Параметрический анализ композитных структур (120

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

А.А. Смердов

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИТНЫХ СТРУКТУР

Методические указания к выполнению домашнего задания

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2011

1

УДК 624.04 ББК 38.112 С50

Рецензент Б.С. Сарбаев

Смердов А.А.

С50 Параметрический анализ композитных структур : метод. указания к выполнению домашнего задания / А.А. Смердов. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 20 с. : ил.

Рассмотрено аналитическое решение задач оптимального проектирования элементов несущих конструкций в виде сжатых стержней.

Для студентов старших курсов факультета «Специальное машиностроение» МГТУ им. Н.Э. Баумана, выполняющих домашнее

задание «Параметрический анализ композитных структур». Рекомендовано Учебно-методической комиссией факультета

СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 624.04 ББК 38.112

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

2

ВВЕДЕНИЕ

Цель домашнего задания — отработка навыков управления свойствами композитных материалов (композитов) на примере простейших перекрестно армированных и ортогонально армированных структур.

В процессе выполнения домашнего задания и подготовки его к защите студенты должны усвоить такие основные понятия, как

технические константы упругости, коэффициенты матрицы жесткости, коэффициенты линейного термического расширения, коэффициенты термических напряжений, перекрестно армированная структура, ортогонально армированная структура, параметрический анализ, управление свойствами композитных материалов, а

также научиться ставить и решать задачи исследования композитных структур, к жесткостным и термоупругим характеристикам которых предъявляются различные требования.

Содержание домашнего задания заключается в определении параметров композитных структур с заданными свойствами и выборе оптимальной композитной структуры по совокупности предъявляемых к ней требований.

Исходными данными домашнего задания являются характеристики однонаправленного материала, из которого будут строиться перекрестно армированные и ортогонально армированные структуры, а также два требования к свойствам этих структур: основное и дополнительное.

Основное требование заключается в необходимости обеспечить заданное значение какой-либо одной характеристики из шести, входящих в следующий список:

модуль упругости в продольном направлении структуры Ex;

модуль упругости в поперечном направлении структуры Ey;

модуль сдвига Gxy;

коэффициент Пуассона xy;

3

продольный коэффициент линейного термического расширения (КЛТР) x;

поперечный КЛТР y.

Дополнительное требование состоит в пожелании обеспечить как можно более высокое или как можно более низкое значение еще одной характеристики из приведенного списка.

Как для перекрестно армированной, так и для ортогонально армированной структуры возможно управление всеми характеристиками в достаточно широких пределах [1]. В частности, можно подобрать такие структурные параметры, чтобы основное требование в точности было удовлетворено для обеих структур. Однако прочие характеристики у этих структур будут разными. Таким образом, из обеих структур должна быть выбрана та, которая обеспечивает лучшее соответствие дополнительному требованию.

Алгоритмы расчета характеристик перекрестно армированных и ортогонально армированных структур приведены в разд. 1. Там же приведены типовые графики свойств в зависимости от структурных параметров; подобные графики должны быть построены каждым студентом при выполнении домашнего задания.

Вразд. 2 описана методика выполнения и оформления задания,

ав разд. 3 включен пример его выполнения.

1.ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

1.1.Перекрестно армированные

иортогонально армированные структуры как частные случаи многослойных композитов

Свойства любого традиционного материала можно определить набором констант. В отличие от таких материалов проектируемый композит представляет собой материал с варьируемой внутренней структурой. Целенаправленно изменяя структурные параметры композитного материала, можно управлять его свойствами.

Многослойный композит (или многослойный пакет) изображен на рис. 1, а. Он включает в себя набор плоских слоев, каждый из которых отличается от остальных либо свойствами материала, либо

4

направлением их ориентации. Всего в пакете содержится n различных слоев. Каждый слой представляет собой однонаправленный материал, свойства которого считаются заданными, — монослой [2], показанный на рис. 1, б. Считается, что свойства монослоя не изменяются при изменении структурных параметров многослойного пакета. Этими структурными параметрами являются толщины от-

дельных слоев hi и углы их ориентации i.

Рис. 1. Многослойный пакет (а) и его слои в различных системах координат (б); ортотропный перекрестно армированный слой (в)

На рис. 1, б показаны две системы координат: система координат пакета (или элемента конструкции) (x, y) и система координат однонаправленного слоя (1i, 2i) (естественная система координат слоя), где i — номер текущего слоя. Оси естественной системы координат слоя (1i, 2i) направлены по направлению армирующих волокон и по

нормали к нему в плоскости слоя. Угол i между осью x и осью 1i определяет ориентацию i-го слоя в системе координат пакета.

В большинстве случаев представляет интерес проектирование ортотропных пакетов, т. е. таких материалов, для которых оси координат (x, y) являются осями симметрии: свойства материала одинаковы в любых двух направлениях, симметричных относительно этих осей. Такой материал может содержать продольные слои однонаправленного материала, ориентированные в направлении оси x

пакета ( = 0), поперечные слои однонаправленного материала, ориентированные в направлении оси y пакета ( = 90 ), и перекрестно армированные слои с углами i, в которых половина волокон ориентирована под углом + i к направлению оси x, а вторая половина — под углом – i. Такой слой показан на рис. 1, в. Перекрестно

5

армированные слои образуются, например, при спиральной намотке однонаправленной ленты. Если многослойный материал получен выкладкой однонаправленных слоев, то в качестве перекрестно ар-

мированного слоя может быть принята пара слоев с углами + i и –

i, расположенных рядом (если число слоев в пакете достаточно велико).

Каждый слой пакета характеризуется толщиной hi. Поскольку проектируется материал, свойства которого приводятся к элементарному объему, целесообразно рассматривать не абсолютные, а

относительные толщины hi , каждая из которых представляет собой

отношение толщины данного слоя к толщине пакета.

При любых изменениях структуры пакета должно соблюдаться условие нормирования относительных толщин

i 1

Таким образом, в общем случае, если варьируются все толщины и углы армирования, число независимых варьируемых параметров, определяющее размерность задачи оптимизации [3], равно

2n – 1.

В любой задаче проектирования композитных материалов и конструкций чрезвычайно полезно исследование двух одномерных структур:

перекрестно армированной структуры, для которой n = 1 и

имеется единственный варьируемый параметр — угол ;

ортогонально армированной структуры, для которой n = 2,

но оба угла фиксированы и сохраняют постоянные значения 0 и 90 , так что с учетом (1) остается единственный независимый варь-

ируемый параметр — относительная толщина продольного слоя h0 .

Две эти одномерные структуры представляют собой как бы два полюса, между которыми находится большинство решений задач оптимизации: при формулировке многомерной задачи общего вида в качестве решения часто (но не всегда!) получается одна из этих структур [1].

Для каждой одномерной структуры решение задачи выбора оптимальных параметров и исследования возможностей компромисс-

6

ного сочетания требований может быть получено методами параметрического анализа [3].

Более подробно представленные в пособии подходы, понятия и определения рассмотрены в учебных пособиях [1, 3].

1.2. Алгоритм расчета жесткостных характеристик

Во всех нижеследующих формулах верхним индексом i обозначаются характеристики i-го слоя; символами без верхнего индекса

— свойства многослойного пакета.

Жесткостные свойства многослойного ортотропного материала в плоской задаче характеризуются четырьмя техническими кон-

стантами упругости: Ex, Ey, Gxy и xy (Ex yx = Ey xy).

Для расчета жесткостных характеристик пакета необходимо знать

технические константы жесткости каждого слоя: E1(i) , E2(i) , G12(i) , 12(i)

E1(i) (21i) E2(i) 12(i) .

Сначала по известным значениям технических констант жесткости вычисляются коэффициенты матрицы жесткости каждого слоя в его естественной системе координат:

Затем определяют коэффициенты матриц жесткости слоев в системе координат многослойного материала:

gx(ix) g11(i)cos4 i g22(i)sin4 i 2g12(i) 4g66(i) sin2 i cos2 i ;

G12; при приближении угла армирования к 45 модуль сдвига материала определяется в большей мере величиной E1. Модуль сдвига ортогонально армированного материала не зависит от относительных толщин слоев и равен модулю сдвига монослоя G12.

Рис. 2. Модули упругости в продольном Ex и поперечном Ey направлениях перекрестно армированных (а) и ортогонально армированных (б)

композитов

Рис. 3. Модули сдвига Gxy перекрестно армированных (а) и ортогонально армированных (б) композитов

9

Рис. 4. Коэффициенты Пуассона xy перекрестно армированных (а) и ортогонально армированных (б) композитов

Следует обратить внимание на весьма значительные величины коэффициента Пуассона перекрестно армированных материалов:

при углах армирования 20 …30 для углепластиков и органопластиков они могут существенно превосходить единицу (для стеклопластиков и материалов на основе иных волокон обычны меньшие значения коэффициентов Пуассона). Коэффициенты Пуассона ортогонально армированных материалов всегда находятся в диапазоне

от 21 до 12.

1.3. Алгоритм расчета характеристик термического деформирования

Характеристики термического деформирования многослойного ортотропного материала определяются коэффициентами линейного

термического расширения (КЛТР) x и y или коэффициентами

термических напряжений x и y [1].

Для расчета термоупругих характеристик пакета необходимо знать коэффициенты линейного расширения и технические

константы жесткости каждого слоя: 1(i) , (2i) , E1(i) , E2(i) , G12(i) , 12(i)E1(i) (21i) E2(i) 12(i) . Необходимо отметить, что величины 1 для

большинства современных углепластиков и органопластиков отрицательны (при нагреве они не расширяются, а сжимаются в продольном

10