Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Дифференциальные уравнения первого порядка (96

..pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
417.15 Кб
Скачать

 

Задача 6. Решить задачу Коши: xy′− y = x tg

 

y

,

y (1)= π2 .

 

x

 

Решение. Это однородное уравнение первого измерения, так

как функции M (x,

 

y)= x и

N (x, y)= y + x tg

y

 

являются одно-

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y′ = dy =

родными

первого

измерения.

Положим

 

= t ,

тогда

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

=1+ x

dt

 

 

dt

 

 

dt

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и x t + x

 

= tx + x tg t

 

 

=

 

 

 

ln

sin t

= ln

x

+C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dx

 

 

tg t

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

sin

y

= Cx . Тогда частное решение,

отвечающее

начальным

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

данным, имеет вид

sin xy = x .

11. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Проинтегрировать дифференциальные уравнения, приведенные в табл. 11.1.

Таблица 11.1

Уравнение

Ответ

п/п

 

 

1

 

x + xy + yy1+ x

)

= 0

x + y = ln

 

C

(

x +1 y +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

)(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 yy′ = x(y′+4)

y = Cx

2

+

 

1

 

; y = ±2x

 

 

 

 

C

 

 

3

x 1+ y2 + y 1+ x2 y′ = 0

1+ x2 + 1+ y2 = C

 

 

 

 

 

2

)

 

2

 

 

 

 

C

 

1+ x2

 

 

4

1

+ x

 

y′+ y 1+ x = xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

x +

 

1+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продолжение табл. 11.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п/п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + ye

x / y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1

+ e

 

 

dx + e

 

1

 

 

dy

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

3x2e y +( x3e y 1) y′ = 0 , y (0)=1

 

 

x3e y 1 = −1

 

 

7

 

(x2 + y2 )dx xydy = 0

y2 = x2 (ln

 

 

 

x

 

 

C)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

yy′ = 2 y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x = Ce

yx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1x)dy ydx = 0 ;

 

y

(

0

)

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

y = 1x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

y

x

 

 

 

 

y

+ln

 

 

x

 

= C

 

 

10

 

xycos x

= y cos x

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

y = −xy′+ y2

 

 

 

 

 

x =

C

p , y = −xp + p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

xdy = ( y +

 

x2 + y2 )dx

Cx2 = y +

 

 

 

 

 

 

x2 + y2

 

 

13

 

 

 

 

xy′ = y ln

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = xeCx+1

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4

( x +1)dy (2 y +( x +

1)

)dx = 0

y = C( x +1)

+ 2 ( x +

1)

 

 

 

 

 

15

 

 

 

y′+

 

 

 

1

 

= 0

 

 

 

 

 

x = 2 y y2 2 +Cey

 

 

 

 

x + y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

yx + y = −xy2

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln

 

 

Cx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= −

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

xdy = ( x

y

2 y)dx

 

 

1 x5 +Cx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продолжение табл. 11.1

 

 

 

 

 

Уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п/п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = xy + x

3

y

3

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

+Ce

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2 x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yy′−4x y

2

 

 

 

x = 0

 

 

 

x =

 

y4

 

 

 

 

2

 

Cx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

(12x +5y 9)dx +(5x +2y 4)dy =0

6x2 +5xy + y2 9x 4y =C

21

(3xy2 x2 )dx +(3x2 y 6 y2 1)dy = 0

6y +12y3 9x2 y2 +2x3 =C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

(ln y 2x)dx +(

x

2 y)dy = 0

x ln y x2 y2 = C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

(

sin 2x

+ x)dx +( y

sin2 x

)dy = 0

sin2 x

+

x2

 

+ y2

= C

 

y

 

 

 

y2

 

y

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ydy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

1 dx

 

 

 

 

= 0

 

 

x2 y2 x = C

 

2 y2

 

 

 

x2 y2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

y = xy′− y

2

 

 

y = Cx C

2

 

,

 

y

=

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

y = xy′+ y′+e y

 

 

 

y = Cx +C +eC ,

 

 

 

 

 

 

y = ( x +1) ln(x 1) x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

(1+ y2 )dx = xydy ,

 

y (2)=1

 

 

x2 = 2 +2 y2

 

 

 

 

 

28

 

sec2 x tg ydx +sec2 y tg xdy = 0

 

 

tg x tg y = C

 

 

 

29

sin x sin ydx +cos x cos ydy = 0

 

 

sin y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x = C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

 

y

 

 

 

 

 

(1)= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

30

 

 

 

y′ = e

 

 

+

 

,

 

y

 

y = x ln(1+ln x) ,

 

 

x > e

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

xdy ( x + y)dx = 0,

 

y(e) = 0

 

 

y = −x + x ln

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43

Продолжение табл. 11.1

Уравнение

Ответ

п/п

 

 

32

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

y′+ x y = x3 , y (1)=1

 

 

 

 

y = − x3 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

xy′ = x +2 y , y (2)= 2

 

 

 

 

 

 

y = x2 x

 

 

 

 

34

xdx + ydy

+

xdy

ydx

= 0

1+ x2 + y2 +arc tg

y

= C

1+ x2 + y2

2

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

y = x 1

+ y

)

+

(

y

)

2

 

 

x = Cep 2 p +2 ,

 

 

 

 

y = x(1+ p) + p2

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy′ = x + 2 y , y (1)=1

 

 

 

y = −

x

+2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

 

 

y′ = e

y

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

ln Cx = −e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

xy ' = x y ,

 

y(2) =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy '+ y = y

 

ln x ,

y(1) =1

 

 

 

 

 

y = ln x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

y '9x2 y = (x5 + x2 )y2 3 ,

 

2

 

e

x3

1

x

3

2

 

3

 

 

 

 

 

y (0)= 0

 

 

 

 

 

 

 

y =

9

 

 

 

9

 

 

 

9

, y = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x +2 y)dx + ydy

= 0 ,

ln( x + y)

 

 

 

 

y

 

 

=1

41

 

 

( x + y)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y

 

 

 

 

 

y(e) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x(1e y )

+

 

 

 

 

e y

 

dy = 0 ,

 

 

 

 

e y

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

(1+ x

2

)

2

 

1

+ x

2

 

 

 

 

 

= e

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0)=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx + ydy + ydx2

xdy2 = 0 ,

 

x

2

+ y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

+ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+2arctg y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0)=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончание табл. 11.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ

 

 

 

 

 

 

 

 

п/п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ydy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dx

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

x2 y2 x = C

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

C

 

 

 

 

y =

 

 

Cp2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y (y′+2) = xy2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

,

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p +2)4

 

2( p +2)5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 0 ,

y = −4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

′ =

 

 

 

 

 

 

 

y

 

( )

= e

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46

y 1+ln

 

 

 

y 1

 

2

 

 

 

 

 

y

= xe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

C

 

47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′+

 

 

 

= x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

4 x

 

 

+

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= x , y (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

48

( xy′− y)arctg

= 0

 

x2 + y2

 

= e

 

arctg

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49

 

y

2

+ x

2

 

y′ = xyy,

 

y 3 = 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 y4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 4e

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

dx +

y2 3x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

1

 

= C

 

50

 

 

 

y3

 

 

 

y4

 

 

dy = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y3 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy =

 

( x

2

+2x 2 y)dx

 

 

 

 

 

 

y = Ce

2 x

 

1

 

(2x

2

+2x 1)

 

51

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y′+ y = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = Ce1 x

 

 

 

 

 

53

 

 

y′ = 2 y ln x , y (e) =1

 

 

 

 

 

 

 

y = x ln

 

x

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференци-

альные уравнения: Учебник для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 336 с.

2.Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциаль-

ные уравнения первого порядка: Метод. указания по курсу «Высшая математика». М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1989. 32 с.

3.Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифферен-

циальные уравнения первого порядка: Метод. указания по курсу «Высшая математика». М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 37 с.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: Т. 2. М.: Наука, 1985. 560 с.

5.Филиппов А.В. Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учеб. для вузов. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 238 с.

46

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Введение .....................................................................................................

3

1.

Основные понятия..................................................................................

4

2.

Уравнения с разделяющимися переменными......................................

6

3.

Однородные уравнения .........................................................................

9

4.

Линейные уравнения..............................................................................

13

5.

Уравнение Бернулли..............................................................................

17

6.

Уравнения в полных дифференциалах.................................................

22

7.

Уравнения Лагранжа и Клеро...............................................................

27

8.

Уравнение Риккати ................................................................................

29

9.

Метод изоклин........................................................................................

34

10. Решение типовых задач.......................................................................

38

11. Задачи для самостоятельного решения..............................................

41

Список рекомендуемой литературы.........................................................

46

47

Учебное издание

Кандаурова Ирина Евгеньевна Миткин Владимир Валентинович Шишкина Светлана Ивановна

Дифференциальные уравнения первого порядка

Редактор О.М. Королева Корректор М.А. Василевская

Компьютерная верстка И.А. Марковой

Подписано в печать 08.10.2008. Формат 60 × 84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 2,65.

Тираж 2000 экз. Изд. № 35. Заказ №

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5

48

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]