Линейная алгебра (90

Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА

ИМЕНИ Ю.А.СЕНКЕВИЧА(ГАОУ ВПО МГИИТ имени Ю.А. Сенкевича)

Кронштадтский б-р, д. 43А, Москва, Россия, 125499, тел.: (495) 454-92-92, 454-74-58; факс: (495)454-31-66

E-mail:box@mgiit.ru, http://www.mgiit.ru

Линейная алгебра

Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения по специальности 080100.62 «Экономика»

МГИИТ, 2012г.

Методические указания и контрольные задания составлены в соответствии с учебной программой по дисциплине «Линейная алгебра»

по специальности 080100.62 «Экономика»

старший преподаватель, к.х.н. Семерикова И.Б 12.09.2012

1. Цели и задачи дисциплины

Цель дисциплины «Математика» состоит в получении студентами фундаментальных ма-

тематических знаний и прочных практических навыков по использованию средств линейной алгебры для построения математических моделей в экономике и управлении.

Задачи курса состоят в следующем:

1.Дать студентам сведения о современных математических методах, использующихся в математическом моделировании экономических процессов.

2.Ознакомить студентов с понятиями, методами и алгоритмами применения изучаемых разделов математического анализа и линейной алгебры.

2.Требования к уровню освоения содержания курса

Врезультате освоения курса студенты должны получить следующие знания и навыки:

-знать определения матриц, определителей, уметь применять их для решения систем линейных уравнений;

-знать уравнения линий первого и второго порядка; прямой линии, конических сечений,

атакже плоскости и прямой в пространстве;

-знать решение систем линейныхнеравенств;элементы линейного программирования;

-уметь применять линейное программирование в экономических задачах;

В соответствии с требованиямиФГОС формируются профессиональные компетенции: 1) расчётно-экономическая деятельность: способность собрать и проанализировать ре-

зультаты деятельности организации или предприятия; 2) аналитическая, научно-исследовательская деятельность: способность осуществлять

комплексный научный подход для решения поставленной задачи.

В процессе изучения курса студенты выполняют две контрольных работы (одна в пер-

вом семестре и одна во втором) и сдают экзамен по утвержденным в установленном порядке билетам.

3. Организационно – учебные нормы

Оформленные задания на листах формата А4 сдавать на кафедру информационных технологий и математики (к. 208) до указанного срока с записью в журнале контрольных заданий.

3

4. Тематический план изучения дисциплины

4

5. Контрольная работа 1

Расчетная работа №1

Элементы аналитической геометрии на плоскости.

Теоретические вопросы.

1.Как определяются декартовы координаты точки на плоскости?

2.Чем отличаются координаты двух точек, симметричных относительно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) начала координат.

3.Как вычислить расстояние между двумя точками?

4.Напишите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов.

5.Как найти координаты точки пересечения медиан треугольника через координаты его вершин?

6.Дайте определение уравнения линии на плоскости.

7.Как найти координаты точки пересечения двух линий на плоскости, заданных своими уравнениями?

8.Чем отличается уравнение прямой в декартовых координатах от уравнений других линий?

9.Напишите формулу для вычисления угла между двумя прямыми.

10.Как выглядят условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

11.Напишите уравнение прямой, проходящей: а) через заданную точку в заданном направлении; б) через две заданные точки.

12.Как написать уравнение медианы, высоты в треугольнике, если известны координаты его вершин?

13.Дайте определение окружности.

14.Какой вид имеет уравнение окружности с центром в любой точке плоскости хОу; в любой точке оси Ох; в любой точке оси Оу; с центром в начале координат?

Решение типового примера.

Даны вершины треугольника АВС: А(-4;8), В(5;-4), С(10;6). Найти:

1)длину стороны АВ;

2)уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

3)угол А в радианах;

4)уравнение высоты СD и ее длину;

5)уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр;

6)систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение.

1. Найдем длину стороны АВ.

Расстояние d между точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) определяется по формуле:

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

АВ= 5 ( 4) 2 4 8 2 81 144 15 2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2), имеет вид:

5

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

Для нахождения углового коэффициента кАВ прямой АВ, разрешим полученное уравнение

1

Отсюда кАС = 7 .

3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны к1 и к2, определяется по формуле:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(х1; у1) в заданном направлении,

Для нахождения длины СD определим координаты точки D, решив систему уравнений

(АВ) и (CD):

6

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

СD = 10 2 2 6 0 2 64 36 10.

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точка Е(а;в) имеет вид:

Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка СD. Воспользуемся формулами деления отрезка пополам, получим:

окружности:

(х 6)2 (у 3)2 25

6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

4 10 3 6 8 50> 0

Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4х+3у 8 0.

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

2х у 14 0 (ВС).

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:

2( 4) 8 14 30 < 0. Искомое неравенство будет 2х – у – 14 0. Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержа-

щую точку В: 5 7( 4) 52 75 < 0. Третье искомое неравенство будет х+7у –52 0.

Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:

4х 3у 8 0,

2х у 14 0,

х 7у 52 0.

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АВС, высота СD, окружность с центром в точке Е и диаметром C.

7

Y

A

8

C

E

-4

B

Рис. 1

Варианты для расчетной работы №1 Номер варианта, выполняемого конкретныи студентом, от 1 до 20 соответствует

номеру по списку в зачетной ведомости – узнать в деканате.

В вариантах 1 – 20 даны вершины треугольника АВС. Найти: 1) длину стороны АВ;

2)уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

3)угол А в радианах;

4)уравнение высоты СD и ее длину;

5)уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр;

6)систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

8

9

Расчетная работа №2 Теоретические вопросы по линейной алгебре

1.Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

2.Назовите основные свойства определителей.

3.Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

4.Назовите методы вычисления определителей третьего, n-го порядков.

5.Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

6.Что называется матрицей?

7.Как определяются основные действия над матрицами?

8.Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9.Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10.Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

11.Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

12.Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

13.Какова геометрическая интерпретация системы линейных уравнений и неравенств?

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Рассмотрим систему уравнений:

где х,у,z – неизвестные; коэффициенты а11, а12,…., а33 и свободные члены в1, в2, в3 – известные постоянные (числа)

Введем обозначения:

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется определителем данной системы.

Определители х , у, z получаются из определителя при помощи замены соответственно его первого, второго и третьего столбца – столбцом свободных членов данной системы.

Если 0, то система (1) имеет единственное решение;оноопределяется формулами:

Формулы (2) называются формулами Крамера.

Если определитель системы 0, а хотя бы один из определителей х , у, z от-

личен от нуля, то система (1) не имеет решений.

В случае, когда 0 и одновременно х 0, у 0, z 0, система (1) также мо-

жет не иметь решений; но если система в этом случае имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.

1