Дифференциальные уравнения первого порядка (96

Выполним подстановку z = zu , тогда

После интегрирования получим

23 arctg 5u3−1 = ln x +C ,

откуда

u= 15 1 + 3 tg 32 ln x +C .

Сучетом y = 1 / xu, найдем окончательно общее решение:

Основные типы уравнений и способы их решения представлены в табл. 8.1.

31

определяет в каждой точке плоскости ( x, y) , где существует функция f (x, y) , значение y′ , т. е. угловой коэффициент касательной к

интегральной кривой в этой точке.

Если в каждой точке области D задано значение некоторой величины, то говорят, что в D задано поле этой величины. Следовательно, дифференциальное уравнение (9.1) задает в каждой точке области определения функции f (x, y) направление касательной к интегральной кривой, т. е. определяет поле направлений. Совокупность отрезков этих касательных дает геометрическую картину поля направлений.

Задача интегрирования дифференциального уравнения (9.1) может быть сформулирована следующим образом: найти такие кривые, касательные к которым в каждой точке имели бы направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.

Имея поле направлений, можно приближенно построить интегральные кривые. Построение поля направлений путем перебора координат большого количества точек весьма трудоемкая задача. Для ее облегчения удобно использовать изоклины.

Определение. Изоклиной называется геометрическое место точек одинакового угла наклона касательных к интегральным кривым.

Семейство изоклин дифференциального уравнения (9.1) определяется уравнением

где k – параметр.

В каждой точке изоклины (9.2) касательные к интегральным кривым имеют один и тот же угловой коэффициент k , т. е. касательные параллельны между собой. Придавая k различные число-

34

вые значения, получаем сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить поле направлений.

Пример 9.1. Методом изоклин построить семейство интеграль-

таким образом, чтобы тангенс угла tg α между проводимым отрез-

ком и осью Ox равнялся k .

Построим приближенно кривые в плоскости ( x, y) , которые в

каждой своей точке касаются поля направлений (рис. 9.1). Следует отметить, что построенные кривые приблизительно иллюстрируют поведение интегральных кривых уравнения (9.3).

Рис. 9.1

Пример 9.2. Методом изоклин построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения

Решение. Областью определения функции является множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству 2x − y > 0 ,

определена в этой же области. По теореме Коши через каждую точку области y < 2x проходит интегральная кривая и при том только

мой y = 2x −1 находятся точки минимумов интегральных кривых. Исследуем вторую производную:

y′′ = (ln(2x − y))′ = 2 −ln(2x − y) . 2x − y

Интегральные кривые имеют выпуклость вниз при 2x −e2 < < y < 2x, и вверх – при y < 2x −e2 . Найдем асимптоты интеграль-

ных кривых. Проверим, существуют ли интегральные кривые, совпадающие с изоклинами (такие кривые являются асимптотами). Определим, при каком k график изоклины задается функцией

y = 2x −ek , являющейся решением дифференциального уравнения:

d (2x −ek ) = ln(2x −(2x −ek )) . dx

36

Рис. 9.2

Выполнив дифференцирование, найдем k = 2 , т. е. y = 2x −e2

является асимптотой и интегральной кривой. На границе области определения лежит прямая y = 2x , которая не является интеграль-

ной кривой. При y → 2x ln(2x − y) → −∞, т. е. y′ → −∞ и угол наклона интегральных кривых стремится к − π2 .

Замечание. Несмотря на то, что по построенному полю направлений возможно провести гладкую кривую, пересекающую ли-

нию y = 2x −e2 с угловым коэффициентом касательной k = 2 в точке пересечения, интегральные кривые не пересекают прямую y = 2x −e2 , поскольку сама эта прямая является интегральной кри-

вой, и в случае пересечения ее с другой интегральной кривой через точку пересечения проходили бы как минимум две интегральные кривые, а это противоречило бы условию единственности решения задачи Коши, которое должно соблюдаться всюду в области

2x − y > 0 .

Таким образом, метод изоклин позволяет по заданному полю направлений для уравнения, разрешенного относительно производной, определить приблизительное поведение семейства интегральных кривых данного уравнения.

37

10. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1. Определить тип дифференциального уравнения 2x2 yy′+ y2 = 2 и найти его общий интеграл.

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на x2 (2 − y2 )≠ 0 и перепишем его в виде

xy′+2 y + x5 y3ex = 0 и найти его общий интеграл.

Решение. Это уравнение Бернулли. Решим его, выполнив замену z = y12 , y ≠ 0 . С учетом того, что z′ = −2 yy3′ , получим −x2 z′+ + 2z = −x5ex . Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее однородное уравнение

xdz +2z = 0 , −2dx

или

dzz = 4 dxx ln z = 4ln x +ln C z = Cx4 .

Методом вариации постоянной найдем C (x):

−x2 (C′x4 +4x3C) +2Cx4 = −x5ex C′ = 2ex C = 2ex +C1 ,

тогда z = 2x4ex +C1x4 .

38

лучим y = 3xp −7 p3. Возьмем полный дифференциал, учитывая, что dy = pdx : pdx = 3pdx +3xdp −21p2dp или −2 pdx = (3x −21p2 )dp .

Перепишем последнее уравнение в виде

dpdx + 23xp = 212p .

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее однородное уравнение

Методом вариации постоянной найдем C (x):

Продифференцировав уравнение (10.1) и заменив dy на pdx , найдем

Тогда общее решение будет иметь вид y = ex ln x +C2ex .

Частное решение найдем, подставив начальные данные в общее решение:

e = C2e C2 =1 y = ex (ln x +1) .

40