Линейные операторы и их собственные векторы (120
..pdfCopyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
И.В. Дубограй, О.В. Скуднева
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
Методические указания к выполнению типового расчета
Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 512.86 ББК 22.143 Д79
Рецензент В.Г. Крапоткин
Дубограй И.В.
Д79 Линейные операторы и их собственные векторы : метод. указания к выполнению типового расчета / И.В. Дубограй, О.В. Скуднева. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 30, [2] с. : ил.
Приведены основные понятия и определения по теме «Линейный оператор». Представлен необходимый справочный материал. Рассмотрены решения типовых задач.
Для студентов первого курса МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 512.86 ББК 22.143
Учебное издание
Дубограй Ирина Валерьевна Скуднева Оксана Валентиновна
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
Методические указания
Редактор О.М. Королева Корректор Е.В. Авалова
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 26.06.2012. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 1,86. Тираж 100 экз. Изд. № 109.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР
Определение. Если в линейном пространстве L задан закон A, по которому каждому элементу x L ставится в соответствие единственный вектор y L1, то этот закон, отображающий про-
странство L на пространство L |
1, называется |
линейным |
операто- |
|||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ром, если выполняются следующие условия: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
( ) |
e |
|
|
|
e |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
A ( |
x |
+ |
y |
) = A ( |
x |
) + A ( |
y |
) ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A kx |
= kA (x) , |
|
|
||||||||||||||
где k R; |
|
|
L; A ( |
|
) =e |
|
L1. |
e |
|
|
||||||||||||||||
x |
x |
y |
|
|
||||||||||||||||||||||
Вектор y |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
называют образом, а вектор |
x |
— прообразом. |
||||||||||||||||||||
Линейный |
оператор |
A : L → L (т. е. линейное пространство |
||||||||||||||||||||||||
e
отображается на себя) называется линейным преобразованием пространства L.
Пример 1. Рассмотрим пространство V2 компланарных геоме-
трических векторов. Действие оператора e заключается в повороте
A
этого пространства вокруг некоторой точки на угол ϕ. Выясним, является ли этот оператор линейным.
Решение. Так как геометрические векторы свободны, отнесем начала всех этих векторов к точке O, вокруг которой поворачивается пространство. Все векторы принадлежат теперь одной плоскости π. Проверим, выполняются ли условия линейности оператора.
Если x1 и x2 — векторы пространства V2, т. е. они принадлежат плоскости π, то сумма x1 + x2 = x3 — вектор, построенный, например, по правилу параллелограмма. При повороте пространства V2, а следовательно, и плоскости π на угол ϕ вокруг точки O
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
деформирование не происходит, поэтому взаимное расположение образов
|
|
|
1 = A ( |
|
|
1) ; |
|
2 = A ( |
|
2) ; |
|
3 = A ( |
|
3) |
|
|
|
y |
x |
y |
x |
y |
x |
||||||||
окажется |
таким, что |
|
|
будет вектором, направленным по диаго- |
|||||||||||
y |
3 |
||||||||||||||
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|
e |
||||||
нали параллелограмма, построенного на векторах y1 и y2 как на сторонах:
y1 + y2 = y3 A (x1 + x2) = A (x1) + A (x2) .
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
, так как вектор |
|
|
, начало которо- |
Вектор |
z |
= |
(λ |
x |
) = |
x |
) |
x |
||||||||
|
|
|
λe ( |
|
e |
λ e |
||||||||||
го совпадает с точкой O, без деформирования повернется вместе с |
||||||||||||||||
плоскостью π |
на угол |
ϕ |
. |
e |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: oба условия линейности выполнены, оператор A явля- |
||||||||||||||||
ется линейным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
||||
e
ектировании пространства на некоторую прямую l c
Пример 2. Выясним, является ли линейным оператор A, определенный в пространстве V2, действие которого заключается в пронаправляю-
щим вектором l V2.
Решение. Проверим, выполняются ли условия линейности оператора.
Подвергнем действию данного оператора e сумму двух векто-
A
ров: x V2 и y V2. Пусть x + y = z V2.
Проекция вектора x на прямую l — есть проекция этого вектора на вектор l. По свойству проекций Прl (x + y) = Прl (x) + Прl (y).
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
1 |
| |
|
|
l |
|
e| |
|
|
|
l |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как A : V2 |
|
→ V1, образом A ( |
x |
) = |
|
x |
1 является вектор, принадле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жащий l. Длина образа |
x |
|
|
= Пр ( |
x |
) . Отсюда следует, что вектор |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 = Пр ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, где |
|
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— единичный вектор, являющийся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
направляющимl ∙ |
для прямой ll. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Рассуждая аналогично изложенному |
выше, получим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Пр ( |
|
|
|
) |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ( |
|
|
) = |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
) = Прle( |
|
|
|
|
1 |
0 = (Прl l ( |
∙ |
) + Прl ( |
|
)) ∙ |
|
0 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A ( |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
) ∙ l |
l |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
y |
x |
y |
x |
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
Пр |
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
0 |
|
|
Пр |
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
l |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
l |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 + |
|
|
|
1 = |
|
( |
|
) + |
|
|
( |
|
) |
|||||||||||||
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
— одно условие выполнено; A (λx) = Прl (λx) ∙ l 0 = λПрl (x) ×
|
|
0 |
|
|
|
|
условие выполнено. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
×l = λx1 = λA (x) — второе |
||||||||
e |
||||||||
|
|
Ответ: oбаeусловия линейности выполнены, оператор A явля- |
||||||
ется линейным. |
e |
|||||||
§ 2. МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Если в конечномерном линейном пространстве L зафиксировать некоторый базис B = (e1, e2, . . . , en), то любой вектор пространства можно разложить по этому базису. То есть если x L, то x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen, или x = (x1, x2, . . . , xn) .
Если A — линейный оператор, отображающий L на L, то образ
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, j |
|
|
, n, можно разложить |
||
каждого базисного вектора e |
|
|
e |
|
|
|
||||||
|
A |
|
|
|
|
|||||||
по базисуeB: |
0j = |
|
( |
|
j) |
|
= 1 |
|
|
|||
e 0j = a1je1 + a2je2 + . . . + anjen, j = 1, n.
Определение. Матрицей А линейного оператора e в базисе
A B
называется матрица, элементами столбцов которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов, полученных под действием этого оператора:
A = |
|
a11 |
a12 |
|
a1n |
. |
(1) |
|
... ... |
∙ ∙... ∙ ... |
|||||||
|
a21 |
a22 |
∙ ∙ ∙ |
a2n |
|
|
||
|
a |
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
∙ ∙ ∙ |
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если векторам x и y поставить в соответствие матрицыстолбцы из координат этих векторов: X = (x1, x2, . . . , xn)т, Y = = (y1, y2, . . . , yn)т, то имеет место следующее соответствие:
A x |
|
y |
|
AX |
|
Y. |
(2) |
|
e( |
|
) = |
|
|
|
= |
|
|
Пример 3. В линейном пространстве, элементами которого являются многочлены степени не выше третьей, задан оператор дифференцирования
D |
|
|
|
dP (x) |
. |
|
p |
) = |
|||
|
|
||||
e |
( |
dx |
|||
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Убедимся, что он является линейным оператором, составим матрицу этого оператора в базисе x3, x2, x, 1 . Найдем образ элемента Q (x) = 2x3 + 4x2 − 3x + 10 под действием данного оператора.
Решение. Проверим, выполняются ли условия линейности опе-
ратора e, используя свойства производных:
D
|
|
|
|
|
|
D ( |
|
|
1 |
+ |
|
|
2) = |
|
|
d |
|
(P1 (x) + P2 (x)) = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
p |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dP1 (x) |
+ |
dP2 (x) |
|
= D ( |
|
1) + D ( |
|
|
|
2) ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
p |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dkP (x) |
|
|
|
|
dP (x) |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Оба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D (kp) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= k |
|
|
|
e |
|
|
|
|
= |
kD |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
условия выполнены. Данный оператор является линейным. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Составим его матрицу в базисе |
|
|
x3, x2, x, 1 |
|
(см. (1)). Чтобы со- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора, подвергнем его действию |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ставить матрицу линейного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
базисные векторы. Образы этих векторов имеют вид |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
= D ( |
|
1) = |
dx3 |
= 3x2; |
|
|
|
0 |
= D ( |
|
|
|
2 ) = |
dx2 |
= 2x; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e |
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
= D ( |
|
|
) = |
dx |
|
= |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
D |
|
|
|
|
|
d1 |
= |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
e |
1; |
|
|
e |
= |
e |
4) = |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||
Полученныеeобразы разложим по |
базису |
B: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e 01 = 0x3 + 3x2 + 0x + 0 ∙ 1 = 0e1 + 3e2 + 0e3 + 0e4 = (0, 3, 0, 0) ; e 02 = 0e1 + 0e2 + 2e3 + 0e4 = (0, 0, 2, 0) ;
e 03 = 0e1 + 0e2 + 0e3 + 1e4 = (0, 0, 0, 1) ; e 01 = 0e1 + 0e2 + 0e3 + 0e4 = (0, 0, 0, 0) .
6 |
Образ вектора q получим в результате действия на вектор опе- |
|||||||
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица линейного оператора в каждом столбце содержит ко- |
|||||||
ординаты соответствующих образов базисных векторов (см. фор- |
||||||||
мулу (1)): |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
|
D = |
3 |
0 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ратора D, т. е. D (q) = q 0. Тогда в матричном виде DQ = Q0 (см.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
формулу (2)). Здесь матрица Q соответствует вектору |
|
= (2, 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
3,10). Так как в условии дан элемент пространства Q (x) = 2x |
3 − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
− |
3x + 10, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
матрица Q = |
||||||||||||||
|
q = 2e |
|
+ 4e |
3e |
|
+ 10e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
+ 4x |
|
1 |
3 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
т |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= (2, 4, −3, 10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
2 |
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
DQ = |
3 0 0 0 |
|
4 |
6 |
|
= Q0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 2 0 0 |
|
−3 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 0 1 0 |
|
|
10 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 = (0, 6, 8, −3) = 0x3 + 6x2 + 8x − 3, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q0 (x) = 6x2 + 8x − 3 ∙ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Легко убедиться в том, что ответ правильный, вычислив про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изводную непосредственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Ответ: D = |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
; Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
0 |
0 |
|
0 |
(x) = 6x2 + 8x |
− |
3. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример 4. |
|
|
В ортонормированном |
базисе |
|
|
|
|
|
|
составить ма- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i, j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
трицу линейного оператора |
A |
, проектирующего пространство V |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
e
геометрических векторов на некоторую прямую l с направляющим единичным вектором e.
Решение. В примере 2 было показано, что данный оператор является линейным. В пространстве V2 компланарных геометрических векторов зафиксируем на данной прямой l точку О и отнесем к ней все векторы. Тогда они окажутся принадлежащими вместе с прямой l одной плоскости π. Действие данного оператора можно выразить следующим образом (см. пример 2):
|
|
A ( |
|
|
) = Пр |
|
|
( |
|
|
|
) ∙ |
|
|
|||||||
|
|
x |
x |
e. |
|||||||||||||||||
Из |
|
e |
|||||||||||||||||||
|
алгебры известно, что |
||||||||||||||||||||
|
векторной |
e |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Пр |
|
|
( |
|
) = |
x, e) |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|e| |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Учитывая, что |e| = 1, имеем A (x) = (x, e) ∙ e. Чтобы составить найдeм образы базисных векторов
матрицу линейного оператора, |
e |
|
7 |
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. (1)). На |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
A |
|
i |
= i 0 и A |
|
j = j 0 и разложим их по базису |
|
i, j |
||||||||||||||||||||||||||||
рис. 1 видно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
= sin ϕ ∙∙ e; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
= cos |
ϕ |
|
e |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
00 |
|
|
|
|
∙sin2 ϕ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e = cos ϕ ∙ i + sin ϕ ∙ j |
= |
sin ϕϕ∙ cosϕ, |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
= |
|
|
cos2 |
, sin ϕ |
|
cosϕ |
; |
|||||||
где |
|
— |
|
|
прямая l с |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ϕ |
угол, который составляет |
вектором i. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Полученные координаты образов |
i |
0 |
и |
j |
0 |
выписываем в соот- |
|||||||||||||||||
ветствующие столбцы матрицы A: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
cos2 ϕ |
|
|
sin ϕ cos ϕ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
A = sin ϕ ∙ cos ϕ |
|
|
|
|
sin∙2 ϕ |
|
|
||||||||||||||
— матрица данного оператора в базисе |
|
|
|
|
|
. В частности, если |
||||||||||||||||||
|
i, j |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
векторами углы π, то |
|||||||||||||||||||
прямая l составляет с базисными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
A1 = |
2 |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, проекцией вектора x = (−2, 2) на такую прямую будет вектор y:
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
A ( |
|
|
) = |
|
|
|
A |
X = Y |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1e1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
2 |
|
−2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
|
= 0, |
||||||||||||||||||
|
y |
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что легко можно проверить, изобразив проекцию графически. Ответ: матрица линейного оператора A имеет вид
A = |
|
cos2 |
ϕ |
|
|
sin ϕ |
cos |
ϕ |
|
. |
|
|||||||
sin |
|
|
|
|
e |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ϕ ∙ cos ϕ |
|
sin∙2 ϕ |
|
|
|
|
|||||||||
Пример 5. В пространстве R3 арифметических векторов задан |
||||||||||||||||||
оператор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
x |
1 − |
x |
, x |
|
|
x |
, x |
|
− 4 |
x |
|
. |
||
x |
) = (2 |
2 |
+ 3 |
1 |
3) |
|||||||||||||
e( |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||
Выясним, является ли он линейным, и, если является, составим его матрицу в каноническом базисе.
Решение. Проверим, выполняются ли условия линейности опе-
ратора e. Пусть
A
x = (x1, x2, x3) R3; y = (y1, y2, y3) R3
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) ; kx = (kx1, kx2, kx3) .
Тогда
A (x + y) = 2 (x1 + y1) − (x2 + y2) , (x2 + y2) + 3 (x3 + y3) ,
(x1e+ y1) |
− |
|
− |
x2) + (2y1 |
− |
y2) , (x2 |
− |
3x2) + |
|
4(x3 + y3) = (2x1 |
|
|
|
+ (y2 + 3y3) , (x1 − 4x3) + (y1 − 4y3) .
Из свойств линейных операций с векторами, заданными своими координатами, следует, что
A ( |
|
+ |
|
) = (2x1 − x2, x2 + 3x3, x1 − 4x3) + |
|
|||||||||||||||||
x |
y |
|
||||||||||||||||||||
(2y |
1 − |
y |
, y |
|
y |
, y |
|
− 4 |
y |
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
||||
2 + 3 |
1 |
3) = |
|
x |
) + |
y |
) |
|||||||||||||||
+e |
2 |
|
3 |
|
|
e |
( |
e |
( |
|||||||||||||
— одно условие выполнено; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A (kx) = (2kx1 − kx2, kx2 + 3kx3, kx1 − 4kx3) =
(k (2x |
|
− |
x |
) , k (x |
|
+ 3x |
) , k (x |
|
− |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= e |
1 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
— второе условие выполнено. Заданный оператор является линейным. Составим его матрицу в каноническом базисе, т. е. в базисе, состоящем из векторов:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = (1, 0, 0) ; |
|
2 = (0, 1, 0) ; |
|
3 = (0, 0, 1) . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
e |
e |
e |
|
|||||
Найдем образы базисных векторов и разложим их по |
базису |
||||||||||||||
( |
|
1, |
|
2, |
|
3) . Вектор |
|
1 имеет следующие координаты: |
x1 = 1; |
||||||
e |
e |
e |
e |
||||||||||||
x2 = 0; x3 = 0. Образ |
|
1, примет вид |
|
0 = A ( |
|
1) = (2, 0, 1). Полу- |
|||||||||||||||
e |
e |
e |
|||||||||||||||||||
чим |
e 2 |
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
e |
− |
|
|||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
e |
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
e |
0 |
= A ( |
e |
|
) = ( |
|
1, 1, 0) ; |
e |
0 |
= A ( |
e |
|
) = (0, 3, |
|
4) . |
|||||
Выписывая полученные координаты образов в базисе (e1, e2, e3) в соответствующие столбцы, получим (см. (1)) матрицу линейного оператора
|
2 |
−1 |
0 |
|
1 |
0 |
−4 |
||
A = |
0 |
1 |
3 |
. |
§3. ДЕЙСТВИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ Линейные операции с линейными операторами
|
Определение. Операторы A1 : L → L0 |
|
и A2 : L → L0 |
назы- |
||||||||||||||||||
ваются равными, если для любого |
x |
|
|
L выполняется равенство |
||||||||||||||||||
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
1 : |
|
→ |
|
0 |
2 : |
|
→ 0 |
||||
A1 |
( |
x |
) = A2 ( |
x |
). |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||
|
Определение. Суммой операторов A |
|
L |
|
|
L |
|
и A |
L |
L |
||||||||||||
называется новый |
оператор |
A1 + |
A |
|
|
L |
→ |
L |
0 , |
действие |
которо- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
:e |
|
|
|
e |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
следующем: |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
го заключается в |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A |
A |
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
. |
|
|
x |
x |
||||||||
e1 |
+ e2 |
(x) = e1 |
( |
) + e2 |
( ) |
|
|||||
10