Дифференциальные уравнения первого порядка (96

Возвращаясь к функции у заменой u = xy , приходим к − xy =

Кроме того, решением является функция y (x) ≡ 0 . Пример 3.2. Проинтегрировать уравнение

(x2 + 2xy − y2)dx + (y2 + 2xy − x2)dy = 0

и найти интегральную кривую, проходящую через точку (0,1). Решение. Исходное уравнение является однородным, так как

функции M (x, y) и N (x, y) являются однородными 2-го измерения. Разделим обе части исходного уравнения на x2dx :

x

уравнения

x2 + y2 =

x + y

C.

11

ное уравнение показывает, что y = −x является решением этого

уравнения.

Частный интеграл определим, подставив в общий интеграл начальные условия x = 0 , y = 1 , откуда найдем C = 1, после чего оп-

ределим частный интеграл: x2 + y2 = 1. x + y

Пример 3.3. Найти частное решение уравнения

2x2dy = (x 2 +y2)dx ,

удовлетворяющее условию y (1) = 0 .

Решение. Исходное уравнение является однородным, так как обе функции M (x, y) и N (x, y) – однородные 2-го измерения.

Разделив обе части исходного уравнения на x2dx , получим

2 dxdy = 1 + xy 2 .

Положим xy = u , тогда y = ux и y′ = xu′ +u . В результате полу-

чим уравнение с разделяющимися переменными

Выразив y , определим общее решение:

12

Для нахождения частного решения подставим в общее решение начальные условия y = 0 при x = 1 :

– искомое частное решение.

4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно линейное относительно неизвестной функции и ее производной, т. е. имеет вид

где p(x) и q(x) – заданные непрерывные функции от х. Определение. Если q(x) ≡ 0 , то уравнение (4.1) называется ли-

нейным однородным, а если q(x) ≠ 0 , то уравнение (4.1) называется

неоднородным. В случае, если уравнение является линейным однородным, то оно является уравнением с разделяющимися переменными. Если же уравнение является неоднородным, то его решение можно найти двумя методами: 1) методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) либо 2) методом подстановки.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагран-

жа). Для нахождения общего решения неоднородного уравнения (4.1) сначала находим общее решение соответствующего линейного однородного уравнения y′ + p(x)y = 0 .

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

y = Ce−∫ p(x)dx .

13

Решение неоднородного уравнения (4.1) будем искать в таком же

Подставив функцию у из (4.2) и соответствующую производную y′ в (4.1), получим уравнение, из которого определяется C (x).

Пример 4.1. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y′ + 2xy = 0 . Это уравнение с разделяющимися переменными, об-

щее решение которого имеет вид y = Ce−x2 . Общее решение неоднородного уравнения (4.3) будем искать, согласно (4.2), в виде

где C(x) – неизвестная функция от х. Подставив (4.4) в (4.3), получим C ′(x) = 2x .

Отсюда C(x) = x2 +C . Таким образом, общим решением неоднородного уравнения (4.3) является

y = (x2 +C)e−x2 ,

где С – произвольная постоянная. Пример 4.2. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y′ − x5 y = 0 . Это уравнение с разделяющимися переменными, опре-

делим его общее решение:

14

+ Cx5 – есть общее решение неоднородного уравнения (4.5).

Метод подстановки. Метод подстановки по сути аналогичен методу вариации произвольной постоянной. Сделаем в уравнении

Определим v(x) таким образом, чтобы выполнялось условие v′ + pv = 0 , после чего подставим полученную функцию в (4.8) и

взять любое частное решение уравнения v′ + pv = 0 , v ≠ 0 .

Положим C1 = 0 и возьмем знак плюс, получим v = x5 . Подставив последнюю функцию в (4.9), найдем в итоге u = −61x6 +C . Оконча-

тельно общее решение исходного уравнения примет вид

15

Уравнение v′ + 2xv = 0 имеет частное решение (при C1 = 0 ) v = e−x2 , подставив которое в (4.10), найдем u = 23 x3 +C . Отсюда

Решение. Уравнение (4.11) не является линейным относитель-

но у. Приведем его к линейному относительно х и xy′ = dxdy :

Примем uy′ − u cos y = 0 . Найдем частное решение в виде u = esin y . Подставим это уравнение в (4.13) и получим уравнение

esin y dvdy = a sin 2y .

Решим найденное уравнение

v(y) = −2a(sin y +1)e−sin y +C .

Отсюда получим общее решение уравнения (4.11):

x(y) = uv = esin y (−2a(sin y +1)e−sin y +C)= −2a (sin y +1)+Cesin y .

5. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где p (x), q (x) – непрерывные функции от х; α – вещественное чис-

ло, отличное от 0 и 1 (поскольку в этих случаях уравнение является линейным).

Подстановкой z (x)= y1−α , где z (x) – новая неизвестная функ-

ция, уравнение (5.1) приводится к линейному уравнению.

Для решения уравнения Бернулли (5.1) используются следующие методы:

1) сведение уравнения к линейному подстановкой z (x)=

=y1−α ;

2)метод вариации произвольной постоянной;

3)подстановка Бернулли y = u(x)v(x) .

Замечание. Применять методы 2) и 3) можно непосредственно к уравнению Бернулли, не сводя его предварительно к линейному.

17

Пример 5.1. Проинтегрировать уравнение y′ − 2xy = 2x3 y2

и найти интегральную кривую, проходящую через точку (1,0).

C (x) = ∫(−2x3ex2 )dx = −∫x2dex2 = −x2ex2 + ex2 +C.

Запишем решение линейного неоднородного уравнения в виде

Подставим начальные условия и найдем интегральную кривую, проходящую через точку (0,1):

1 = C1+1 C = 0.

18

Искомое частное решение имеет вид

Пример 5.2. Проинтегрировать уравнение

(xy + x 2 y 3 )y ′ = 1.

Решение. Приведем уравнение к виду (5.1): dxdy − xy = x2 y3 .

Это уравнение Бернулли относительно неизвестной функции x (y). Разделим обе части полученного уравнения на x2 :

общее решение которого будет выглядеть так:

−y2

тат в исходное уравнение, получим:

19