Дифференциальные уравнения первого порядка (96

Пример 5.4. Проинтегрировать уравнение y′ −xy = −y3e−x2 .

Решение. Используем замену y(x) = u(x)v(x), y′ = u′v + uv′. Подставим у и y′ в исходное уравнение:

u′v + uv′ − xuv = −u3v3e−x2 , u′v + u dv − xv = −u3v3e−x2 .dx

Будем искать v (x) из условия ddxv − xv = 0 . Получим диффе-

ренциальное уравнение с разделяющимися переменными

x2

dvv = xdx , из которого определим v = e 2 .

Используя найденную функцию v(x) , получим

Следовательно, общее решение исходного уравнения будет вы-

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения

21

Общее решение уравнения (5.3) примет вид

6. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

Определение. Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U (x, y). В

этом случае уравнение (6.1) можно переписать следующим образом: dU = 0 . Тогда его общий интеграл будет выглядеть так:

dU = ∂∂Ux dx + ∂∂Uy dy , то для того, чтобы левая часть уравнения

22

(6.1) была полным дифференциалом некоторой функции U (x, y), должны выполняться равенства

Из формул (6.3) следует, что

Поскольку, ∂2U = ∂2U то из (6.4) получим

∂x∂y ∂y∂x

Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы уравнение (6.1) было уравнением в полных дифференциалах.

Решение уравнения сводится к восстановлению функции по ее полному дифференциалу. Интегрируя первую формулу (6.3) по х,

получаем U = ∫∂∂Ux dx + ϕ(y) , где ϕ(y) играет роль постоянной ин-

тегрирования. Для определения ϕ(y) дифференцируем найденную функцию U (x, y) по у:

С другой стороны, из (6.3) ∂∂Uy =Q(x, y) , поэтому полученная в

(6.6) частная производная должна быть равна Q (x, y). Из уравнения

∫∂u dx ′ + ϕ′(y) = Q(x, y) ∂x y

23

выразим ϕ′(y) . После интегрирования найдем ϕ(y) . Подставив найденную функцию в соотношение U = ∫∂∂Ux dx + ϕ(y) , определим

U (x, y) и из (6.2) получим общий интеграл (6.1).

Пример 6.1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

ем в полных дифференциалах.

Непосредственно восстановим функцию U (x, y) по ее частным производным. ∂∂Ux = P(x, y) = e−y , тогда

U = ∫∂∂Ux dx + ϕ(y) = ∫e−ydx + ϕ(y) = xe−y + ϕ(y) .

Для определения ϕ(y) продифференцируем найденную функцию U (x, y) по у:

Q ( x , y ) = 1 − x e − y , получим уравнение для определения ϕ(y) :

Пример 6.2. Решить уравнение

5x4 ydx + (x5 − y)dy = 0 .

Решение. Проверим условие ∂∂Py = ∂∂Qx :

Условие равенства частных производных выполнено, следовательно, существует функция U (x, y) , такая, что dU = Pdx + Qdy .

ϕ′(x) = 0 и ϕ(x) = C .

Таким образом,

а общий интеграл исходного уравнения имеет вид x5y − y2 = C .

2

25

В том случае, когда дифференциальная форма

+ Q(x, y)dy не является полным дифференциалом, существует функция m(x, y) . После умножения формы на эту функцию уравнение вида P( x, y)dx +Q( x, y)dy = 0 становится уравнением в полных

дифференциалах. Такая функция называется интегрирующим множителем.

Пример 6.3. Решить уравнение

или

1x + xy2 dx − 1x dy = 0 .

Отметим, что

и последнее полученное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Легко заметить, что уравнение (6.7) можно преобразовать к виду

d xy = d ln x .

Откуда

xy = ln x +C

– общий интеграл исходного уравнения.

26

7. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО

Определение. Уравнением Лагранжа называется уравнение вида

Семейство интегральных кривых данного уравнения представляет собой семейство прямых.

27

Пример 7.1. Решить уравнение y = x(y′)2 − y′ .

Решение. Введем параметр p = y′. Продифференцируем урав-

Пример 7.2. Проинтегрировать уравнение y = x y ′ + 21y ′ .

Решение. Положив y′ = p , получим

откуда

dp x − 21p2 = 0 .

Приравняв нулю первый множитель, получим dp = 0 , откуда

p из этого уравнения и из уравнения (7.3), получим второе решение исходного уравнения: y2 = 2x .

8. УРАВНЕНИЕ РИККАТИ

Уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее вид

При этом предполагается, что a (x) ≠ 0 , поскольку в противном

случае уравнение является линейным. Уравнение Риккати в общем случае не интегрируется в квадратурах.

Уравнение Риккати не меняет своего вида при замене независимой переменной x = f ()t и при дробно-линейной замене зависи-

Если известно частное решение уравнения Риккати y1 (x), то при помощи замены y = y1 + z оно приводится к уравнению Бернулли

которое интегрируется подстановкой z = 1 / p .

29

Ангармоническое отношение любых четырех частных решений уравнения Риккати равно постоянной, т. е. имеет место следующее соотношение:

y1, y2, y3 , то общее решение этого уравнения и находится без квадратур:

где a ≠ 0, b ≠ 0 – некоторые постоянные.

Уравнение (8.5) интегрируется в элементарных функциях толь-

ко при значениях α = 1 −4n2n , n = 0, ±1, ± 2... , или α = −2 (теорема

Лиувилля). Для интегрирования уравнения в последнем случае применяется подстановка y = 1 / z , приводящая его к однородному

уравнению

z′ = −b xz 2 .

Пример 8.1. Решить уравнение

Решение. Положив y = 1 / z , получим однородное уравнение

z′ =1 + 52 xz 2 .

30