Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 2 «Матрицы» (90
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Л. Б. Усова, Д. У. Шакирова
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Комплект рабочих тетрадей
Рабочая тетрадь № 2 «Матрицы»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного издания для бакалавров инженерно-технических направлений подготовки
Оренбург
2011
УДК 512.64 (076) ББК 22.147 я 7 У 76
Рецензент – доцент, кандидат физико-математических наук Н.Н. Щипкова
Усова, Л.Б.
У76 Линейная алгебра и аналитическая геометрия: комплект рабочих тетрадей. Рабочая тетрадь № 2 «Матрицы» /Л.Б. Усова, Д. У. Шакирова.– Оренбург: ООО «НикОс», 2011. – 25 с.
.
Рабочая тетрадь № 2 содержит разобранные практические задания по теме «Комплексные числа».
Предназначена для обучения бакалавров инженерно-технических направлений подготовки.
Рабочая тетрадь поможет преподавателям организовать самостоятельное усвоение лекционного материала и текущий контроль знаний студентов. Данная тетрадь окажет существенную помощь студентам при выполнении домашних и типовых расчетных заданий, а также поможет подготовиться к контрольной работе, к коллоквиуму, зачету и тестам.
Данная рабочая тетрадь подготовлена в ходе выполнения проекта № 3.1.1/13256 (АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы»).
УДК 512.64 (076) ББК 22.147 я 7
© Усова Л.Б., Шакирова Д.У., 2011
2
Содержание
Введение…………………………………………………………………………….. 4
1 Вопросы для самопроверки……………………………………………............ 7
2 Практическое занятие…………………………………………………………. 8
3Домашнее задание………………………………………….………………….. 18
4Самостоятельная работа………………………………….……………............. 19
5Тест………………………………………………………….…………………… 20
6Расчетно-графическое задание…………………………….…………………... 23
Список использованных источников………………………….…………………... 25
3
Введение
Комплект рабочих тетрадей включает 6 рабочих тетрадей:
-рабочая тетрадь № 1 «Комплексные числа»;
-рабочая тетрадь № 2 «Матрицы»;
-рабочая тетрадь № 3 «Определители»;
-рабочая тетрадь № 4 «Обратная матрица. Ранг матрицы»;
-рабочая тетрадь № 5 «Системы линейных уравнений»;
-рабочая тетрадь № 6 «Векторная алгебра».
Данный комплект используется для проведения практических занятий, самостоятельной работы и в ходе промежуточной аттестации.
Цель создания комплекта рабочих тетрадей – развитие практических навыков решения задач. Особенностью данных тетрадей являются уровневые задания.
-Задания первого уровня зафиксированы как базовый стандарт. Выполняя их, студент овладевает конкретным материалом по дисциплине на уровне его воспроизведения. Работа по первичному усвоению материала на этом уровне имеет свои особенности. Она требует многократного его повторения, умения выделять основные группы, вычленять главное, знание приемов запоминания и т.д. Задания первого уровня должен уметь выполнить каждый студент, прежде чем приступить к работе следующего уровня.
-Задания второго уровня расширяют материал первого уровня, обеспечивают овладение студентами общими и специфическими приемами учебной
иумственной деятельности, которые необходимы для решения задач на применение. Задания данного уровня увеличивают объем сведений, помогают глубже понять основной материал, делают общую картину более цельной. Выполнение заданий второго уровня поднимает студента на уровень осознанного, творческого применения знаний и предусматривает свободное владение фактическим материалом, приемами учебной работы и умственных действий. Этот уровень позволяет студенту проявить себя в дополнительной самостоятельной работе.
4
В данных рабочих тетрадях применяется методика свободного выбора заданий второго уровня.
Анализ ФГОС подготовки бакалавра инженерно-технических направлений подготовки показал, что в результате обучения математике выпускник должен демонстрировать:
-владение математической культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения;
-умение логически верно аргументировано и ясно строить математическую устную и письменную речь;
-готовность к кооперации с коллегами, работе в коллективе;
-способность самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности математические знания и умения, стремление к саморазвитию
-способность использовать основные законы математических дисциплин
впрофессиональной деятельности, интегрировать знания из разных разделов курса математики;
-способность применять аналитические, вычислительные методы для решения прикладных задач в области техники;
-способность принимать научно-обоснованные решения на основе математики, осуществлять постановку и выполнять эксперименты по проверке их корректности и эффективности;
-основные положения, законы и методы математики; способность выявить естественнонаучную сущность проблемы, возникающей в ходе профессиональной деятельности, готовность привлечь для их решения соответствующий математический аппарат;
-способность разрабатывать и применять математическую модель соответствующую процессу в ходе профессиональной деятельности.
5
Структура и содержание разделов рабочей тетради соответствует стандарту ФГОС и включает практикум по разделу «Матрицы».
Рабочая тетрадь №2 «Матрицы» состоит из блоков:
блок 1 «Вопросы для самопроверки» – содержит вопросы для проверки усвоения теоретического материала;
блок 2 «Практическое занятие»- содержит разноуровневые задания, состоящие из двух пунктов. Пункт (а) сопровождается подробным решением примера, а в пункте (б) предоставляется поле для ответов, что позволяет студенту использовать как тетрадь, индивидуального характера;
блок 3 «Домашнее задание»- содержит задания с ответами для самостоятельного решения и закрепления пройденного материала;
блок 4 «Самостоятельная работа» - содержит трехуровневые задания;
блок 5 «Тест» - содержит теоретические и практические задания;
блок 6 «Расчетно-графическое задания» - содержит разнообразные индивидуальные задания для глубокого усвоения данного раздела.
6
Рабочая тетрадь «Матрицы» не содержит теоретических сведений по данной теме. Необходимый лекционный материал можно найти в следующих источниках:
А. Г. Курош «Курс высшей алгебры» на страницах 16,89-105; К. Н. Лунгу «Высшая математика. Руководство к решению задач» на страницах 7-18; К. Н. Лунгу, Д. Т.
Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко «Сборник задач по высшей математике» на страницах 7-17; Ильин В.А., Э.Г. Позняк «Линейная алгебра» на страницах 12-46.
1 Вопросы для самопроверки
1Сформулируйте определение квадратной матрицы.
2Сформулируйте определение матрицы.
3В каком случае можно умножить две матрицы?
4Когда можно сложить две матрицы?
5Сформулируйте определение диагональной матрицы.
|
4 |
6 |
6 Вычислите 3B E, В |
|
. |
|
3 |
|
|
1 |
7Сформулируйте определение транспонированной матрицы к матрице
А?
8Сформулируйте определение единичной матрицы.
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
5 |
6 . |
|
9 Вычислите A |
B и B |
A, где |
A |
|
|
, B |
|||||
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
10При каких условиях равны две матрицы?
11Сформулируйте элементарные преобразования матриц.
12Когда можно умножить матрицу на число?
13Вычислите A 2B: A 13 , B 4 5 .
14Сформулируйте правило вычитания двух матриц.
15 Вычислите A 3B: |
2 |
1 |
|
4 |
6 |
|
A |
|
|
, В |
|
. |
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
1 |
||
16 Сформулируйте определение ступенчатой матрицы.
7
|
|
|
5 |
2 |
|
17 Вычислите A |
E, где |
A |
|
|
|
|
|
2 |
. |
||
|
|
|
|
4 |
|
18 Сформулируйте определение столбцевой матрицы.
19 Вычислите A BT : |
2 |
1 |
|
4 |
6 |
|
A |
|
|
, В |
|
. |
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
1 |
||
|
T |
T |
|
|
1 |
2 |
|
20 Вычислите A |
A, где |
A |
|
|
|||
A |
и A |
|
|
3 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 Практическое занятие
Каждое из следующих заданий состоит из пунктов (а) и (б). В пункте (а)
изложено подробное решение данного задания, в которых студентам необходимо разобраться для дальнейшего самостоятельного решения заданий в пункте (б). В
заданиях пункта (б) в пустые строки предлагается вписать решения задания и сравнить с ответом.
Задание 1
Выполнить действие умножение двух матриц A B и B A:
|
3 |
4 |
1 |
1 |
; б) |
0 |
6 |
и |
4 |
5 |
|||||||
а)A |
|
|
|
и B |
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
. |
||
|
0 |
5 |
|
|
7 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
1 |
7 |
|
|
2 2 |
|
2 2 |
|
|
2 2 |
|
|
2 2 |
||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
4 |
|
1 |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а)A |
|
|
|
и B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для того чтобы умножить две матрицы необходимо, чтобы количество столбцов в первой матрице совпадало с количеством строк во второй матрице.
Матрица A2 2 B2 2 существует, так как количество столбцов в первой матрице равно 2, количество строк во второй матрице равно 2.
8
A |
|
B |
|
|
3 |
4 |
|
|
1 1 |
|
|
3 1 4 7 |
3 ( 1) |
4 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 2 |
2 2 |
|
|
0 |
|
|
|
7 2 |
|
|
|
|
0 1 ( 5) 7 |
0 ( 1) ( 5) 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
5 2 2 |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
||||||
|
3 28 |
|
|
|
3 8 |
|
31 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 ( 10) |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ( 35) |
|
|
|
35 |
|
2 2 |
|
|
|
|
|||||||
Матрицы B2 2 A2 2 существует, т.к. (2 2).
B |
|
A |
1 |
1 |
|
|
3 |
4 |
|
1 3 ( 1) 0 |
1 4 ( 1) ( 5) |
|
||||
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 3 2 0 |
7 4 2 ( 5) |
|
|
|
|
|
|
|
7 2 |
2 2 |
0 |
5 |
2 2 |
|
|
|
|||||
|
3 0 |
4 5 |
|
|
|
3 |
9 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
28 ( 10) |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
||
|
21 0 |
|
|
21 |
2 2 |
|
|
|
|
|
||||||
б)A |
|
0 |
6 |
и B |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
1 |
7 2 2 |
|
|
|
|
|
|||
Решение:
A2 2 B2 2 ______________________________________________________________
________________________________________________________________________
B2 2 A2 2 _______________________________________________________________
________________________________________________________________________
Ответ. а) A |
|
B |
|
31 |
5 |
|
|
;B |
|
A |
|
|
3 |
9 |
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 2 |
|
2 2 |
|
35 |
10 |
|
|
2 2 |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
21 18 |
2 2 |
|
|||||
б) A |
B |
|
|
6 |
|
42 |
|
;B |
|
A |
|
15 |
14 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
2 2 |
2 2 |
|
|
14 |
29 |
|
2 2 |
|
2 2 |
|
|
|
21 |
8 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|||||||
9
Задание 2
Выполнить действие умножение двух матриц A B и B A:
|
2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
7 |
5 |
|
|
||||||
а) A |
|
, |
B |
|
8 |
|
|
9 |
1 |
|
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 2 3 |
|
|
|
4 |
7 |
6 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
8 |
|||||
|
3 |
2 1 0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
9 |
|
||||||||
б) A |
|
, |
B |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 10 6 8 |
|
|
|
|
|
|
6 |
5 7 |
|
|||||||||
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7 |
|
9 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
3 |
|
2 |
|
|
1 |
7 |
5 |
|
|
|||||||||
|
|
, |
B |
|
8 |
9 |
1 |
|
|
|
||||||||||
а)A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
2 3 |
|
|
|
|
7 |
6 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
7 |
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
9 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 3 |
|
3 3 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
2 3 |
|
4 |
|
|
7 |
|
6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 1 3 8 ( 2) ( 4) |
2 7 3 9 ( 2) ( 7) |
2 ( 5) 3 ( 1) ( 2) 6 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 4 8 5 ( 4) |
|
0 7 4 9 5 ( 7) |
|
0 ( 5) 4 ( 1) 5 6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
2 24 8 |
14 27 14 |
10 ( 3) ( 12) |
34 55 |
25 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
0 32 20 |
0 36 35 |
0 ( 4) 30 |
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
12 1 |
2 3 |
|
|
|||||
Матрицы B3 3 A2 3 не существует, т.к. количество столбцов в первой матрице
1 |
7 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
1 |
|
|
совпадает |
с |
количеством |
строк |
во |
второй |
B 8 |
|
не |
|||||||||
|
7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
3 |
2 |
|
т.е.(3 2). |
|
|
|
|
|
|
матрицеA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|||
10