Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 3 «Определители» (90
.pdf
|
2 |
1 |
4 |
2 0 8 ( 1) ( 2) 3 1 ( 3) 4 3 0 4 1 ( 1) 8 ( 3) ( 2) 2 |
det A3 |
1 |
0 |
2 |
|
|
3 |
3 |
8 |
|
0 6 12 0 8 12 6 4 10.
2) по элементам третьего столбца,
|
2 |
1 |
4 |
|
det A3 |
1 |
0 |
2 |
4 A13 ( 2) A23 8 A33 |
|
3 |
3 |
8 |
|
4 ( 1)1 3 M13 ( 2) ( 1)2 3 M23 8 ( 1)3 3 M33
4 1 |
1 |
0 |
( 2) ( 1) |
2 |
1 |
8 1 |
2 |
1 |
4 ( 3 0) 2 ( 6 3) 8 (0 1) |
|
3 |
3 |
|
3 |
3 |
|
1 |
0 |
|
12 ( 6) 8 10.
3) по элементам второй строки
|
2 |
1 |
4 |
|
det A3 |
1 |
0 |
2 |
1 A21 0 A22 ( 2) A23 |
|
3 |
3 |
8 |
|
1 ( 1)2 1 M21 0 ( 1)2 2 M22 ( 2) ( 1)2 3 M23
1 ( 1) |
1 |
4 |
0 1 |
2 |
4 |
( 2) ( 1) |
2 |
1 |
|
|
3 |
8 |
3 |
8 |
3 |
3 |
|||||
|
|
|
|
1 ( 8 ( 12)) 0 (16 12) 2 ( 6 ( 3)) 1 4 0 4 2 ( 3)
4 0 ( 6) 10;
11
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
б)A3 4 2 |
3 ; |
|||
|
5 |
0 |
1 |
|
|
|
|||
1) по правилу «треугольников» (правило Саррюса),
|
3 |
1 |
2 |
__________________________________________________________ |
det A |
4 |
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
0 |
1 |
|
________________________________________________________________________;
2) по элементам второго столбца,
3 1 2
det A 4 |
2 |
3 |
________________________________________________________ |
3 |
|
|
|
5 |
0 |
1 |
|
________________________________________________________________________
3) по элементам первой строки,
3 1 2
det A 4 |
2 |
3 |
________________________________________________________ |
3 |
|
|
|
5 |
0 |
1 |
|
________________________________________________________________________
Ответ. а)-10;б)3
Задание 3
Вычислите определитель четвертого порядка через алгебраические дополнения,
если задана матрица четвертого порядка:
12
|
|
3 |
2 6 |
2 |
|
|
5 |
4 |
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
а)A |
|
0 |
1 |
; б) A |
|
0 |
1 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
0 |
0 |
4 |
2 |
4 |
|
0 |
0 |
2 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение.
|
|
3 |
2 |
6 |
2 |
|
||
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
а)A |
|
0 |
1 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
0 |
0 |
4 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим определитель четвертого порядка для матрицы A4 по элементам первого
столбца.
|
3 |
2 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
detA |
0 |
3 |
2 |
1 |
|
3 A 0 A |
0 A |
0 A |
3 A 3 ( 1)1 1M |
|
|||||||||
0 |
0 |
4 |
2 |
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
11 |
|
|
|
21 |
31 |
41 |
11 |
11 |
||||||||
|
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ( 1)1 1 |
|
3 |
2 |
1 |
|
|
3 |
2 |
|
|
1 |
|
(вычислим определитель третьего порядка по |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
4 |
2 |
|
3 |
0 |
4 |
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
0 |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
элементам первого столбца) 3 ( 3) A11 0 A21 0 A31 |
|
||||||||||||||||||
3 ( 3) ( 1)1 1 |
M11 3 ( 3) 1 |
|
4 |
|
|
2 |
|
3 ( 3) 4 3 0 2 3 ( 3) 4 3 108Так |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
как определитель имеет вид ступенчатой матрицы четвертого порядка, то можно сделать вывод, что определитель ступенчатой матрицы равен произведению элементов, стоящих по главной диагонали.
13
|
|
|
5 |
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
б) |
A |
|
|
1 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
0 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
5 |
4 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
det |
A4 |
|
0 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|||
0 |
|
0 |
2 |
|
3 |
|
____________________________________________ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
6 |
|
|
|
Ответ. а) -108;б)120
Задание 4
Вычислите определитель четвертого порядка для матрицы четвертого порядка:
|
|
3 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
4 |
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
6 |
|
|
|
а)A |
|
0 |
1 |
; б) A |
|
2 |
0 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
1 |
0 |
2 |
0 |
4 |
|
0 |
3 |
2 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
4 |
0 6 |
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение.
|
|
3 |
0 |
1 |
0 |
|
||
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
а)A |
|
|
1 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
1 |
0 |
2 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
4 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим определитель четвертого порядка по элементам третьего столбца
|
3 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
det A |
|
1 |
1 A |
0 A |
2 A |
0 A = |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
0 |
2 |
0 |
13 |
23 |
33 |
43 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
4 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
3 |
0 |
0 |
|
1 ( 1)1 3M 2 ( 1)3 3 |
M |
33 |
1 1 |
1 |
0 |
0 |
2 1 |
0 |
2 |
1 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
6 |
|
0 |
4 |
6 |
|
(вычислим полученные определители третьего порядка, разложив по элементам второй строки (первый определитель) и по элементам первого столбца (второй определитель))
1 (1 A21 0 A22 0 A23) 2 ( 3 A11 0 A21 0 A31)
1 (1 ( 1)2 1 M21) 2 ( 3 ( 1)1 1 M11)
1 |
2 |
1 |
|
( 6) |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
( 1 6) ( 12 ( 4)) ( 7) |
4 |
6 |
|
4 |
6 |
4 |
6 |
||||
|
|
|
|
|
( 12 4) ( 7) 8 ( 7) 56;
|
|
0 |
4 |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
0 |
6 |
|
|
|
б)A |
|
2 |
0 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
0 |
3 |
2 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
0 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
4 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
detA4 |
2 |
0 |
6 |
0 |
________________________________________________ |
|||
0 |
3 |
2 |
0 |
|||||
|
|
|
3 |
0 |
0 |
5 |
|
|
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
15
Ответ. а)56;б)-26
Задание 5
Вычислите определитель четвертого порядка для матрицы A4 :
|
|
1 |
0 |
0 |
3 |
|
|
1 1 |
0 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
а)A |
|
1 |
4 |
; б) A |
|
4 |
1 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
2 |
3 5 |
5 |
4 |
|
3 |
3 |
1 |
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
1 6 |
2 |
|
|
|
|
4 1 |
2 |
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение.
|
|
|
1 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
4 |
|
|
а)A |
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
2 |
3 |
5 |
5 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
1 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приведем определитель матрицы четвертого порядка к ступенчатому виду.
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
3 |
( 1) (2) ( 3) |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 1 2 |
4 |
+ |
+ |
+ |
|
|
0 |
1 2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||||
detA4 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||
2 |
3 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
5 |
|
|
11 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
1 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
6 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|||
= |
|
1 |
0 |
0 |
3 |
|
( 3) |
+ (1) |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
7 |
|
|
0 |
1 |
2 |
|
7 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
7 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
5 |
11 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
32 |
|
8 |
|
|
0 |
0 |
1 32 |
|
|
|||||
|
|
0 |
1 |
6 |
11 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
8 |
|
18 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
238 |
|
|
|||
1 ( 1) ( 1) 238 238.
16
|
|
|
1 |
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
б) A |
|
4 |
1 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
3 |
3 |
1 |
5 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
1 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
det A4 |
4 |
2 |
5 |
1 |
= ____________________________________________ |
|||
3 |
3 |
1 |
5 |
|||||
|
|
|
4 |
1 |
2 |
6 |
|
|
_________________________________________________________________
Ответ. а)238;б)-174
Задание 6
Вычислите определители матриц используя свойства определителей;
|
3648 |
2889 |
|
|
9 |
3 |
12 |
|
|
а)A |
|
|
5 |
1 |
3 |
|
; |
||
|
; б) A |
|
|
||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
3649 |
2890 |
|
|
|
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|||
|
7744 |
7655 |
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
в) A |
; г) A |
|
16 24 |
8 |
|
. |
|||
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
7745 |
7656 |
|
|
0 |
9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение.
а)A |
3648 |
2889 |
; |
|
|
|
|
||
2 |
|
3649 |
|
|
|
|
2890 |
|
|
17
det A2 |
3648 |
2889 |
|
3648 |
|
|
|
2889 |
|
|
3648 |
|
2889 |
|
3648 |
2889 |
|
||||||||||||||||
3649 |
2890 |
3648 1 |
|
|
2889 1 |
|
3648 |
|
2889 |
|
1 |
|
1 |
||||||||||||||||||||
0 |
|
3648 |
2889 |
|
|
|
3648 |
2889 |
|
3648 2889 759; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
9 |
|
3 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) A3 5 |
|
1 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
det A3 |
|
9 |
|
3 |
12 |
|
|
|
3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
4 |
|
3 |
1 |
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
1 |
|
3 |
|
3 |
5 |
1 |
3 |
|
3 ( 2) |
5 |
1 |
3 |
6 |
5 |
1 |
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
8 |
|
6 |
4 |
|
|
|
8 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
4 3 |
2 |
|
4 3 |
2 |
|
|
|||||||||
6 (( 6 12 60) (16 27 10)) 6 (66 33) 6 33 198;
в) A |
7744 |
7655 |
; |
||||
|
|
|
|
||||
2 |
|
7745 |
|
|
|
||
|
|
7656 |
|
||||
det A2 |
|
7744 |
7655 |
|
___________________________________________________ |
||
|
|
||||||
|
7745 |
7656 |
|
||||
______________________________________________________________________
|
2 |
3 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
г) A3 16 24 |
8 ; |
|||||
|
0 |
9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
detA3 |
|
2 |
3 |
2 |
|
___________________________________________________ |
|
|
|||||
|
16 |
24 |
8 |
|
||
|
|
0 |
9 |
4 |
|
|
Ответ. а)759;б) -198,в)89,г)-432 18
3 Домашнее задание
Задание 1
Вычислите определители данных матрац:
а)A |
|
9 |
2 |
; б) A |
|
a bi |
c di |
|
|
cos |
sin |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
; в)A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
c di |
a bi |
|
|
sin |
|
|
|
||||||||||
|
1 2 |
3 |
|
a b |
c |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
1 i |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) A3 5 1 |
4 ; д) A3 b c |
a ; е) A3 0 |
|
|
|
i ; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5 |
|
c a |
b |
|
|
|
1 i |
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
sin |
cos |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ж) A |
sin |
cos |
1 |
; з) A |
1 |
|
2 |
|
( cos |
4 |
|
isin |
4 |
). |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
cos |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ответ. а)1; б) a2 b2 c2 |
d2; в)1; г)-8; д) 3abc a3 b3 |
c3 ; е)-2; |
||||||||||||||||||
|
|
|
ж) sin( ) sin( ) sin( ); з) 3i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Задание 2
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
|
Вычислите определитель четвертого порядкаdet A |
4 |
2 |
3 |
2 |
по элементам |
|
a |
b |
c |
d |
|||
|
|
|||||
|
3 |
1 |
4 |
3 |
|
третьей строки.
Ответ. 8a 15b 12c 19d
19
Задание 3
Вычислите определители:
|
|
1 1 3 7 |
|
3 1 0 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
0 3 2 9 |
; б) |
2 |
|
|
2 1 0 |
; в) |
3 |
2 5 13 |
; |
|
|
|
|
||||||||||
0 0 2 8 |
1 |
|
|
1 |
0 2 |
1 2 10 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 0 0 4 |
|
2 1 |
0 |
3 |
|
2 |
9 8 25 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
7 |
6 |
9 |
4 |
4 |
|
1001 |
1002 |
1003 |
1004 |
|
|
4 |
3 |
3 |
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
2 |
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1002 |
1003 |
1001 |
1002 |
|
|
3 |
4 |
3 |
2 |
|
||||||||||
г) |
|
7 |
8 |
9 1 |
6 |
; д) |
; |
е) |
; |
|||||||||||||||
|
1001 |
1001 |
1001 |
999 |
3 |
2 |
5 |
4 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
2 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1001 |
1000 |
998 |
999 |
|
|
2 |
4 |
2 |
3 |
|
||||||||||
|
|
7 |
0 |
9 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
3 ... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
3 ... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) |
|
1 |
2 |
0 ... |
n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
... ... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. а)24; б)17; в)301; г)1932; д)-18016; е)60; ж) n! |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
4 Самостоятельная работа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УРОВЕНЬ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Задание 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
9 |
0 |
||
Вычислите алгебраическое дополнениеA12 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1 |
|
||||||||||||||
для матрицыA3 5 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||