
27 |
8. |
Уравнение Риккати ................................................................................ |
29 |
9. |
Метод изоклин........................................................................................ |
34 |
10. Решение типовых задач....................................................................... |
38 |
|
11. Задачи для самостоятельного решения.............................................. |
41 |
|
Список рекомендуемой литературы......................................................... |
46 |
47
Учебное издание
Кандаурова Ирина Евгеньевна Миткин Владимир Валентинович Шишкина Светлана Ивановна
Дифференциальные уравнения первого порядка
Редактор О.М. Королева Корректор М.А. Василевская
Компьютерная верстка И.А. Марковой
Подписано в печать 08.10.2008. Формат 60 × 84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 2,65.
Тираж 2000 экз. Изд. № 35. Заказ №
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5
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